白 泉, 韓晶晶, 康玉梅, 邊晶梅

(1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110870; 2.賀州學(xué)院建筑工程學(xué)院,廣西 賀州 542899;3.東北大學(xué)資源與土木工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 10004; 4.沈陽(yáng)化工大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110142)

技術(shù)交流

小波包變換中地震信號(hào)的結(jié)點(diǎn)序號(hào)到頻帶序號(hào)的轉(zhuǎn)換算法

白 泉1, 韓晶晶2, 康玉梅3, 邊晶梅4

(1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110870; 2.賀州學(xué)院建筑工程學(xué)院,廣西 賀州 542899;3.東北大學(xué)資源與土木工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 10004; 4.沈陽(yáng)化工大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110142)

利用小波包變換對(duì)地震非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí),結(jié)點(diǎn)與頻帶之間存在“跳頻”現(xiàn)象,基于小波包變換算法以及異或運(yùn)算,對(duì)小波包樹(shù)頻帶序號(hào)和結(jié)點(diǎn)序號(hào)的關(guān)系進(jìn)行研究,明確信號(hào)子空間頻帶與小波包樹(shù)結(jié)點(diǎn)的排列規(guī)律,同時(shí)提出一種從結(jié)點(diǎn)序號(hào)到頻帶序號(hào)的轉(zhuǎn)換算法。基于MATLAB平臺(tái),以唐山(南北向)波為例,驗(yàn)證該算法的正確性。

小波包; 樹(shù)結(jié)點(diǎn); 頻帶排列; 異或運(yùn)算

0 引言

地震動(dòng)分析是研究地震危害控制的基礎(chǔ),也是控制地震危害的前提。小波包變換可將地震信號(hào)均勻分解到不同的頻帶上,從而能夠準(zhǔn)確分析各個(gè)頻帶上地震信號(hào)的詳細(xì)特征。但在MATLAB平臺(tái)中,由于算法的限制,小波包變換后得到的頻帶順序與小波包樹(shù)結(jié)點(diǎn)順序并不一致,反而會(huì)出現(xiàn)“跳頻”現(xiàn)象[1-4]。若忽視這一問(wèn)題,就不能準(zhǔn)確定位頻帶,

進(jìn)而影響后續(xù)時(shí)頻分析的正確性[5],因此明確頻帶與小波包樹(shù)結(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)時(shí)頻分析意義重大。

本文基于MATLAB平臺(tái),借助小波包算法和異或運(yùn)算定義,主要對(duì)小波包變換后的頻帶序號(hào)和樹(shù)結(jié)點(diǎn)序號(hào)的關(guān)系進(jìn)行研究,指出信號(hào)子空間頻帶與小波包分解樹(shù)結(jié)點(diǎn)的排列規(guī)律,提出一種從結(jié)點(diǎn)序號(hào)到頻帶序號(hào)的轉(zhuǎn)換算法,并舉例驗(yàn)證該轉(zhuǎn)換算法的正確性,這對(duì)提取地震信號(hào)局部特征、有層次地展現(xiàn)地震信號(hào)等具有重要意義。

1 小波包理論

(1)

利用濾波器組實(shí)現(xiàn)小波包變換的關(guān)鍵是隔點(diǎn)下采樣,采樣后分信號(hào)與原信號(hào)的關(guān)系為[2]:

(2)

X(N/2+f)=∑x(2n)e-j(N/2+f)·2π·2n/N+ ∑x(2n+1)e-j(N/2+f)·2π·(2n+1)/N

(3)

式中:X(f)表示x(n)的離散傅里葉變換;N為采樣點(diǎn)數(shù)。由式(2)和(3)可得:

X′(f)=0.5[X(f)+X(N/2+f)]

(4)

式中:X′(f)為下采樣后得到的序列的傅里葉變換。由離散傅里葉變換的對(duì)稱(chēng)性可知:

X(N/2+f)=X(N/2-f)

(5)

將式(5)代入式(4)中可得:

X′(f)=0.5[X(f)+X(N/2-f)]

(6)

根據(jù)采樣定理,當(dāng)X(f)的采樣頻率為f0時(shí),其有效頻段為(0,f0/2),故X′(f)的采樣頻率為f0/2,有效頻段為(0,f0/4),且有:

(7)

