任春年， 李文東， 顧永建

(1.中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100； 2.青島科技大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，山東 青島 266061)

普適投幣算符作用的量子行走數(shù)值解以及安德森局域化仿真

任春年1，2， 李文東1， 顧永建1

(1.中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100； 2.青島科技大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，山東 青島 266061)

量子行走在量子計(jì)算與量子系統(tǒng)仿真方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值，因而成為當(dāng)前量子信息領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。但量子行走的數(shù)值解和解析解，尤其是高維量子行走相關(guān)解的研究工作還比較少。另外，近期的研究表明：量子行走可用于模擬物理系統(tǒng)中十分重要的安德森局域化現(xiàn)象，因此研究普適投幣情況下的量子行走的解具有一定的科研價(jià)值。本文在現(xiàn)有的一維普適算符基礎(chǔ)上，通過(guò)直積的方式構(gòu)造了二維普適投幣算符，給出了其數(shù)值解，并利用數(shù)值解對(duì)二維的安德森局域化現(xiàn)象進(jìn)行了仿真。為普適投幣情況下的量子行走及安德森局域化提供了理論研究的工具。

量子行走； 普適投幣算符； 安德森局域化； 量子仿真

1958年安德森指出周期性勢(shì)阱的無(wú)序化(Disorder)將導(dǎo)致粒子波函數(shù)出現(xiàn)局域化現(xiàn)象，被稱(chēng)為安德森局域化[7]。局域化是由邊界條件的隨機(jī)變化造成動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)周期性的破壞，并產(chǎn)生的一種量子態(tài)耗散缺失的現(xiàn)象。根據(jù)非周期性邊界隨時(shí)間是否變化，局域化可分為動(dòng)態(tài)disorder和靜態(tài)disorder。通過(guò)量子行走的演化算符可對(duì)局域化進(jìn)行模擬[8-11]，并且量子行走用于模擬安德森局域化在理論和實(shí)驗(yàn)上都有很大的優(yōu)勢(shì)，但是目前的研究主要集中在一維量子行走的情況[12-13]，僅有少量的文獻(xiàn)分析了Hadamard投幣算符作用下二維量子行走的情況[14-15]，而普適投幣算符作用下量子行走以及三維的量子行走中的安德森局域化在理論和實(shí)驗(yàn)上都沒(méi)有文獻(xiàn)報(bào)道。

本文的主要工作分為三部分：首先選用文獻(xiàn)[16]給出的幺正算符用作量子行走的普適投幣算符，推導(dǎo)出了普適投幣算符作用下量子行走的遞推解。其次，通過(guò)直積的方法使用普適投幣算符構(gòu)造了二維普適投幣算符，推導(dǎo)出了遞推解。最后，根據(jù)該遞推結(jié)果對(duì)靜態(tài)disorder和動(dòng)態(tài)disorder情況下的局域化進(jìn)行了仿真。

1 普適投幣算符及其作用下一維量子行走遞推解的推導(dǎo)

假設(shè)行走者沿著處于一條直線上的N個(gè)離散點(diǎn)移動(dòng)，此時(shí)的空間構(gòu)成了一個(gè)N維的希爾伯特空間HN，計(jì)算基為{|j〉,0≤j≤N-1}對(duì)應(yīng)于頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)。投幣和移位直積成的空間為H2?HN，計(jì)算基為{|s，j〉,0≤s≤1,0≤j≤N-1}，假設(shè)s=0對(duì)應(yīng)著向前行走的情況，s=1對(duì)應(yīng)著向后行走的情況，此條件下的移位算符：

S|s，j〉=|s，j+(-1)s〉，

(1)

在t=0時(shí)刻的狀態(tài)描述為：

(2)

|Ψ0,j(t)|2+|Ψ1,j(t)|2=1。

(3)

當(dāng)實(shí)現(xiàn)投幣操作的量子器件是理想狀態(tài)時(shí)(例如能夠嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)1∶1分光的分束器)，對(duì)應(yīng)公平投幣(FairCoin)，數(shù)學(xué)上用Hadamard矩陣表示。但Hadamard矩陣無(wú)法描述非理想狀態(tài)下的非公平投幣(UnfairCoin)操作。公平投幣情況下，一維的(線或環(huán))量子行走向前和向后行走的概率是相同的，其投幣算符為：

(4)

此時(shí)的量子行走演化算符為標(biāo)準(zhǔn)的演化算符

(5)

由于真實(shí)的物理系統(tǒng)受到器件工藝水平的限制以及外界因素的干擾，投幣過(guò)程往往要偏離公平投幣狀態(tài)。因此，研究同時(shí)適用于公平投幣和非公平投幣的普適投幣算符具有一定的研究?jī)r(jià)值[17]。Bach的文章指出一維投幣算符可對(duì)應(yīng)于如下的任意的2×2酉矩陣[15]：

(6)

(7)

下面使用普適算符推導(dǎo)量子行走演化過(guò)程的遞推解，首先用普適投幣算符分別作用到|0〉和|1〉狀態(tài)上：

(8)

e-iδsinθ|0〉-e-iΔcosθ|1〉。

(9)

設(shè)第t步的波函數(shù)為|Ψ(t)〉，對(duì)當(dāng)前波函數(shù)應(yīng)用一次普適投幣算符和移位算符，得到第t+1步的波函數(shù)|Ψ(t+1)〉：

|Ψ(t+1)〉=U|Ψ(t)〉=

(10)

對(duì)應(yīng)(2)式將|Ψ(t+1)〉展開(kāi)為如下形式：

(11)

