郭金生，梅鳳娟

(1.河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖 734000；2.定西市岷縣鎖龍九年制學(xué)校，甘肅 岷縣 748400)

預(yù)防接種情況下潛伏期和染病期均具有傳染力的SEIR傳染病模型的全局分析

郭金生1*，梅鳳娟2

(1.河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖 734000；2.定西市岷縣鎖龍九年制學(xué)校，甘肅 岷縣 748400)

討論了一類在連續(xù)預(yù)防接種情況下具有垂直傳染的潛伏期和染病期均有傳染力的SEIR傳染病模型，通過(guò)計(jì)算得到了基本再生數(shù)R0。當(dāng)R0<1時(shí)，僅存在無(wú)病平衡點(diǎn)且全局漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí)，除存在不穩(wěn)定的無(wú)病平衡點(diǎn)外，還存在唯一的正地方病平衡點(diǎn)且全局漸近穩(wěn)定。

傳染病模型;基本再生數(shù);垂直傳染;預(yù)防接種

有些疾病可以通過(guò)母體傳給下一代，這種傳染形式成為垂直傳染。文獻(xiàn)[1-5]討論的都是具有垂直傳染的傳染病模型。本文討論了一類在連續(xù)預(yù)防接種情況下具有垂直傳染的潛伏期和染病期均具有傳染力的SEIR傳染病模型，得到了決定疾病滅絕和持續(xù)生存的閾值R0，完整地研究了模型在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性態(tài)。

1 模型的建立

設(shè)總?cè)丝贜分為易感者S，潛伏者E，染病者I和移出者R四部分，并且假設(shè):

(1)易感者類具有有效接種率p，且接種后具有永久免疫力;

(4)潛伏者類和易感者類具有相同的垂直傳染率a，用b，d分別表示自然出生和自然死亡率，不考慮因病死亡率。

由以上假設(shè)可建立如下SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型

(1)

(2)

因?yàn)閟+e+i+r=1，故只需考慮系統(tǒng)(2)的前三個(gè)方程

(3)

即可。

令b+μ-ab=δ，b+μ-ab=w。則(3)式可化簡(jiǎn)成

(4)

故系統(tǒng)(4)的可行性區(qū)域?yàn)?/p>

且區(qū)域D是系統(tǒng)(4)的正向不變集，下面將討論模型(4)在區(qū)域D上的動(dòng)力學(xué)行為。

2 基本再生數(shù)

令x=(e，i，s)T，則模型(4)可寫成x′=F-G，其中

取

則再生矩陣F1G-1的譜半徑為

于是模型(4)的基本再生數(shù)

3 平衡點(diǎn)的存在性

(5)

來(lái)確定。由方程組(5)的最后一個(gè)方程，可得

(6)

將方程(6)代入方程組(5)的第二個(gè)方程，可得

將方程s1代入方程組(5)的第一個(gè)方程，可得

將基本再生數(shù)R0代入上式，則

將i1代入方程組(6)可得

綜上所述可知，當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(4)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E1(s1，e1，i1)，其中

4 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理2 當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

證明 考慮系統(tǒng)(4)在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的Jacobi矩陣為

它的特征方程為

化簡(jiǎn)上式可得

(λ+p+b)(λ2+mλ+l)=0。

其中

則λ1=-p-b;λ2，λ3是方程(λ2+mλ+l)=0的兩個(gè)根。因此λ2+λ3=-m，λ2λ3=l。當(dāng)R0<1時(shí)，m>0，l>0，有λ2λ3>0，則Reλ2，Reλ3<0，此時(shí)平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí)，m>0，l<0，有λ2λ3<0，則λ2，λ3是兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根，此時(shí)平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

故當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

定理3 當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定。

其中

可得它的特征方程為

即

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0。

其中

a1=β1e1+β2i1+p+b+w+K，

a2=(β1e1+β2i1+p+b)(w+K)+(β1e1+β2i1)(β1s1+ab)，

a3=μ(β1e1+β2i1)(β2s1+ab)+w(β1e1+β2i1)(β1s1+ab)，

a1a2-a3=(β1e1+β2i1+p+b)2(w+K)+(β1e1+β2i1+p+b)(w+K)2+(β1e1+β2i1+p+b+w+K)(β1e1+β2i1)(β2s1+ab)