由此可以清楚地分析小波包分解信號(hào)的過(guò)程:當(dāng)信號(hào)采樣頻率為2f時(shí),其有效頻段為(0,f),在小波包變換中,經(jīng)過(guò)低通和高通濾波器進(jìn)行第一層分解后,整個(gè)頻帶被劃分為低頻頻帶L(0,f/2)和高頻頻帶H(f/2,f);對(duì)這兩個(gè)頻帶的信號(hào)進(jìn)行下采樣后再分別進(jìn)行第二次分解,每個(gè)頻帶又被劃分為兩個(gè)頻帶,其中低頻頻帶劃分得到(0,f/4)和(f/4,f/2)頻帶,高頻頻帶劃分得到(f/2,3f/4)和(3f/4,f)頻帶;如此不斷重復(fù)低頻頻帶和高頻頻帶的二進(jìn)劃分,就可以分離出不同頻帶,從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)頻帶的均勻細(xì)分[1,3,7]。

小波包分解過(guò)程可以用分解樹(shù)來(lái)描述,如圖1所示。圖中Uj,n表示小波包分解的子空間編號(hào),亦可稱(chēng)作結(jié)點(diǎn)編號(hào);j表示分解層數(shù),其對(duì)應(yīng)的分解尺度為2j,第j層一共有2j個(gè)正交基;n表示第j分解層的子空間編號(hào),第j層的第n個(gè)子空間由集合{uj,n(t-k)}構(gòu)成。

由小波包變換理論知識(shí)可知,同一層的各個(gè)子空間之間相互正交且每一層上所有子空間的直和構(gòu)成這個(gè)信號(hào)空間。

2 地震信號(hào)頻帶劃分參數(shù)

對(duì)地震動(dòng)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行小波包變換時(shí),主要參數(shù)有分解層數(shù)和分解路徑。

圖1 小波包分解Fig.1 Wavelet packet decomposition

2.1 分解層數(shù)

在進(jìn)行小波包分解時(shí),除了確定小波基函數(shù),還需要確定分解層數(shù)。這里選用字母j表示小波包分解層數(shù),通常分解層數(shù)按下式選取[2,7]:

(8)

式中:Ls為輸入信號(hào)的長(zhǎng)度。對(duì)于地震非平穩(wěn)信號(hào),采樣時(shí)間間隔一般為0.01 s或0.02 s,即采樣頻率為100 Hz或50 Hz。地震動(dòng)信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間為10～20 s,若采樣頻率為50 Hz,則信號(hào)長(zhǎng)度約為29～210。綜合考慮頻帶寬度及分辨率,本文認(rèn)為分解層數(shù)取7一般能滿足地震信號(hào)的分析要求。

2.2 分解路徑

如上所述的小波包分解樹(shù)中,樹(shù)結(jié)點(diǎn)從左至右依次編號(hào)為0,1,2,…2j-1,稱(chēng)作結(jié)點(diǎn)序號(hào)。地震信號(hào)的小波包分解實(shí)際上是把信號(hào)通過(guò)一組濾波器組合(低通或高通)后,到達(dá)底端的樹(shù)結(jié)點(diǎn)。設(shè)定0表示低通濾波,1表示高通濾波,則各濾波器組合可由一個(gè)二進(jìn)制數(shù)表示[8],稱(chēng)該二進(jìn)制數(shù)為實(shí)際路徑。例如,實(shí)際路徑101表示信號(hào)經(jīng)過(guò)一次高通濾波器,一次低通濾波器,最后又經(jīng)過(guò)一次高通濾波器,如圖2中虛線所示。該二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是分解終端樹(shù)結(jié)點(diǎn)的頻帶序號(hào),因此實(shí)際路徑又稱(chēng)頻帶路徑。與頻帶路徑相對(duì)應(yīng),把結(jié)點(diǎn)序號(hào)的二進(jìn)制數(shù)稱(chēng)作結(jié)點(diǎn)路徑或理想路徑。

圖2 101分解路徑Fig.2 Decomposition path 101

除了頻帶路徑和結(jié)點(diǎn)路徑,每個(gè)結(jié)點(diǎn)還對(duì)應(yīng)一個(gè)通頻帶。通頻帶是指通過(guò)該結(jié)點(diǎn)的頻帶范圍,與頻帶序號(hào)有關(guān)。若信號(hào)的有效頻帶為f,分解層數(shù)為j,則頻帶序號(hào)m對(duì)應(yīng)的通頻帶為m*(f/2j)-(m+1)*(f/2j),其中m=0,1,2,…,2j-1。

需要說(shuō)明的是,分解層數(shù)和分解路徑之間存在的關(guān)系:分解路徑的每個(gè)二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)即為獲得該頻帶所需要的分解層數(shù),這樣可以準(zhǔn)確獲取各個(gè)頻帶分解路徑,尤其是以0開(kāi)頭的分解路徑,同時(shí)為后續(xù)準(zhǔn)確得到頻帶序號(hào)及對(duì)應(yīng)的通頻帶做鋪墊。

