饒雪，劉開培，楊潔，秦亮

（武漢大學電氣工程學院，武漢430072）

0 引 言

隨著柔性直流輸電工程的逐步建設，其系統(tǒng)穩(wěn)定性必將成為影響電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行的重要因素，尤其在柔性直流輸電網(wǎng)絡中，隨機性新能源的接入也帶來了更多的小擾動因素［1］，小擾動會影響系統(tǒng)的運行穩(wěn)定性。因此對柔性直流輸電網(wǎng)絡進行小信號穩(wěn)定性分析，判斷系統(tǒng)在指定的運行方式下是否穩(wěn)定，具有重要的意義。

對柔性直流輸電網(wǎng)絡進行小信號穩(wěn)定性分析時，重點在于柔性直流輸電網(wǎng)絡的小信號建模以及推導靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)。文獻［2］根據(jù)換流站的外特性直接將換流站簡化；文獻［3］用狀態(tài)空間平均法將換流站等效為理想變壓器；文獻［4］未考慮直流輸電線路中的電容電感效應對系統(tǒng)小信號穩(wěn)定的影響；文獻［5］采用模態(tài)分析研究多端柔性直流輸電系統(tǒng)小信號穩(wěn)定性，未分析參數(shù)優(yōu)化；文獻［6］采用傳遞矩陣分析方法研究與弱交流系統(tǒng)互聯(lián)的柔性直流輸電系統(tǒng)小信號穩(wěn)定極限。這些研究均取得了一定成功，但在模型構(gòu)造及穩(wěn)定性優(yōu)化問題上存在欠缺。

本文針對以上研究問題，推導更適用于柔性直流輸電網(wǎng)絡的小信號模型，通過狀態(tài)空間法及李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)分析柔性直流輸電網(wǎng)絡小信號穩(wěn)定性判據(jù)，以三端柔性直流輸電網(wǎng)絡為算例，判斷在特定工作點下柔性直流輸電網(wǎng)絡的小信號穩(wěn)定性，并進行PI參數(shù)優(yōu)化仿真，最后用參與因子驗證優(yōu)化規(guī)律，為提高系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性提供依據(jù)，便于柔性直流輸電網(wǎng)絡實際工程應用中控制器設計的研究。

1 柔性直流輸電網(wǎng)絡小信號建模

柔性直流網(wǎng)絡的小信號模型主要包括三個部分：電壓源型換流站、控制系統(tǒng)和直流輸電網(wǎng)絡。

1.1 電壓源型換流站的小信號模型

電壓源型換流站的線性化方程基于dq0坐標系下的準穩(wěn)態(tài)模型，如圖1所示［7］。該模型表示，在理想條件下，換流器工作在穩(wěn)態(tài)工況時交流系統(tǒng)基波電壓、電流與直流電壓、電流間的關系。

圖1 電壓源型換流站的準穩(wěn)態(tài)模型Fig.1 Quasi steady statemodel of VSC-converter

在滿足一定假設條件下［8］，電壓源型換流器在dq0坐標系下的準穩(wěn)態(tài)模型為（d軸超前q軸）：

其中，在第i個換流器中，Lsi為聯(lián)結(jié)電抗器阻值，Rsi為等效電阻阻值，usdi、usqi為交流電源出口側(cè)電壓的dq分量，ucdi、ucqi為換流器出口側(cè)電壓的dq分量，isdi、isqi為換器出口側(cè)電流的dq分量。設第i個換流器正負極直流母線間的電壓為Udi，由于忽略換流站損耗，故有：

式中Ci為換流器直流側(cè)出口處電容；Iii為直流傳輸線路上的電流。

設isdi0為靜態(tài)工作點的電流，則擾動后的交流側(cè)電流d軸分量為：

同理，給其他系統(tǒng)參數(shù)增加擾動量，代入式（1），并在二次項處進行泰勒級數(shù)展開，略去高階無窮小項，可得換流站的線性化模型：

1.2 換流站控制系統(tǒng)的小信號模型

柔性直流輸電在交流系統(tǒng)平衡條件下的直接電流控制是目前廣泛采用的控制方法，此種控制方式分為內(nèi)環(huán)電流控制和外環(huán)電壓控制［9］。

