程德勝, 武晨

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院 基礎(chǔ)課程教學(xué)部, 南京 江蘇 210019)

一類三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

程德勝, 武晨

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院 基礎(chǔ)課程教學(xué)部, 南京 江蘇 210019)

考慮一類三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題u?(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ, 其中，0<η<1,0<α<1/η,λ>0,f滿足超線性或者次線性條件，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到上述邊值問(wèn)題解的存在性結(jié)果.結(jié)果表明：文中方法進(jìn)一步改進(jìn)和推廣了吳紅萍的結(jié)果. 關(guān)鍵詞： 三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題; 錐; 格林函數(shù); 不動(dòng)點(diǎn)定理

三階微分方程邊值問(wèn)題是研究奇數(shù)階邊值問(wèn)題的基礎(chǔ),由于其廣泛的物理背景和現(xiàn)實(shí)意義，三階邊值問(wèn)題引起了許多學(xué)者的關(guān)注，并且取得了較多成果[1-10]. 吳紅萍[2]考慮了三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題u?(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ.其中：0<η<1；0<α<1/η；λ>0.通過(guò)應(yīng)用Leggett-Wilmlias不動(dòng)點(diǎn)定理得到上述邊值問(wèn)題有3個(gè)正解的存在性.但作者僅考慮在上述條件下解的存在性，并沒(méi)有考慮到當(dāng)f滿足超線性或次線性條件下,上述邊值問(wèn)題的解是否存在.本文研究一類三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題,即

1 一些引理及定義

引理2[3]邊值問(wèn)題 u?(t)+a(t)f(u(t))=0，t∈(0,1)，u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ,有唯一解，即

(2)

引理4[3]對(duì)任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]，有0≤G1(t,s)≤s(1-s).

(3)

由引理3可得

則有

(4)

當(dāng)t∈[τ,1]時(shí)，由引理3和式(4),有

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)f0=0，且f∞=∞(超線性)，則邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解.

證明 因?yàn)閒0=0，所以存在R1>0，使0≤u≤R1時(shí)，有f(u)≤εu,t2≤ε‖u‖成立.其中，ε為大于0的常數(shù)，且滿足

(5)

當(dāng)u∈K,‖u‖=R1時(shí)，由引理3和式(5)，有

(6)

令Ω1={u∈E：‖u‖

另一方面，由f∞=∞可知，存在R2>R1，使u≥τ2R2時(shí)，有f(u)≥ρu成立.其中，ρ>0，且滿足

(7)

令Ω2={u∈E：‖u‖

定理2 假設(shè)f0=∞，且f∞=0(次線性)，則邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解.

證明 因?yàn)閒0=∞，則存在R3>0，使0≤u≤R3時(shí)，有f(u)≥δu成立.其中，δ>0，且滿足

(8)

當(dāng)u∈K,‖u‖=R3時(shí)，由式(8)可得

令Ω3={u∈E：‖u‖0，且滿足

(9)

下面分兩種情況進(jìn)行討論.

1) 如果f是有界的，即存在M>0，當(dāng)u∈[0,+∞]時(shí)，有f(u)≤M成立，此時(shí)，令

從而‖Tu‖≤‖u‖.

因此,‖Tu‖≤‖u‖.無(wú)論哪一種情況，都可以令Ω4={u∈E：‖u‖

3 結(jié)束語(yǔ)

建立適當(dāng)?shù)母窳趾瘮?shù)，選擇合適的錐，運(yùn)用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，對(duì)一個(gè)含參數(shù)的三階邊值問(wèn)題在滿足超線性或者次線性條件下正解的存在性進(jìn)行了探究，得到了一些新的推廣的結(jié)果，也豐富了對(duì)錐拉伸壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理的理論分析.

[1] 楊春風(fēng).一類三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性和不存在性[J],山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2012,47(10):109-115.

[2] 吳紅萍.一類三階三點(diǎn)非齊次邊值問(wèn)題的兩個(gè)正解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,48(6):9-12.

[3]SUNYongping.Positivesolutionsforthird-orderthree-pointnonhomogeneousboundaryvalueproblems[J].ApplMathLetters,2009,22(1):45-51.

[4] 王全義,鄒黃輝.一類n階非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的存在性[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,35(3):344-348.

[5] 王全義,鄒黃輝.非線性奇異三階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的存在性[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,33(6):699-704.

[6] 高婷,韓曉玲.三階無(wú)窮多點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,53(1):35-41.

[7] 武晨.帶有積分型邊值條件的奇異的n階邊值問(wèn)題無(wú)窮多正解的存在性[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015(3):14-17.

[8] 孫建平,張小麗.非線性三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,48(3):1-4.

[9] 孫建平,彭俊國(guó),郭麗君.非線性三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,35(1):139-142.

[10] 呂學(xué)哲,裴明鶴.一類三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014(5):577-580.

(責(zé)任編輯： 錢筠 英文審校： 黃心中)

Existence of Positive Solution for Third-Order Three-Point Boundary Value Problems

CHENG Desheng, WU Chen

(Basic Courses Teaching Department， Branch of Nanjing Jiangsu Union Technical Institute, Nanjing 210019, China)

We study the existence of positive solution to the following third-order three-point boundary value problemsu?(t)+a(t)f(u(t))=0，t∈(0,1)，u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ, where 0<η<1, 0<α<1/η,λ>0. By using fixed point theorem in cones, we obtain the existence of the positive solution iffis either superlinear or sublinear. Our results extend and improve some results made by Wu Hongping. Keywords： third-order three-point boundary value problem; cone; Green fuction; fixed point theorem

10.11830/ISSN.1000-5013.201701025

2016-11-25

程德勝(1970-)，男，副教授，主要從事非線性泛函分析、課程論的研究.E-mail:cdsyycxr@sina.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60773128)

O 175.8

A

1000-5013(2017)01-0127-04