3 頻帶序號(hào)與結(jié)點(diǎn)序號(hào)的變換

3.1 小波包分解的頻帶排列規(guī)律

地震信號(hào)經(jīng)過(guò)小波包分解后,可看作由每層所有子空間組合構(gòu)成。小波包分解采用隔點(diǎn)采樣算法,得到的頻帶信號(hào)分解分量按照自然序號(hào)排列,而不是頻率由小到大排列,因此各個(gè)頻帶信號(hào)之間存在排序紊亂現(xiàn)象。若想對(duì)各頻帶分信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確分析,就需要找到其實(shí)際的頻帶序號(hào)排列規(guī)則。

通過(guò)對(duì)多個(gè)信號(hào)進(jìn)行不同層次的小波包分解總結(jié),得到的規(guī)律如下:由高通濾波器得到的頻段,進(jìn)行下一階段濾波時(shí)高低頻段要發(fā)生位置互換。這有助于準(zhǔn)確定位所需頻段對(duì)應(yīng)的小波包樹(shù)結(jié)點(diǎn),將其用小波包樹(shù)的形式表示出來(lái),如圖3所示。

圖3 對(duì)應(yīng)頻帶的小波包分解樹(shù)Fig.3 Wavelet packet decomposition tree of corresponding frequency band

由圖3可知,小波包空間分解的子頻帶按照結(jié)點(diǎn)序號(hào)順序排列時(shí),并不是完全按照頻率遞增順序排列的。比如,對(duì)于分解的第三層,結(jié)點(diǎn)序號(hào)依次為0,1,2,3,4,5,6,7,是自然順序,而頻帶序號(hào)依次為0,1,3,2,7,6,4,5。這種排列順序驗(yàn)證了上述規(guī)律的正確性,即由高通濾波器得到的頻段進(jìn)行下一階段濾波時(shí),高低頻段要發(fā)生位置互換。

3.2 結(jié)點(diǎn)序號(hào)到頻帶序號(hào)的轉(zhuǎn)換關(guān)系

當(dāng)分解層數(shù)較少時(shí),可以根據(jù)上述規(guī)律手動(dòng)依次得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的頻帶路徑和通頻帶,進(jìn)而得到完整的小波包樹(shù)。但是當(dāng)分解層數(shù)較多時(shí),手動(dòng)獲取比較困難,因此需要找到結(jié)點(diǎn)序號(hào)到頻帶序號(hào)之間的換算關(guān)系。

按照?qǐng)D3的3層小波包分解樹(shù)可以得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)分解路徑和頻帶分解路徑。比如,第3層小波包分解結(jié)點(diǎn)序號(hào)為7的結(jié)點(diǎn),其結(jié)點(diǎn)路徑為111,對(duì)應(yīng)的頻帶濾波路徑為HLH,可得到頻帶路徑為101,對(duì)應(yīng)的頻帶序號(hào)為5,通頻帶為(5*f/23,6*f/23)。通過(guò)多個(gè)結(jié)點(diǎn)的分析,得到結(jié)點(diǎn)序號(hào)到頻帶序號(hào)的轉(zhuǎn)換過(guò)程:

對(duì)結(jié)點(diǎn)序號(hào)進(jìn)行二進(jìn)制轉(zhuǎn)換得到結(jié)點(diǎn)分解路徑(一個(gè)二進(jìn)制數(shù)),從左至右對(duì)該路徑的每位二進(jìn)制數(shù)與其左側(cè)所有位數(shù)進(jìn)行異或運(yùn)算,得到頻帶分解路徑(一個(gè)新的二進(jìn)制數(shù)),對(duì)新的二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行十進(jìn)制轉(zhuǎn)換,即可得到頻帶序號(hào)。比如,經(jīng)過(guò)3層小波包分解得到的小波包樹(shù),結(jié)點(diǎn)序號(hào)為a,a的結(jié)點(diǎn)分解路徑的二進(jìn)制數(shù)為ABC,異或運(yùn)算后的頻帶分解路徑二進(jìn)制數(shù)為XYZ,則X=A、Y=A?B、Z=A?B?C,對(duì)二進(jìn)制數(shù)XYZ轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)b,則b即為結(jié)點(diǎn)a對(duì)應(yīng)的頻帶序號(hào)。

上述的“異或”是一種數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算符,數(shù)學(xué)符號(hào)為“?”,計(jì)算機(jī)符號(hào)為“XOR”,其運(yùn)算法則為:

(9)

