翁天陽，莊 宇，劉云飛

(南京林業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210037)

基于改進(jìn)的多層小波分解壓縮感知圖像處理*

翁天陽，莊 宇，劉云飛

(南京林業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210037)

為了改進(jìn)圖像恢復(fù)效果，減少運(yùn)行時間，提出了一種基于改進(jìn)的多層小波分解壓縮感知圖像的處理方法。該方法利用小波變換對圖像進(jìn)行多層分解，根據(jù)小波域高頻系數(shù)分布特點(diǎn)通過高斯矩陣隨機(jī)觀測，利用正交匹配追蹤算法(OMP)恢復(fù)高頻系數(shù)，最后通過小波逆變換重構(gòu)圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的算法優(yōu)于傳統(tǒng)算法，峰值信噪比(PSNR)平均提高了4～6 dB，運(yùn)行時間縮短了1～2個量級，為物聯(lián)網(wǎng)、無線傳輸技術(shù)提供了更好的可能性。

壓縮感知；多層；分塊；小波變換；高斯矩陣；正交匹配追蹤算法；重構(gòu)

壓縮感知理論是在2006年由Donoho、Candes等在相關(guān)研究基礎(chǔ)上正式提出的[1-3]， 壓縮感知的基本思想就是當(dāng)信號在某一正交變換基上能夠稀疏化表示或者能在特定的域中轉(zhuǎn)換成稀疏信號，利用較少的觀測信息重構(gòu)出原始信號。壓縮感知方法直接對原始信號進(jìn)行隨機(jī)觀測。因觀測量小于原信號，因而在采樣的同時對信號實(shí)現(xiàn)壓縮，即對信號低速采樣[4-5]，最后通過重構(gòu)算法恢復(fù)即可。這一理論一經(jīng)建立便在信號處理領(lǐng)域、通信領(lǐng)域、醫(yī)療醫(yī)學(xué)成像技術(shù)領(lǐng)域收到了較高的關(guān)注度[6-7]，具有重要的實(shí)踐意義。

1 壓縮感知理論

(1)

將N維信號投影到M維中，用觀測矩陣φ觀測稀疏域得到觀測向量y。

y=φα=φψTx.

(2)

通過求解α就可以得到信號x。由于維數(shù)M遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號的長度N，因此必須求解欠定方程組，Tao等人證明若式(3)成立，則觀測矩陣滿足RIP性質(zhì)，方程可以有唯一解。

(3)

式中，δ∈(0，1)稱為RIP常數(shù)。因此，可以將求解欠定方程組這一問題轉(zhuǎn)化為求解l0范數(shù)下的最優(yōu)化問題。即

min‖x‖0s.t.y=φx.

(4)

求解l0問題可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求解l1的凸優(yōu)化問題，即

min‖x‖1s.t.y=φx.

(5)

求解式(5)常用的算法有貪婪算法和迭代閾值算法。正交匹配追蹤算法(OMP)是貪婪算法的一種，也是具有廣泛性的一種算法。

2 基于空域分塊的小波變換壓縮感知算法

傳統(tǒng)的壓縮感知算法在重構(gòu)時每次只能在觀測矩陣中選取一個原子處理，重建過程非常緩慢，當(dāng)隨著迭代次數(shù)的增加，總體消耗的時間也將大幅度增加。為了提高整體運(yùn)行速度。這里將原本256×256的圖像分成32×32圖像塊，然后利用對每個圖像塊進(jìn)行二維小波分解，保留每塊小波域的LL部分，對其余三塊高頻子塊單獨(dú)進(jìn)行高斯隨機(jī)觀測，然后對三個高頻子塊依次重構(gòu)，最后通過二維小波反變換得出空域圖像。

本文在圖像重構(gòu)時采用是正交匹配追蹤算法(OMP)，具體算法描述如下：

輸入：觀測矩陣φ，觀測向量y，稀疏度k

初始化：殘差r0=y，索引集Λ0=?，n=1

3) 最小二乘法近似求解

5) 判斷n是否大于k，若大于，則停止迭代，否則繼續(xù)迭代。

3 基于小波域分塊的多層小波變換的壓縮感知算法

上述空域分塊等同于對圖片加了幾個矩形窗，這必然會導(dǎo)致頻譜泄露，因此本文采用在小波域分塊的方法來減少邊界信息的丟失。本算法首先對整幅圖像進(jìn)行多層小波變換，將圖像分成LL，HL，LH，HH，HLLL，HLHL……。然后針對小波域中不同的區(qū)域采用不同的觀測矩陣，以此來提高圖像的整體壓縮比和改進(jìn)壓縮效果。

本文選用8×8的塊圖像。分塊壓縮觀測算法的數(shù)學(xué)表達(dá)式見(6)、(7)、(8)。

(6)

(7)

(8)