大多數(shù)換流站外環(huán)采用定有功功率、定無功功率控制［10］，此時將外環(huán)控制器線性化后有：式中Δ表示擾動量；isdi*、isqi*為外環(huán)控制輸入給內(nèi)環(huán)的有功、無功電流控制指令；Pi*、Qi*為系統(tǒng)級控制器給定的有功、無功參考信號；Pi、Qi為系統(tǒng)運行時的交流側(cè)實際有功、無功功率；kpi1、kii1為定有功功率控制端外環(huán)PI調(diào)節(jié)器參數(shù)；kpi2、kii2為定無功功率控制端外環(huán)PI調(diào)節(jié)器參數(shù)。

為微分方程組計算方便，令：

控制目標擾動量的線性化方程：

將式（7）代入式（5）可得當采用定有功功率、定無功功率控制時電壓源型換流器外環(huán)控制器的線性化模型。

當采用直接電流控制時，將內(nèi)環(huán)控制器線性化后有：

式中 kpi3、kii3為有功控制端內(nèi)環(huán)PI調(diào)節(jié)器參數(shù)；kpi4、kii4為無功控制端內(nèi)環(huán)PI調(diào)節(jié)器參數(shù)。

同理，為微分方程組計算方便，則式（8）可簡化為：

對于平衡節(jié)點，需要為柔性直流電網(wǎng)提供電壓基準和支持，故應采用定直流電壓及定無功功率控制。此時將外環(huán)控制器線性化后有：

式中Δ表示擾動量；Udi*為系統(tǒng)級控制器給定的直流電壓參考信號。

同樣的，式（10）可簡化為：

內(nèi)環(huán)控制器的線性化方程如式（9），聯(lián)合式（11）可推算出在定直流電壓、定無功功率控制下，第i個電壓源型換流器的線性化方程。

1.3 直流輸電網(wǎng)絡的小信號模型

在柔性直流輸電網(wǎng)絡中，由于換流站出口處直流母線的長度遠小于輸電線路長度，在直流輸電線路模型的搭建時，忽略直流母線的長度，并將輸電線路進行π型等效，直流線路部分模型如圖2所示。

圖2 直流線路等效模型Fig.2 Equivalentmodel of DC line

圖中，Rij、Lij表示 i、j兩換流站間輸電線路的等效電阻和電感；C表示節(jié)點處分支輸電線路π型等效后的電容；Ci表示換流站出口處直流電容，當輸電線路不是很長時，Ci?C，故可以忽略這一端的等效電容；Udi為第i個換流站出口處電壓；為節(jié)點處的電壓；Idi表示第 i個換流站出口處電流；Iij表示 i、j兩換流站間輸電線路上的電流，由i到j為正。

則直流網(wǎng)絡的小信號模型為：

1.4 小信號模型的仿真驗證

通過將柔性直流輸電網(wǎng)絡的狀態(tài)方程在平衡點附近線性化得到了網(wǎng)絡的小信號模型，由于不能判定該線性化方法是否合理，故以兩端系統(tǒng)為例如圖3所示，通過電磁暫態(tài)仿真與小信號模型線性仿真對比，驗證小信號模型的正確性［11］。

圖3 兩端柔性直流輸電系統(tǒng)Fig.3 Double ended VSC-HVDC transmission system

在這個兩端柔性直流輸電系統(tǒng)中，整流站采用定有功功率、定無功功率控制，逆變站采用定直流電壓、定無功功率控制，在靜態(tài)工作點一致的前提下，設置整流側(cè)的有功功率產(chǎn)生小擾動，沖擊2 MVA，時間持續(xù)0.1 s，將兩個模型的仿真結(jié)果進行對比，如圖4～圖7所示。

在圖4～圖7中，上方的圖表示電磁暫態(tài)仿真中交流側(cè)電流等物理量的仿真結(jié)果，下方的圖表示小信號線性仿真中中交流側(cè)電流小擾動量的仿真結(jié)果。通過對比四組仿真波形可知，變化的趨勢和幅值基本一致，表明柔性直流網(wǎng)絡的小信號數(shù)學模型是正確的。