根據(jù)上述換算過(guò)程和運(yùn)算法則,在MATLAB平臺(tái)上編制程序,可以實(shí)現(xiàn)小波包分解到任意分解層數(shù)時(shí),地震信號(hào)的結(jié)點(diǎn)序號(hào)與頻帶序號(hào)的轉(zhuǎn)換。表1為7層小波包變換下的結(jié)點(diǎn)序號(hào)與經(jīng)過(guò)上述轉(zhuǎn)換得到的頻帶序號(hào)。

4 實(shí)例驗(yàn)證

選取唐山波南北向(北京觀測(cè))的強(qiáng)震記錄進(jìn)行實(shí)例分析,驗(yàn)證本文所述地震信號(hào)頻帶特性分析中頻帶序號(hào)與結(jié)點(diǎn)序號(hào)之間轉(zhuǎn)換算法的正確性。地震信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為2 000,采樣的時(shí)間間隔為0.01 s,采用sym5小波函數(shù),在MATLAB平臺(tái)上編制程序?qū)μ粕讲ㄟM(jìn)行7層小波包變換,得到各樹(shù)結(jié)點(diǎn)的頻譜圖。本例中,采樣頻率為100 Hz,根據(jù)采樣定理,有效頻率為0～50 Hz,進(jìn)行7層分解后每個(gè)頻帶寬度為f/27,即50/27Hz。限于篇幅,給出結(jié)點(diǎn)序號(hào)分別為11、12、34、36、53、55的頻譜圖,如圖4所示。

表1 結(jié)點(diǎn)序號(hào)與頻帶序號(hào)

續(xù)表1

結(jié)點(diǎn)序號(hào)1617181920212223結(jié)點(diǎn)路徑00100000010001001001000100110010100001010100101100010111頻帶路徑00111110011110001110000111010011000001100100110110011010頻帶序號(hào)3130282924252726結(jié)點(diǎn)序號(hào)2425262728293031結(jié)點(diǎn)路徑00110000011001001101000110110011100001110100111100011111頻帶路徑00100000010001001001100100100010111001011000101000010101頻帶序號(hào)1617191823222021結(jié)點(diǎn)序號(hào)3233343536373839結(jié)點(diǎn)路徑01000000100001010001001000110100100010010101001100100111頻帶路徑01111110111110011110001111010111000011100101110110111010頻帶序號(hào)6362606156575958結(jié)點(diǎn)序號(hào)4041424344454647結(jié)點(diǎn)路徑01010000101001010101001010110101100010110101011100101111頻帶路徑01100000110001011001101100100110111011011001101000110101頻帶序號(hào)4849515055545253結(jié)點(diǎn)序號(hào)4849505152535455結(jié)點(diǎn)路徑01100000110001011001001100110110100011010101101100110111頻帶路徑01000000100001010001101000100100111010011001001000100101頻帶序號(hào)3233353439383637結(jié)點(diǎn)序號(hào)5657585960616263結(jié)點(diǎn)路徑01110000111001011101001110110111100011110101111100111111頻帶路徑01011111011100010110001011010101000010100101010110101010頻帶序號(hào)4746444540414342結(jié)點(diǎn)序號(hào)6465666768697071結(jié)點(diǎn)路徑10000001000001100001010000111000100100010110001101000111頻帶路徑11111111111110111110011111011111000111100111110111111010頻帶序號(hào)127126124125120121123122結(jié)點(diǎn)序號(hào)7273747576777879結(jié)點(diǎn)路徑10010001001001100101010010111001100100110110011101001111頻帶路徑11100001110001111001111100101110111111011011101001110101頻帶序號(hào)112113115114119118116117結(jié)點(diǎn)序號(hào)8081828384858687結(jié)點(diǎn)路徑10100001010001101001010100111010100101010110101101010111頻帶路徑11000001100001110001111000101100111110011011001001100101頻帶序號(hào)96979998103102100101結(jié)點(diǎn)序號(hào)8889909192939495結(jié)點(diǎn)路徑10110001011001101101010110111011100101110110111101011111頻帶路徑11011111101110110110011011011101000110100111010111101010頻帶序號(hào)111110108109104105107106結(jié)點(diǎn)序號(hào)96979899100101102103結(jié)點(diǎn)路徑11000001100001110001011000111100100110010111001101100111頻帶路徑10000001000001100001110000101000111100011010001001000101頻帶序號(hào)6465676671706869結(jié)點(diǎn)序號(hào)104105106107108109110111結(jié)點(diǎn)路徑11010001101001110101011010111101100110110111011101101111頻帶路徑10011111001110100110010011011001000100100110010111001010頻帶序號(hào)7978767772737574結(jié)點(diǎn)序號(hào)112113114115116117118119結(jié)點(diǎn)路徑11100001110001111001011100111110100111010111101101110111頻帶路徑10111111011110101110010111011011000101100110110111011010頻帶序號(hào)9594929388899190結(jié)點(diǎn)序號(hào)120121122123124125126127結(jié)點(diǎn)路徑11110001111001111101011110111111100111110111111101111111頻帶路徑10100001010001101001110100101010111101011010101001010101頻帶序號(hào)8081838287868485

