淡靜怡,薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的籃子期權(quán)定價(jià)

淡靜怡,薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

為了更貼合股票價(jià)格變化的實(shí)際過程,假定股票價(jià)格遵循雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程, 在期望收益率和波動(dòng)率均為常數(shù)的情況下, 利用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)分析理論和保險(xiǎn)精算方法,得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);保險(xiǎn)精算方法;幾何籃子期權(quán)

0 引 言

隨著金融市場的不斷發(fā)展,期權(quán)種類不斷增多,近年來市場上出現(xiàn)了許多新型期權(quán).籃子期權(quán)就是新型期權(quán)的一種,由于其在價(jià)格上的優(yōu)勢與其本身所具有的靈活性,使得人們對(duì)這種投資組合型期權(quán)的需求在不斷增加. 籃子期權(quán)是一種多資產(chǎn)期權(quán),其收益由多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的加權(quán)平均價(jià)格決定,歐式籃子期權(quán)的加權(quán)平均價(jià)格可分為幾何平均和算數(shù)平均.對(duì)于籃子期權(quán)的定價(jià)問題的研究始于1973年Merton于文獻(xiàn)[1]中在標(biāo)的股票價(jià)格滿足Black-Scholes模型下給出的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式. 文獻(xiàn)[2-3]給出了其他類型的籃子期權(quán)價(jià)格公式. 文獻(xiàn)[4]利用風(fēng)險(xiǎn)中性方法給出了布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式. 文獻(xiàn)[5]利用偏微分方程得到了布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式,由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)本身的局限性,使其只能描述股價(jià)與過去無關(guān)的股票價(jià)格,而無法準(zhǔn)確描述股價(jià)未來變化情況與過去有關(guān)的股票價(jià)格.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種具有平穩(wěn)增量但不具有獨(dú)立增量的高斯過程,這使基能夠描述未來股價(jià)與過去有關(guān)的股價(jià)變動(dòng)過程.文獻(xiàn)[6]利用保險(xiǎn)精算法討論了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式籃子期權(quán)定價(jià)公式.有關(guān)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)問題可參見文獻(xiàn)[7-8].作為是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的推廣,雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更一般的自相似高斯過程,它不僅具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)所具有的性質(zhì),且其增量不具有平穩(wěn)性,這使其能夠描述一些分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)所不能描述的股價(jià)變化過程.文獻(xiàn)[9]首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念.用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程來刻畫資產(chǎn)的價(jià)格變化更符合實(shí)際的需求,可以描述更廣泛的金融現(xiàn)象[10-13]. 目前有關(guān)期權(quán)定價(jià)的方法主要有風(fēng)險(xiǎn)中性方法、偏微分方程方法和保險(xiǎn)精算方法等,其中保險(xiǎn)精算方法不但適用于無套利完備的金融市場,適用于有套利不完備的金融市場,其思想是將期權(quán)定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為公平保費(fèi)問題. 有關(guān)保險(xiǎn)精算方法的應(yīng)用可參見文獻(xiàn)[14-15]. 當(dāng)前國內(nèi)外對(duì)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的各種期權(quán)定價(jià)的研究比較少. 本文在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下,建立更貼合市場的金融數(shù)學(xué)模型,對(duì)籃子期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行推廣，得到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式幾何看漲、看跌籃子期權(quán)定價(jià)公式，以及兩者之間的平價(jià)關(guān)系.

1 金融市場模型

其中H∈(0,1),K∈(0,1].

當(dāng)K=1時(shí),雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),當(dāng)K=1,H=1/2時(shí),雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

假設(shè)股票價(jià)格Si(t)滿足微分方程

(1)

引理1 隨機(jī)微分方程(1)的解為

定義2[17]股票價(jià)格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率βi(u),u∈[t,T]定義為

引理2 股票價(jià)格{Si(T),T≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率βi(u),u∈[t,T]為

βi(u)=μi,u∈[t,T].

證明 由引理1可知

又因?yàn)?/p>

所以

2 籃子期權(quán)定價(jià)公式

歐式幾何籃子期權(quán)的收益函數(shù)為

定義3 (ⅰ)歐式幾何看漲籃子期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

(2)

(ⅱ) 歐式幾何看跌籃子期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

(3)

定理1 歐式幾何看漲籃子期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格為

(4)

其中

令

(5)

將式(5)化簡后兩邊取對(duì)數(shù)得

的高斯過程, 因此可得

令

(6)

由式(6)可得

且

因此得證

定理2 歐式幾何籃子看跌期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格為

其中

證明 類似定理1的證明.

推論1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下,歐式幾何籃子期權(quán)看漲與看跌的平價(jià)關(guān)系為

注 當(dāng)K=1時(shí), 可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式[6]. 特別地當(dāng)H=1/2時(shí), 可得布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式[5].當(dāng)n=1時(shí),可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式期權(quán)定價(jià)公式[18].

3 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上,采用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫金融市場的資產(chǎn)價(jià)格,使其更符合實(shí)際,利用隨機(jī)分析理論與保險(xiǎn)精算方法,得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下籃子期權(quán)定價(jià)公式,并對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的籃子期權(quán)定價(jià)的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了推廣,使其更具有實(shí)際意義. 本文假定利率為常數(shù),對(duì)于非常數(shù)利率情形下的籃子期權(quán)定價(jià)問題還有待于進(jìn)一步研究.

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編輯、校對(duì)：師 瑯

Pricing of basket option in bi-fractional Brownian motion environment

DANJingyi,XUEHong

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China)

In order to fit the actual process of stock price changes, assume that the stock price follows the stochastic differential equations driven by bi-fractional Brownian motion, the expected returns and the volatility are constant. The pricing of basket option is discussed by bi-fractional Brownian motion stochastic differential theory and the insurance actuary approach,and the pricing formula of european geometric basket option in bi-fractional jump-diffusion environment is obtained.

bi-fractional Brownian motion; insurance actuary approach; geometric european basket option

1006-8341(2016)04-0460-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.008

2016-05-11

陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(14JK1299)

薛紅(1964—),男,山西省萬榮縣人,西安工程大學(xué)教授,博士,研究方向?yàn)殡S機(jī)分析與金融數(shù)學(xué).

E-mail:xuehonghong@sohu.com

淡靜怡,薛紅.雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的籃子期權(quán)定價(jià)[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(3)：460-464.

DAN Jingyi, XUE Hong.Pricing of basket option in bi-fractional Brownian motion environment[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(3):460-464.

O 211;F 830

A