圖4 i sd1與Δi sd1的比較圖Fig.4 Comparison diagram between i sd1 andΔi sd1

圖5 i sq1與Δi sq1的比較圖Fig.5 Comparison diagram between i sq1 andΔi sq1

圖6 i sd2與Δi sd2的比較圖Fig.6 Comparison diagram between i sd2 andΔi sd2

圖7 i sq2與Δi sq2的比較圖Fig.7 Comparison diagram between i sq2 andΔi sq2

2 小信號穩(wěn)定性分析法

根據(jù)狀態(tài)空間法，有狀態(tài)方程式（13）：

動態(tài)系統(tǒng)的特征值即為狀態(tài)矩陣A的特征值，可由式（14）求解。

如果動態(tài)系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量，那么式（14）存在n個獨立解，這些解即為該系統(tǒng)的特征值。線性系統(tǒng)在工作點附近的小信號穩(wěn)定性可有李雅普諾夫穩(wěn)定性第一準則進行判斷，根據(jù)具體判據(jù)可知，當線性系統(tǒng)所有特征值的實部均為負時，該系統(tǒng)才為漸近穩(wěn)定。矩陣A的最小特征值|λ|min表征該點小擾動穩(wěn)定性的裕度，即|λ|min越大，系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性就越強［12］。

當計算出左右特征向量后，可根據(jù)式（15）求出對應的參與因子pki：

|pki|是一個系統(tǒng)指標，表示第k個模式與第i個狀態(tài)變量之間的可觀性及可控性。|pki|值越大，表明該狀態(tài)變量對該種模式具有更強的影響性［13］。

將電壓源型換流站、控制系統(tǒng)和直流輸電網(wǎng)絡的小信號模型結(jié)合起來，可以得出柔性直流輸電網(wǎng)絡的線性化狀態(tài)方程組，整理后有：

在式（13）中，矩陣A的構(gòu)成為：

因此柔性直流網(wǎng)絡小信號穩(wěn)定性分析的判據(jù)為：若狀態(tài)矩陣A中所有特征值的實部均為負值，則該柔性直流輸電網(wǎng)絡具有小信號穩(wěn)定性。

3 算例分析

本節(jié)以典型三端柔性直流輸電環(huán)網(wǎng)為例研究其小信號穩(wěn)定性，電路拓撲結(jié)構(gòu)如圖8所示。

此三端柔性直流輸電環(huán)網(wǎng)中換流站1采取定有功功率和定無功功率控制，換流站2采取定直流電壓和定無功功率控制，換流站3采取定有功功率和定無功功率控制，控制量給定參數(shù)和部分系統(tǒng)參數(shù) 如圖所示。根據(jù)潮流分布計算三端柔性直流輸電環(huán)網(wǎng)中各變量的穩(wěn)態(tài)初始值如表1所示。

表1 三端柔性直流輸電環(huán)網(wǎng)穩(wěn)態(tài)值Tab.1 Three-terminal VSC-HVDC ring network steady state value

圖8 三端柔性直流輸電環(huán)網(wǎng)電路拓撲結(jié)構(gòu)Fig.8 Circuit topology structure of three-terminal VSC-HVDC ring network

3.1 小信號穩(wěn)定性判斷

利用第二節(jié)介紹的狀態(tài)空間法對三端柔性直流輸電網(wǎng)絡的小信號模型進行整理如下：

該模型有3個節(jié)點，6條支路，故此狀態(tài)矩陣A是一個大?。?0×30）大小的矩陣，根據(jù)第1節(jié)推導的小信號模型，算出矩陣A中的各元素。

設換流站 1的 PI參數(shù)為 kp1、kp2、kp3、kp4、ki1、ki2、ki3、ki4；換流站 2的 PI參數(shù)為 kp5、kp6、kp7、kp8、ki5、ki6、ki7、ki8；換流站 3的 PI參數(shù)為 kp9、kp10、kp11、kp12、ki9、ki10、ki11、ki12，此時設置 PI參數(shù)為：

若要分析三端柔性直流輸電環(huán)網(wǎng)的小信號穩(wěn)定性，需要求解其狀態(tài)矩陣的特征值，求解可利用matlab程序?qū)崿F(xiàn)，求得的特征值結(jié)果如表2所示。

觀察表2，30個特征值的實部均為負，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，可知系統(tǒng)具有靜態(tài)穩(wěn)定性，且|λ|min，出現(xiàn)在第28號特征值。能表征在該平衡狀態(tài)下小擾動穩(wěn)定性的裕度，即|λ|min越大，系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定性就越強。

