吳明錄， 丁明才， 姚 軍， 徐思南

( 中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島 266580 )

分形離散裂縫數(shù)值試井解釋模型

吳明錄， 丁明才， 姚 軍， 徐思南

( 中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島 266580 )

基于分形理論，考慮裂縫中心、長度和密度的概率分布，以及主應(yīng)力方向等條件，研究分形離散裂縫模型隨機(jī)建模方法，建立離散裂縫數(shù)值試井解釋模型，得到井底壓力響應(yīng)的數(shù)值解。對比數(shù)值解與基于連續(xù)性介質(zhì)假設(shè)的解析解，證明數(shù)值試井解釋模型的正確性和一致性。結(jié)果表明：在相同的分形維數(shù)條件下，試井曲線基本重合，說明分形維數(shù)對離散裂縫具有較好的控制程度，可以為離散裂縫隨機(jī)建模提供依據(jù)，對認(rèn)識天然裂縫性油藏裂縫發(fā)育特征具有參考意義。

分形； 離散裂縫； 隨機(jī)建模； 嵌入式； 數(shù)值試井

0 引言

隨著人們對油氣田勘探開發(fā)的逐步深入，世界上探明的裂縫性油藏(NFRs)數(shù)量不斷增加，裂縫性油藏試井受到越來越多的關(guān)注。目前，裂縫性油藏試井理論主要基于連續(xù)性介質(zhì)假設(shè)[1-5]，認(rèn)為地層中任何一個(gè)微元同時(shí)存在裂縫和基質(zhì)兩種介質(zhì)，假設(shè)并不完全符合裂縫性油藏的實(shí)際特點(diǎn)。Laubach S E、Lorenz J C和Narr W等[6-8]提出裂縫表現(xiàn)為離散、不規(guī)則及經(jīng)常成簇出現(xiàn)的特征。Priest S D、 Villaescusa E和 Tamagawa T等[9-11]用隨機(jī)建模的方法生成離散裂縫網(wǎng)絡(luò)(DFN)模型，可以更好地刻畫裂縫性油藏的真實(shí)特性，但是隨機(jī)建模方式也使參數(shù)具有不確定性。為了生成更加符合裂縫性油藏實(shí)際的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)，Darcel C、Kim T H和de Dreuzy J R等[12-14]將分形理論應(yīng)用于離散裂縫網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)生成，提出分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)(FDFN)模型，分形參數(shù)能夠很好地控制裂縫的整體分布，可以更精確地模擬裂縫性油藏的裂縫分布特征。

在分形離散裂縫模型基礎(chǔ)上，筆者首先結(jié)合嵌入式離散裂縫模型和數(shù)值試井，建立分形離散裂縫數(shù)值試井解釋模型；然后采用有限差分方法對模型求解，得到井底壓力響應(yīng)結(jié)果；最后分析裂縫中心、長度和密度的概率分布，以及主應(yīng)力方向等分形參數(shù)及Fisher常數(shù)等對井底壓力動態(tài)的影響特征。

1 建模

采用基于裂縫中心分布的分形離散裂縫隨機(jī)建模方法[12-13]，構(gòu)建裂縫長度和方向的概率分布的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型。

1.1 裂縫中心分布

采用一階模型模擬裂縫中心點(diǎn)的概率分布[12]，表示為

(1)

式中：l為裂縫長度；L為模擬區(qū)域的長度；n(l,L)dl表示裂縫長度在l～l+dl之間的裂縫數(shù)量，當(dāng)l與l+dl非常接近時(shí)，n(l,L)即為裂縫長度為l的裂縫數(shù)量；Dc為裂縫中心分布的分形維數(shù)；Dl為裂縫長度分布的分形維數(shù)；α為密度，其值越大，區(qū)域中的裂縫數(shù)量越多。

對式(1)積分，得到所有長度范圍內(nèi)的裂縫總數(shù)量：

(2)

式中：lmin為模擬區(qū)域中最小裂縫的長度。

得到裂縫總數(shù)量后，采用多重分級法[12-14]確定裂縫中心的概率分布。首先將區(qū)域分成多個(gè)子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域賦予一個(gè)裂縫中心分布的概率Mi；然后將每個(gè)子區(qū)域進(jìn)一步劃分子區(qū)域，直到所有子區(qū)域數(shù)量達(dá)到上限。裂縫中心的概率分布[12-14]表示為

(3)

式中：Dq為多重分形維數(shù)；q為與Dq有關(guān)的常數(shù)，文中多重分形維數(shù)為D2，即q=2；s為區(qū)域的邊長與子區(qū)域邊長的比值。

1.2 裂縫長度分布

對式(1)左端n取不同值，可得對應(yīng)裂縫長度的概率分布：

(4)