≥(β1e1+β2i1+p+b)2(w+K)+(β1e1+β2i1+

p+b)(w+K)2>0。

顯然，該方程的特征根為方程λ3+a1λ2+a2λ+a3=0的解，當(dāng)R0>1時(shí)，由于a1>0，a2>0，a3>0，且a1a2-a3>0，由Routh-Hurwitz定理知，該線性矩陣的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部。

故當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定。

5 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理4 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(4)無(wú)病平衡點(diǎn)E0在D內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

為討論地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，先引入一個(gè)定理。

考慮如下自治系統(tǒng):

x′=f(x)，f∈C1(Rn)，x∈D?Rn。

(7)

定理5 當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(4)的地方病平衡點(diǎn)E1(s1，e1，i1)在域D內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)等價(jià)，為了方便，以下我們?cè)谙到y(tǒng)(3)上求證該結(jié)論。

設(shè)p(t)=(s(t)，e(t)，i(t))T是系統(tǒng)(3)的ω-周期正解，在p=(s，e，i)′∈D的Jacob矩陣為

系統(tǒng)(3)的周ω-期正解穩(wěn)定性等價(jià)于所對(duì)應(yīng)的二次復(fù)合系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性，沿著系統(tǒng)(3)的任一周期解p(t)的二階復(fù)合系統(tǒng)為

Y′=μX-[β1e+β2i+p+b+(ε+b-ab)]Y-(β1s+ab)Z，

X′=-[β1e+β2i+p+b+(μ+b-ab)-β1s]X+β2sY+(β2s+ab)Z，

(8)

Z′=(β1e+β2i)Y+[β1s-(μ+b-ab)-(ε+b-ab)]Z。

(9)

(10)

(11)

及

(12)

把系統(tǒng)(3)中的第二式和第三式改寫成

(13)

(14)

將(13)式代入(9)式得

(15)

將(14)式代入(12)式得

(16)

由于

6 結(jié)束語(yǔ)

由于閾值

它與種群的自然出生率，預(yù)防接種率，垂直傳染率，染病者的恢復(fù)率等因素有關(guān)，所以調(diào)控這些相關(guān)參數(shù)以實(shí)現(xiàn)R0<1，使疾病得到有效的控制。

[1]VandenDriesscheP，WatmoughJ.Reproductionnumbersandsubthresholdendemicequilibriaforcomparmentalmodelsofdiseasetransmission[J].mathbiosci，2002，180(1):29-48.

[2]L.T.Han，S.L.Ruan，Z.E.Ma.StabilityofanSIRSepidemicmodeloftwocompetitiveSpecies[J].Biomathematics，2003，18(1):21-26.

[3]HethcoteH，MaZhien，LiaoShengbing.Effectsofquarantineinsixendemicmodelsforinfectiousdiseases.[J].MathBiosci，2002，180:141-160.

[4] 張娟，馬知恩.各倉(cāng)室均有常數(shù)輸入的SEI流行病模型的全局分析[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，37(6):653-656.

[5] 郭金生，齊文鳳，唐玉玲.一類具有預(yù)防接種和垂直傳染的SIR傳染病模型的定性分析[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，31(1):11-14.

[6] 馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京:科學(xué)出版社.

(責(zé)任編輯：曾 晶)

Global Analysis of an SEIR Epidemic Model with Infectivity in both Latent Period and Infected Period under Vaccination

GUO Jinsheng1*，MEI Fengjuan2

(1.School of Mathematics and Statistics，Hexi University，Zhangye734000，China；2.Suolong Schools for Nine Years，Minxian 748400，China)

A kind of an epidemic model with vertical transmission and infectivity in both latent period and infected period under continuous vaccination was discussed. The basic reproductive number R0was obtained through calculation. WhenR0<1， in the system there exists disease free equilibrium point， which is globally asymptotical stable; when，R0<1the unstable disease free equilibrium exits， and has a unique the positive endemic equilibrium， which is globally asymptotical stable.

epidemic model; the basic reproductive number; vertical transmission; continuous vaccination

1000-5269(2016)06-0005-05

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.06.02

2016-03-28

河西學(xué)院校長(zhǎng)基金 (XZ2015-01)；河西學(xué)院青年基金 (QN2014-12)

郭金生(1979-)，男，副教授，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)，Email：guojinsheng1979@163.com.

*通訊作者： 郭金生，Email：guojinsheng1979@163.com.

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