表2 特征值結(jié)果Tab.2 Results of characteristic value

3.2 PI參數(shù)優(yōu)化

影響系統(tǒng)小信號穩(wěn)定性的因素很多，若需提高系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性，即需要增大|λ|min，最常見措施是做PI參數(shù)優(yōu)化［14］，因此首先需要了解PI參數(shù)與特征值之間的關系，故做如表3所示探究：

表3 PI參數(shù)與特征值的關系Tab.3 Relationship between PI parameters and characteristic values

根據(jù)表3的仿真結(jié)果，總結(jié)在此種情況下PI參數(shù)與特征值的關系，可以得到如下規(guī)律：

（1）將 kp3、kp7、kp11分別乘以 10，|λ|min均變小，其值均約為原值的十分之一，其他kp值變化對特征值影響不大；

（2）將某一換流站的kp值全部乘以10，|λ|min均變小，其值均約為原值的十分之一；

（3）將 kp3、kp7、kp11同時乘以10，變小，且減小程度與這三個元素依次乘以10的程度相同；

（4）將 ki的各元素依次乘以10，|λ|min對特征值的影響均不大；

（5）將某一換流站的ki值全部乘以10，對特征值的影響不大；

（6）將 ki3、ki7、ki11同時乘以 10，|λ|min變大，其值約為原值的10倍。

若將 kp3、kp7、kp11同時乘以100、1 000、1 0000，特征值均變小，且變化程度與kp元素的變化存在比例關系。將 ki3、ki7、ki11依次乘以 100，|λ|min=3.399 789 329 825 847；若將 ki3、ki7、ki11依次乘以1 000，|λ|min=3.416 193 571 243 017；將 ki3、ki7、ki11依次乘100 000，|λ|min=3.417 795 291 270 069。由此可得特征值的變化與kp、ki元素均有關系，增大kp3、kp7、kp11會使最小特征值變小，增大 ki3、ki7、ki11會使最小特征值變大，且kp參數(shù)的可控性較強。

對于上述規(guī)律，進行參與因子驗證，編寫參與因子程序，將仿真結(jié)果的參與因子由大到小排列，由于直流網(wǎng)絡的參數(shù)設定除了與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有關，還需考慮其他因素，故此處略去直流網(wǎng)絡的狀態(tài)變量，取剩下排列前六的因子如表4所示。

由參與因子可知，忽略直流網(wǎng)絡狀態(tài)變量的影響，狀態(tài)變量 Δisd1、Δisd2、Δisd3、ΔZ7、ΔZ3、ΔZ11對最小特征值的影響較大，此六個狀態(tài)變量均與內(nèi)環(huán)控制的d軸控制參數(shù)有關，故可驗證上文的規(guī)律分析。但Δisd2、Δisd2、Δisd3除了包含 kp3、kp7、kp11也包含其他kp參數(shù)，對于kp參數(shù)的具體驗證此處還很欠缺，今后需更加精確的選擇狀態(tài)變量。

表4 參與因子排列表（略去直流網(wǎng)絡狀態(tài)變量）Tab.4 Participation factor list（omitted variable state DC network）

4 結(jié)束語

文中主要研究基于小信號模型的柔性直流輸電網(wǎng)絡運行穩(wěn)定性，完成柔性直流輸電網(wǎng)絡小信號模型的推導，以及狀態(tài)矩陣A的組成探究，提出柔性直流輸電網(wǎng)絡小信號穩(wěn)定性判據(jù)，通過具體算例分析推導出在特定運行方式下的柔性直流輸電網(wǎng)絡的小信號穩(wěn)定性，并進一步研究PI參數(shù)優(yōu)化規(guī)律，利用參與因子驗證該規(guī)律。得出結(jié)論如下：

（1）通過電磁暫態(tài)仿真和小信號線性仿真的對比可知，文中推導的小信號模型具有正確性；

（2）本文除了判斷具體算例的穩(wěn)定性，還提出一種研究PI參數(shù)優(yōu)化規(guī)律的方法，為柔性直流輸電網(wǎng)絡小信號穩(wěn)定性優(yōu)化提供依據(jù)。