一個M×N的高斯矩陣的每一個元素都滿足N(0，1/N)的獨(dú)立正態(tài)分布，它幾乎與任意的稀疏信號都不相關(guān)，因此所需要的測量次數(shù)很小，是較常用的CS觀測矩陣。

哈達(dá)瑪(Hadamard)矩陣也用作CS觀測矩陣，它是由+1和-1兩種元素構(gòu)成的且滿足Hn*HnT=nI，其中HnT為Hn的轉(zhuǎn)置，I為單位方陣，n為階數(shù)。在N×N的哈達(dá)瑪矩陣中隨機(jī)地選取M行向量，構(gòu)成一個M×N的觀測矩陣。

采用多層小波分解保留了全部低頻信息，而在高頻區(qū)域則根據(jù)HH，LH，HL……稀疏度逐漸升高，觀測矩陣的M值也逐漸加大。較單層小波算法，整體性提高，消除了塊效應(yīng)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)第二節(jié)方法，分別對256×256的Lena、barbara圖進(jìn)行測試，利用隨機(jī)高斯矩陣和部分哈達(dá)瑪矩陣進(jìn)行隨機(jī)觀測，重構(gòu)圖像時采用正交匹配追蹤算法(OMP)。依次選取M/N分別為25%、30%、40%、50%、60%、75%來仿真，分別對傳統(tǒng)的OMP重構(gòu)算法、改進(jìn)的空域分塊的小波變換壓縮感知算法以及本文提出的小波域分塊多層小波變換壓縮感知重構(gòu)算法進(jìn)行仿真分析。

首先，對Lena圖進(jìn)行三種算法的比較，在不同壓縮比下記錄峰值信噪比以及觀測比為50%時運(yùn)行的平均時間。結(jié)果如表1所示。從表1可知，本文的算法優(yōu)于傳統(tǒng)算法，運(yùn)行速度提高了1～2個量級，峰值性噪比提高了4～6 dB。

最后，采用本文算法利用高斯隨機(jī)觀測對Lena、Barbara兩幅圖像進(jìn)行恢復(fù)。圖1為Lena處理圖像，(a)為原始圖像，(b)、(c)、(d)分別為觀測比為25%、50%、75%時的恢復(fù)圖像。圖2為Barbara處理圖像，(e)為原始圖像，(f)、(g)、(h)分別為觀測比為25%、50%、75%時的恢復(fù)圖像。

表1 三種算法比較

觀察圖1，圖2，我們得知，Lena圖在50%的觀測比時就有較好的恢復(fù)效果，而Barbara圖在75%的觀測比時圖像才清晰。因?yàn)長ena圖屬于較為平滑的圖像，圖像信息主要集中在低頻區(qū)域，而Barbara圖像在高頻區(qū)域成分較多，在隨機(jī)觀測時損失了較多的高頻信息，恢復(fù)效果稍差。

(a) (b) (c) (d)

圖1 Lena圖不同觀測比恢復(fù)效果

(e) (f) (g) (h)

圖2 Barbara圖不同觀測比恢復(fù)效果

5 結(jié)束語

本文提出了一種在小波域分塊，并采取多層小波變換的壓縮感知的重構(gòu)算法，經(jīng)過多層小波分解后，根據(jù)提取的低頻、中頻、高頻特點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)觀測，解決了空域分塊造成的信息泄漏問題。通過實(shí)驗(yàn)表明，本文算法與傳統(tǒng)的壓縮感知方法相比，峰值信噪比平均提高了4～6 dB，并且在運(yùn)算時間上，縮短了1～2個量級，非常適合應(yīng)用于硬件的實(shí)現(xiàn)，并為物聯(lián)網(wǎng)、無線傳輸技術(shù)提供了更好的可能性。

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Compressed Sensing Image Processing Based on Improved Multi Layer Wavelet Decomposition

Weng Tianyang, Zhuang Yu, Liu Yunfei

(CollegeofInformationScienceandTechnology,NanjingForestryUniversity,NanjingJiangsu210037,China)

In order to improve the effect of image restoration and reduce the operation time, a compressed sensing method based on improved multi-layer wavelet decomposition is proposed. The image is divided into multi-blocks by multilayer wavelet transform and the Gaussian matrix is used to observe the high frequency based on the characteristics in domain. For the reconstruction, high frequency can be recovered by the matching pursuit algorithm (OMP) and the image can be reconstructed by the inverse wavelet transformation. Simulation results demonstrate that the proposed algorithm is better than the traditional algorithm, and the PSNR is improved about 4～6 dB, and the operating time is shortened about 1～2 magnitude. It provides a better possibility for Internet of things and wireless transmission technology.

compressed sensing; multi layer; blocks; wavelet transform; Gaussian matrix; matching pursuit algorithm; reconstruction

2016-09-30

國家自然科學(xué)基金(31170668)

翁天陽(1992- )，女，江蘇啟東人，碩士研究生，主研方向：信號處理。

1674- 4578(2016)06- 0005- 02

TP391.41，TN911.72

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