容躍堂,董苗娜,何 堤,王曉麗

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

一類具有交叉擴散項的捕食-食餌模型的局部分歧

容躍堂,董苗娜,何 堤,王曉麗

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

研究一類帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型在齊次Dirichlet邊界條件下分歧解的存在性.利用極大值原理和上下解法得到正解的先驗估計,并借助Crandall-Rabinowitz分歧理論,得出局部分歧正解存在的充分條件.

捕食-食餌;自擴散;交叉擴散;先驗估計;局部分歧

0 引 言

近年來,關于生物數(shù)學領域的捕食食餌模型的研究已經(jīng)成為熱點,尤其是對于種群擴散影響下的捕食模型,國內(nèi)外學者均已取得了一些符合實際的研究成果.文獻[1]研究了一類捕食模型的正常數(shù)平衡態(tài)解的穩(wěn)定性及分歧;文獻[2-3]利用極大值原理和分歧定理研究了一類捕食模型局部解的延拓;文獻[4-7]利用分歧定理研究了模型在交叉擴散影響下的正解的存在性問題.在文獻[8]中,作者提出了一類具有擴散項的捕食食餌模型,通過給出正解的先驗估計及局部分歧解存在條件,進而得到該系統(tǒng)平衡態(tài)的全局分歧解及其走向;文獻[9]則在上述基礎上研究了該類模型在交叉擴散項影響下的分歧.

在同時考慮交叉擴散和自擴散項時，本文將繼續(xù)研究如下捕食-食餌模型在齊次Dirichlet邊界條件下正解的存在性，即

(1)

本文將針對模型(1)的如下平衡態(tài)方程展開討論.

(2)

注:對于問題(2)的解(u,v),如果在Ω中,(u,v)中只有一個分量為0,則稱其為半平凡解.

1 預備知識

首先,考慮特征值問題

(3)

再考慮邊值問題

(4)

(5)

引理2[11](1) 如果a≤λ1,則u=0是問題(4)的唯一非負解;若a>λ1,則問題(4)的唯一正解為θa.

(2) 如果c≤λ1,則v=0是問題(5)的唯一非負解;當c>λ1時,其存在唯一正解θc.因此,當a>λ1,問題(2)存在半平凡解(θa,0);當c>λ1,問題(2)存在半平凡解(0,θc).

定義Z=(U,V),其中U=(1+m1u+m2v)u,V=(1+m3v+m4u)v,則

即(u,v)≥0與(U,V)≥0之間存在一一對應的關系.現(xiàn)在,引入和問題(2)等價的半線性橢圓系統(tǒng)

(6)

再對A(a*(c),c)=0兩邊關于c求導,得Aa(a*(c),c)·a*′(c)+Ac(a*(c),c)=0.由于Ac(a,c)<0,結合Aa(a,c)>0得知a*′(c)>0,即a=a*(c)關于c嚴格單調遞增.

類似可以證明以下引理.

2 正解的先驗估計

現(xiàn)在,結合文獻[12-13]中的方法給出系統(tǒng)(6)的正解存在的必要條件及先驗估計.

證明 若問題(6)存在正解(U,V),由問題(6)中的第2個方程得

兩邊同乘以V,分部積分得

同理可得

由(u,v)與(U,V)之間的關系知定理2成立.

3 分歧正解的存在性

證明 令

同時對(U,V)求導,得

因此,算子L(a*;0,0)的核空間N(L(a*;0,0))=span{U0},U0=(φ*,ψ*)T,其中

又令L*(a*;0,0)為L(a*;0,0)的自伴算子,類似可得

N(L*(a*;0,0))=span{U*},U*=(0,ψ*)T.

由Fredholm選擇公理知

因此可得dimN(L(a*;0,0))=1,codimR(L(a*;0,0))=1.

L1(a*;0,0)·(φ*,ψ*)?R(L(a*;0,0)).

假設?(h,k)∈X,使得L1(a*;0,0)·(φ*,ψ*)=L(a*;0,0)·(h,k).經(jīng)計算得

那么有

兩邊同時乘以ψ*,分部積分得

由于cm4-d>0,且θa關于a嚴格單調遞增,則上式左端大于0,矛盾.

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編輯、校對：師 瑯

The local bifurcation for a kind of prey-predator model with cross-diffusion

RONGYuetang,DONGMiaona,HEDi,WANGXiaoli

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China)

The existence of bifurcation solutions for a predator-prey model with cross-diffusion under homogeneous Dirichlet boundary conditions is concerned. By the maximum principle, a priori estimate of positive solutions are obtained. Then by Crandall-Rabinowitz bifurcation theory, the sufficient conditions for the existence of positive solutions to a local bifurcation is proved.

predator-prey model;self-diffusion;cross-diffusion;priori estimate;local bifurcation

1006-8341(2016)04-0443-07

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.005

2016-04-08

陜西省自然科學基礎研究計劃項目(2015JM1034)

容躍堂(1960—),男,陜西省寶雞市人,西安工程大學教授,研究方向為偏微分方程理論及其應用,偏微分方程數(shù)值解. E-mail:rongyuetang@126.com

容躍堂,董苗娜,何堤,等.一類具有交叉擴散項的捕食-食餌模型的局部分歧[J].紡織高校基礎科學學報,2016,29(4)：443-449.

RONG Yuetang,DONG Miaona,HE Di,et al.The local bifurcation for a kind of prey-predator model with cross-diffusion[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):443-449.

O 175.26

A