按照本文給出的變換算法,參照表1的頻帶序號(hào)與結(jié)點(diǎn)序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,取圖4中的各點(diǎn)如表2所列。

圖4 樹(shù)結(jié)點(diǎn)頻譜Fig.4 Spectra of tree nodes

結(jié)點(diǎn)序號(hào)頻帶序號(hào)通頻帶結(jié)點(diǎn)序號(hào)頻帶序號(hào)通頻帶11135．078～5．468365621．875～22．2661283．125～3．516533814．844～15．234346023．437～23．828553714．453-14．844注：頻帶序號(hào)m對(duì)應(yīng)的通頻帶為m?(f/2j)-(m+1)?(f/2j)，單位為Hz。

5 結(jié)論

小波包變換可將地震信號(hào)均勻分解到不同的頻帶上,但由于算法限制,變換后得到的樹(shù)結(jié)點(diǎn)順序與頻帶順序并不一致,即“跳頻”。本文針對(duì)這一問(wèn)題,基于MATLAB平臺(tái)對(duì)小波包變換中小波包分解樹(shù)結(jié)點(diǎn)序號(hào)與頻帶序號(hào)所存在的錯(cuò)亂現(xiàn)象進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹,并從小波包算法和異或運(yùn)算的角度,通過(guò)濾波器組的基本原理來(lái)實(shí)現(xiàn)小波包變換的算法,明確并分析了頻帶均勻劃分理論。借助分解路徑,總結(jié)了小波包變換的頻帶順序排列規(guī)律,并由此得到了小波包分解樹(shù)的結(jié)點(diǎn)序號(hào)轉(zhuǎn)換到頻帶序號(hào)的算法,為確定頻帶和小波包分解樹(shù)各結(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系提供了一種有效的方法。若不考慮能量泄漏,圖中給出的各結(jié)點(diǎn)通頻帶范圍與本文所提供的轉(zhuǎn)換算法結(jié)果基本一致,由此驗(yàn)證了本文所述地震信號(hào)從結(jié)點(diǎn)序號(hào)轉(zhuǎn)換到頻帶序號(hào)的算法的正確性,對(duì)有層次地展現(xiàn)地震信號(hào)等工程應(yīng)用具有重要意義。

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Conversion Algorithm from Order Number of Nodes to that of Frequency Bands for Seismic Signals Using Wavelet Packet Transform

BAI Quan1, HAN Jing-jing2, KANG Yu-mei3, BIAN Jing-mei4

(1.SchoolofArchitectureandCivilEngineering,ShenyangUniversityofTechnology,Shenyang110870,Liaoning,China; 2.SchoolofArchitecturalEngineering,HezhouUniversity,Hezhou542899,Guangxi,China; 3.CollegeofResourcesandCivilEngineering,NortheasternUniversity,Shenyang110004,Liaoning,China; 4.SchoolofEconomicsandManagement,ShenyangUniversityofChemicalTechnology,Shenyang110142,Liaoning,China)

The "frequency hopping" phenomenon often occurs when using the wavelet packet transform to process non-stationary seismic signals. To solve this problem, we examine the relationship between the order number of the wavelet packet tree bands and the order number of the nodes, based on the wavelet packet transform and exclusive or (XOR) operation algorithm. We clarify the arrangement rule between the frequency bands of the signal subspace and the tree nodes of the wavelet packet. Moreover, we propose a conversion algorithm for seismic signals from the order number of the nodes to that of the frequency bands. Based on the MATLAB platform, we use the Tangshan wave (NS direction) as an example and verify the correctness of the algorithm.

wavelet packet; tree node; frequency bands arrangement; XOR algorithm

2015-12-25 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(51204029,51308348);遼寧省教育廳基金項(xiàng)目(L2013050);賀州學(xué)院自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016ZZZK06)

白 泉,男,副教授,主要從事隨機(jī)荷載模擬及結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析等方面的研究。E-mail:baiquan@163.com。

韓晶晶，女，助教，主要從事地震動(dòng)特性分析及地震荷載模擬等方面的研究。E-mail:hanjingjing_stu@163.com。

P315.3+1

A

1000-0844(2016)06-0991-06

10.3969/j.issn.1000-0844.2016.06.0991