1.3 裂縫方向分布

用Fisher分布[9,15]描述裂縫方向與最大概率方向的偏離程度：

(5)

(6)

式中：θ為裂縫方向與x軸正方向夾角；θ0為最大概率方向(主應(yīng)力方向)；θm為到最大概率方向的偏離角；F為Fisher常數(shù)；M為裂縫方向分布的概率，滿足高斯隨機(jī)分布；m為隨機(jī)產(chǎn)生的正整數(shù)。

2 數(shù)值試井解釋模型

2.1 基質(zhì)系統(tǒng)

由基質(zhì)單元體中的質(zhì)量守恒定律得到基質(zhì)系統(tǒng)的連續(xù)性方程[16]：

(7)

式中：ρ、v為流體的密度和滲流速度；Q為源匯項(xiàng)；δm為判斷基質(zhì)網(wǎng)格是否有裂縫穿過，當(dāng)有裂縫穿過時(shí)δm為1，否則為0；Qm-n為基質(zhì)網(wǎng)格m與n之間通過裂縫的流體流量；nNNC為裂縫穿過的基質(zhì)網(wǎng)格數(shù)量。

假設(shè)地層巖石和流體微可壓縮，地層中流體的流動方式為達(dá)西滲流，則流體在基質(zhì)系統(tǒng)中的運(yùn)動方程、巖石和流體的狀態(tài)方程[17]分別為

(8)

(9)

式中：km為基質(zhì)滲透率；μ為流體黏度；p為壓力；ρ為流體密度；φ為基質(zhì)孔隙度；Cf、C1為巖石和流體的壓縮系數(shù)；p0為初始壓力。

將運(yùn)動方程(8)和狀態(tài)方程(9)代入連續(xù)性方程(7)，并忽略源匯項(xiàng)，可得二維直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式：

(10)

(11)

式中：Tm-n為基質(zhì)網(wǎng)格m與n之間的流動系數(shù)。

考慮外邊界條件時(shí)，對于封閉外邊界，有

(12)

對于定壓外邊界，有

(13)

式(12—13)中：Lx、Ly分別為模擬區(qū)域x、y方向的長度；pe為邊界地層壓力。

對于內(nèi)邊界條件，考慮表皮效應(yīng)(采用工程單位制，下同)和井筒儲存效應(yīng)[18-21]，有

(14)

(15)

式(14—15)中：C為井筒儲存系數(shù)；S為表皮系數(shù)，rw為井筒半徑；B為流體體積系數(shù)；r為到井底的距離；pwf為井底流壓。

2.2 裂縫向基質(zhì)的嵌入

計(jì)算裂縫穿過的基質(zhì)網(wǎng)格塊之間的流動系數(shù)，實(shí)現(xiàn)嵌入式離散裂縫模型[22-27]中裂縫向基質(zhì)系統(tǒng)的嵌入。與基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的常規(guī)離散裂縫模型相比，可以節(jié)約大量計(jì)算時(shí)間。文中采用Shiakiba M[27]提出的方法實(shí)現(xiàn)模型中裂縫向基質(zhì)系統(tǒng)的嵌入。

基質(zhì)網(wǎng)格塊間的流動系數(shù)為

(16)

式中：Tm-f、Tn-f為基質(zhì)網(wǎng)格塊與裂縫之間的流動系數(shù)，Tm-f=km-fAm-f/dm-f，Tn-f=kn-fAn-f/dn-f。其中，km-f、kn-f分別為基質(zhì)網(wǎng)格m、n與裂縫之間的滲透率，由基質(zhì)與裂縫的滲透率km和kf計(jì)算得到[25-27]；Am-f、An-f分別為基質(zhì)網(wǎng)格m、n與裂縫面相交的截面積；dm-f、dn-f為基質(zhì)網(wǎng)格m、n與裂縫相交面的平均距離[27]。

利用式(16)，將裂縫嵌入到基質(zhì)系統(tǒng)，建立基于分形離散裂縫的雙重介質(zhì)數(shù)值試井解釋模型。

2.3 模型求解

首先采用有限差分方法對模型進(jìn)行求解[17]，得到井網(wǎng)格的壓力pw；然后考慮表皮效應(yīng)和井筒儲存效應(yīng)影響，求解井底流動壓力[19]：

(17)