所以普適投幣算符下一維量子行走波函數(shù)的遞推關(guān)系是：

(12)

2 普適投幣算符作用下的二維量子行走

二維量子行走是經(jīng)典二維隨機(jī)行走的量子力學(xué)對(duì)應(yīng)，是在一個(gè)平面中的行走，具有前后左右四個(gè)方向。為推導(dǎo)普適投幣算符作用下的二維量子行走，本文首先對(duì)公平投幣算符作用下的二維量子行走進(jìn)行了推導(dǎo)。二維公平投幣算符是由兩個(gè)Hadamard門(mén)直積構(gòu)成的，量子行走的投幣和位置在希爾伯特空間中可分別用矢量表示為|ix，iy〉和|x，y〉。一個(gè)行走者從二維空間某點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行行走，它具有前后左右四個(gè)方向：沿著x方向?yàn)榍昂笮凶撸刂鴜方向?yàn)闉樽笥倚凶?。設(shè)任意時(shí)刻總的波函數(shù)用|Ψ(t)〉表示，|Ψ(t)〉可展開(kāi)為如下波函數(shù)的線性疊加：

(13)

(14)

二維公平投幣可以采用以下兩個(gè)Hadamard矩陣直積得到。為計(jì)算的方便，Hadamard矩陣寫(xiě)成外積表示：

(15)

則二維公平投幣算符為：

(16)

此時(shí)算符可以表示成如下的張量形式：

(17)

投幣算符的張量表示可簡(jiǎn)化量子行走求解過(guò)程的復(fù)雜度。類(lèi)似于上述對(duì)二維公平投幣的構(gòu)造和分析?？蓪?shí)現(xiàn)對(duì)于二維的普適投幣算符構(gòu)造：

H2dg=C?C=

(18)

這里記a=cos2θ，b=cosθsinθ，c=sin2θ。

利用二維普適投幣算符(18)寫(xiě)出遞推式

(19)

上式(19)即為普適投幣算符下的遞推解，使用遞推關(guān)系可對(duì)二維量子行走進(jìn)行模擬仿真。現(xiàn)設(shè)t=0時(shí)初態(tài)為：

(20)

上式展開(kāi)成希爾伯特空間中的外積表示后得到：

(21)

把式(21)代入到(19)任意時(shí)間和任意位置上的概率分布，可以得到二維量子行走的概率分布：

(22)

3 普適投幣算符作用下二維量子行走的仿真結(jié)果與分析

另外，我們用一組隨時(shí)間快速變化的投幣算符仿真量子行走的動(dòng)態(tài)disorder的情況，仿真結(jié)果如圖5所示。同樣的20步的行走動(dòng)態(tài)的disorder將導(dǎo)致更加明顯的安德森局域化現(xiàn)象。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先給出了一維量子行走普適投幣算符的矩陣表示，并給出了普適投幣算符作用下一維量子行走的遞推解。然后使用直積的方法構(gòu)造了二維量子行走的普適投幣算符，推導(dǎo)了該普適投幣算符的的作用下二維量子行走的遞推解。使用該遞推解進(jìn)行了仿真，仿真的結(jié)果表明量子行走在使用disorder的投幣算符作用下會(huì)出現(xiàn)安德森局域化。在本文研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步討論二維和三維量子行走的解析解，并考慮將所要仿真的物理系統(tǒng)的參數(shù)跟量子行走的參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一，從而用于模擬該物理系統(tǒng)。

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責(zé)任編輯 陳呈超

The Numerical Solution of Quantum Walk with General Coin Operator and Simulation Anderson Localization

REN Chun-Nian1,2， LI Wen-Dong1, GU Yong-Jian1

(1.College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100，China; 2.College of Information Science and Technology, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266042, China)

Quantum walk in the fields such as quantum computation and quantum simulator have important application. Recent studies show that the general quantum walk can be used to simulate extremely important Anderson localization phenomenon. The theory and experiment on quantum walk in one dimensional have been relatively comprehensive discussion, but the condition of the high dimensional quantum walk is still scarce. The article uses one dimensional universal operator to construct two-dimensional universal coin operator, and derives the numerical solution. Finally the article accomplishs the simulation of two-dimensional Anderson localization.At first, we derive a pervasive matrix representation of one-dimensional quantum walk’s coin, and use the general coin to calculate the recursive solution of one-dimensional quantum walks. then, the general quantum walk can be simulated by the recursive solution in our paper. Secendly, we use the method of the direct product to construct the pervasive coin of two-dimensional quantum walk. The recursive solution of two-dimensional quantum walk can be used to perform the simulation algorithms, and the simulation results show that quantum walk occer disorder in using the general coin and Anderson localization is obtained. The analytical solutions of this paper can be used to further discusse three-dimensional quantum walks, construction of a experimental physical system which is used to simulate Anderson localization and delocalization.

quantum walk； universal operator； anderson localization； quantum simulator

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61402246)；中國(guó)博士后基金項(xiàng)目(2013M531771)資助

2014-12-10；

2015-10-12

任春年(1976-)，男，博士生。E-mail:scienceren@yeah.net

O431.2

A

1672-5174(2017)04-121-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20140326

任春年， 李文東， 顧永建. 普適投幣算符作用的量子行走數(shù)值解以及安德森局域化仿真[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2017, 47(4): 121-125.

REN Chun-Nian， LI Wen-Dong, GU Yong-Jian. The numerical solution of quantum walk with general coin operator and simulation anderson localization[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(4): 121-125.

Supported by the National Natural Science Foundation of China(61402246); China Postdoctoral Science Foundation (2013M531771)