式中：h為儲層厚度。

3 模型驗(yàn)證

3.1 正確性

為驗(yàn)證模型的正確性，取分形參數(shù)Dc=1.9、θ0=π/4、F=5、α=3.5、Dl=1.3，構(gòu)建分形離散裂縫模型(見圖1)。為與雙重介質(zhì)模型解析解進(jìn)行對比，對圖1的裂縫參數(shù)進(jìn)行計(jì)算：(1)計(jì)算所有裂縫的孔隙體積[13]，求和得到裂縫系統(tǒng)的總孔隙體積；(2)由裂縫的總孔隙體積與基質(zhì)系統(tǒng)的總孔隙體積，計(jì)算得到折算的裂縫系統(tǒng)彈性儲容比[19]ω=3×10-3；(3)由裂縫的滲透率與基質(zhì)的滲透率，計(jì)算得到竄流系數(shù)[19]λ=8×10-7。將分形離散裂縫模型近似等效為連續(xù)性雙重介質(zhì)模型，考慮表皮效應(yīng)、井筒儲存效應(yīng)、體積流量、內(nèi)邊界條件和封閉外邊界條件，取對應(yīng)參數(shù)為S=5，C=0.1 MPa/m3，Qv=120 m3/d，pe=pi=15 MPa，計(jì)算分形離散裂縫模型(FDFN)的數(shù)值解和連續(xù)性雙重介質(zhì)模型(DPDP)的解析解(見圖2，其中虛線是壓力響應(yīng)曲線對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)曲線，下同)。由圖2可見，所建立的分形離散裂縫模型數(shù)值解與連續(xù)性雙重介質(zhì)解析解基本吻合，從而驗(yàn)證模型的正確性。

圖1 分形離散裂縫模型

圖2 兩種模型試井壓力響應(yīng)曲線Fig.2 Well test pressure response curves of two models

3.2 一致性

為驗(yàn)證分形參數(shù)相同時(shí)計(jì)算得出試井曲線基本一致，令分形參數(shù)取值與3.1相同，通過多次隨機(jī)模擬得到不同的分形離散裂縫模型(見圖3)，分別計(jì)算并繪制各模型對應(yīng)的試井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線(見圖4)。由圖3和圖4可見，雖然隨機(jī)產(chǎn)生的裂縫分布不同，但在相同的分形參數(shù)控制下，各個(gè)離散裂縫模型的解基本一致，表明分形參數(shù)對試井曲線具有較好的控制程度，在分形參數(shù)確定時(shí)，解也確定。

圖3 分形離散裂縫模型解的一致性驗(yàn)證Fig.3 Consistency verification examples of fractal discrete fracture model

4 離散裂縫分形參數(shù)敏感性

為研究分形參數(shù)對試井曲線的影響特征，分別取不同的Dc、Dl、α、θ0、F，計(jì)算并繪制相應(yīng)的試井曲線。

4.1 中心分布維數(shù)

在分形離散裂縫模型中，區(qū)域中裂縫位置中心的分形維數(shù)Dc越大，裂縫數(shù)目越多。設(shè)θ0=π/4，F(xiàn)=35，α=3.5，Dl=1.3，Dc為1.7、1.8、1.9，建立分形離散裂縫模型，計(jì)算并繪制Dc取不同值時(shí)對應(yīng)的試井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)響應(yīng)曲線(見圖5)。由圖5可見，Dc越大，裂縫條數(shù)越多，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在中期段“下凹”越深。原因是文中模型將基質(zhì)視為連續(xù)性滲透介質(zhì)，除了具有儲集能力外，還具有一定滲流能力：當(dāng)裂縫

圖4 相同分形參數(shù)不同裂縫模型的壓力響應(yīng)曲線Fig.4 Pressure response curves of different fracture models with the same fractal parameter

較少時(shí)，基質(zhì)是主要滲透介質(zhì)；當(dāng)裂縫較多時(shí)(裂縫近似成為一種連續(xù)介質(zhì))，裂縫成為主要滲透介質(zhì)。因此，裂縫數(shù)目越多，裂縫所占的總系統(tǒng)的彈性孔隙體積越大，文中模型的雙重介質(zhì)特征越明顯，壓力導(dǎo)數(shù)曲線中期段“下凹”越深。

4.2 長度分布維數(shù)

在分形離散裂縫模型中，表示裂縫長度維數(shù)的Dl除了影響裂縫的長度外，還影響裂縫的總數(shù)量。設(shè)θ0=π/4，F(xiàn)=5，α=3.5，Dc=1.9，Dl為1.2、1.3、1.4，建立分形離散裂縫模型，計(jì)算并繪制Dl取不同值時(shí)對應(yīng)的試井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)響應(yīng)曲線(見圖6)。由圖6可見，Dl的作用與裂縫中心分布維數(shù)Dc相反，其值越大，裂縫總數(shù)越少。因此，Dl對試井曲線的影響特征也相反，即Dl越大，壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線中期段的“下凹”越淺。

圖5 裂縫中心分布維數(shù)Dc對壓力響應(yīng)曲線的影響

Fig.5 Effect of fracture center distribution dimensionDcon the pressure response curves

圖6 裂縫長度分布維數(shù)D1對壓力響應(yīng)曲線的影響

Fig.6 Effect of fracture length distribution dimensionD1on the pressure response curves

4.3 裂縫分布密度

在分形離散裂縫模型中，表示模擬區(qū)域中裂縫密度的α反映區(qū)域中裂縫的總條數(shù)。設(shè)θ0=π/4，F(xiàn)=35，Dl=1.3，Dc=1.9，α為2.5、3.5、4.5，建立分形離散裂縫模型，計(jì)算并繪制α取不同值時(shí)對應(yīng)的試井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)響應(yīng)曲線(見圖7)。由圖7可見，α與裂縫中心分布維數(shù)Dc對試井曲線的影響規(guī)律一致，即α越大，裂縫數(shù)目越多，壓力導(dǎo)數(shù)曲線中期段的“下凹”越深。

4.4 Fisher常數(shù)

在分形離散裂縫模型中，F(xiàn)isher常數(shù)F決定裂縫方向與地層主應(yīng)力方向的符合程度。設(shè)θ0=π/4，α=3.5，Dl=1.3，Dc=1.9，令F為5、25、65，建立分形離散裂縫模型，計(jì)算并繪制F取不同值時(shí)對應(yīng)的試井壓力響應(yīng)曲線(見圖8)。由圖8可見，F(xiàn)越大，裂縫方向的一致性越好，裂縫總體發(fā)育方向越有序，裂縫對滲流作用的總體控制程度越高，壓力波及面積越小，波及范圍內(nèi)裂縫的孔隙總體積越小，壓力導(dǎo)數(shù)曲線中期段的“下凹”越淺。

4.5 地層主應(yīng)力方向

設(shè)F=25，α=3.5，Dl=1.3，Dc=1.9，θ0為π/2、π/3、π/4，建立分形離散裂縫模型，計(jì)算θ0取不同值時(shí)對應(yīng)的試井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)響應(yīng)曲線(見圖9)。由圖9可見，當(dāng)F為常數(shù)時(shí)，裂縫方向與主應(yīng)力方向基本一致，裂縫對滲流作用的總體控制程度相近，垂直井的流動形態(tài)以平面徑向流為主，地層主應(yīng)力方向θ0對試井曲線影響較小。

5 實(shí)例分析

應(yīng)用文中模型，選取中國西部某裂縫性油藏的一口垂直測試井進(jìn)行試井解釋，自動擬合參數(shù)：C=0.13 m3/MPa，S=5,Dc=1.92，Dl=1.34，F(xiàn)=20.54，α=3.54。由于θ0對試井曲線不敏感，在擬合解釋時(shí)，參照油藏取為常數(shù)。擬合后的試井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖10。由圖10可見，試井的實(shí)際壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線與文中模型計(jì)算的曲線基本符合，表明文中模型解釋結(jié)果可靠，具有現(xiàn)場實(shí)用性。

圖7 裂縫密度α對壓力響應(yīng)曲線的影響Fig.7 Effect of fracture density α on the pressure response curves

圖8 Fisher常數(shù)F對壓力響應(yīng)曲線的影響Fig.8 Effect of Fisher's constant F on the pressure response curves

圖9 地層主應(yīng)力方向θ0對壓力響應(yīng)曲線的影響Fig.9 Effect of formation principal stress direction θ0 on the pressure response curves

圖10 某裂縫性油藏壓力及其壓力導(dǎo)數(shù)擬合曲線Fig.10 Pressure and its derivative fitting curve

6 結(jié)論

(1)建立具有分形特征的離散裂縫數(shù)值試井解釋模型及其求解方法，與連續(xù)性雙重介質(zhì)模型解析解對比，驗(yàn)證模型的正確性。隨機(jī)生成的不同分形離散裂縫模型的試井曲線表明，在相同的分形參數(shù)控制下，各模型的解基本一致，文中模型中分形參數(shù)對試井曲線具有較好的控制程度。

(2)裂縫的中心分布維數(shù)、長度分布維數(shù)、分布密度、應(yīng)力主方向，以及Fisher常數(shù)等影響壓力導(dǎo)數(shù)曲線下凹程度，裂縫中心分布維數(shù)和分布密度越大，或Fisher常數(shù)和裂縫長度分布維數(shù)越小，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在中期段“下凹”越深；應(yīng)力主方向?qū)毫?dǎo)數(shù)影響較小。

(3)某裂縫性油藏測試井試井解釋表明，采用擬合參數(shù)的試井解釋曲線與實(shí)際現(xiàn)場測試壓力曲線相符，文中模型具有一定的現(xiàn)場實(shí)用性。

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2016-08-06；編輯：張兆虹

長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(IRT1294)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(14CX02045A)

吳明錄(1978-)，男，博士，副教授，主要從事油氣田開發(fā)工程方面的研究。

TE357

A

2095-4107(2016)06-0114-07

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2016.06.013