孫 進，丁宗玲

（安徽大學(xué)，安徽 合肥 230601）

關(guān)于單擺運動的數(shù)值模擬與分析

孫 進，丁宗玲

（安徽大學(xué)，安徽 合肥 230601）

單擺在物理教學(xué)中是較為常見的實驗器件.在大學(xué)物理中對于它的研究主要局限在初始擺角很小情況下的簡諧運動.在本文中我們擺脫對初始擺角的局限，采用四階Runge-Kutta方法對于單擺的運動方程直接進行數(shù)值計算，考慮了無阻力和有阻力兩種情況下，從角位移、角速度隨時間變化的規(guī)律，周期、能量等方面來分析探討單擺的運動.

單擺；四階Runge-Kutta；周期；動能；機械能

1 引言

一根不會伸長的細線，上端固定，下端懸掛一個很小的重物，把重物移動后就可以在豎直平面內(nèi)來回擺動，這種裝置稱為單擺.單擺是生活和物理研究中較為常見實驗裝置.對于單擺運動規(guī)律的研究，在大學(xué)物理教學(xué)里面一般都是把它放在簡諧運動這一章節(jié)中講解，從牛頓第二運動定律出發(fā)，最后能夠解析求解出擺球運動的角位移隨時間按照余弦規(guī)律變化，因而單擺的運動是簡諧運動[1].但是我們知道，只有當(dāng)單擺的初始擺角小于5度時，它的運動才屬于簡諧運動，而在其它的情況下，由于運動方程很難解析求解，解的形式也較為復(fù)雜，因而它的運動特征在大學(xué)物理教科書上很少提到.

隨著計算機的普及運用，對于一些復(fù)雜物理問題的數(shù)值模擬變得越來越簡單.通過計算機語言和一些作圖軟件，可以很輕松的繪制出物體運動的軌跡以及各個物理量的變換曲線，更加直觀的展現(xiàn)出物體的運動規(guī)律，從而可以幫助學(xué)生更好的理解一些物理問題.

我們知道單擺的牛頓運動方程實際上是二階常微分方程.已知了初始條件的情況下，在數(shù)值計算中這就是一個解微分方程的初值問題，有很多方法都可以對其進行求解[2].因而在這篇文章里，為了能夠幫助學(xué)生更加全面了解單擺的運動過程，弄清楚一般振動與簡諧運動的區(qū)別，我們采用數(shù)值計算的方法，從牛頓第二定律出發(fā)，不做任何近似，直接對單擺的運動方程進行數(shù)值求解和模擬，從而對單擺在一般情況下運動進行細致的研究.

2 在小擺角情況下的解析解

以鉛直位置作為振動的平衡位置，假設(shè)某一時刻擺線偏離鉛直位置的角位移為θ，并規(guī)定逆時針方向為角位移的正方向.同時假設(shè)擺球的質(zhì)量為m=1kg,而擺線的長度為l=1m.擺球的切向加速度為

單擺在運動過程中，受到重力、阻力以及重力的作用.所受的阻力主要來自于空氣，當(dāng)運動速率不是太大時，阻力與速率成正比，方向沿切線方向，即

其中γ為比例系數(shù).在切向方向，根據(jù)牛頓第二定律，得

公式中的負號說明重力沿切向方向的分力與角位移θ反向.在不考慮阻力的情況下，γ=0，當(dāng)θ＜5°時，sinθ≈θ，從而得到

可見在這種假設(shè)下，單擺的運動為簡諧運動，并且簡諧運動的角頻率只與擺線的長度和重力加速度有關(guān)，和擺球以及擺角沒有關(guān)系[1].

3 數(shù)值計算方法

在θ＜5這一前提假設(shè)不成立的情況下，公式(2)的解析求解就沒有這么簡單了.為了能夠全面的了解單擺的運動規(guī)律，我們采用數(shù)值方法對其進行計算模擬.在已知t=0時刻的初始擺角以及初始速度的條件下，方程(2)的求解在數(shù)值計算方法中就是典型的初值問題.這里一個我們首先采用降階法[3]對公式(2)進行降階，使其變成一階常微分方程組.引入變量y1和y2,令

由公式(2)，可以得到

通過以上變換我們就將一個二階的常微分方程轉(zhuǎn)變成了一階的常微分方程組.在數(shù)值計算方法中，四階Runge-Kutta[2]是一種公認較為精確的方法，它可以用來求解一階的常微分方程以及一階常微分方程組.在這篇文章中，我們采用四階Runge-Kutta方法數(shù)值求解方程組（5），從而得到角位移θ以及角速度dθ/dt.

4 數(shù)值計算結(jié)果與分析

首先我們忽略阻力的作用，設(shè)γ=0考慮單擺只受到重力的作用.圖1-2繪制了不同的初始擺角的情況下，角位移以及角速度隨時間的變化規(guī)律.我們首先計算初始擺角為非常小的情況，將數(shù)值計算的結(jié)果與其解析解進行了比較.圖1顯示當(dāng)θ0=π/60＜5°時，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)值計算的結(jié)果與理論推導(dǎo)值公式(4)符合的非常好，從而說明我們計算方法的正確性.同時我們的結(jié)果也形象的證明在小擺角的情況下，單擺運動的角位移隨時間是按照余弦規(guī)律變化的，因而在這種情況下將單擺的運動看成是簡寫振動是合理的.

圖1 當(dāng)初始擺角θ0=π/60時，四階Runge-Kutta數(shù)值計算結(jié)果(黑色實線)與解析結(jié)果(紅色虛線)

圖2 (A)不同的初始擺角數(shù)值計算出的角位移隨時間的變化；(B)不同的初始擺角數(shù)值計算出的角速度隨時間的變化

接下來，我們將初始擺角逐漸增大.隨著擺角的增大，當(dāng)初始擺角大于5度，但小于180度時，sinθ≈θ成立的條件已經(jīng)不符合，因而方程（4）已經(jīng)不能夠描述單擺的運動了.我們希望在這種情況下也能夠形象的刻畫出單擺的運動規(guī)律.圖2為不同的初始擺角時，角位移以及角速度隨時間的變化關(guān)系.很明顯，三種不同的初始擺角，對應(yīng)的角位移和角速度仍然是隨時間做周期性運動的.但是仔細對比我們發(fā)現(xiàn)此時θ隨時間的變化規(guī)律已經(jīng)不是按照正弦或余弦函數(shù)了，隨著初始擺角θ0的增大，這種差異變得越來越明顯.當(dāng)θ0=3π/4時，圖2繪制出來的不論是角位移還是角速度的圖形與余弦函數(shù)比起來已經(jīng)有了很明顯的變形.因而在這種情況下，單擺的振動雖然是周期性的，但已經(jīng)不是簡單的簡諧運動了.

此外，從圖2中我們也發(fā)現(xiàn)除了隨時間變化的函數(shù)形式不再是余弦或正弦函數(shù)，振動的周期也不會像簡諧運動是固定不變的，它會隨著初始擺角的不同而發(fā)生變化.在對計算公式?jīng)]有任何近似的情況下，四階Runge-Kutta數(shù)值計算方法求解出來的結(jié)果顯示，但θ0很小的情況下，周期的變化并不明顯，這種情況對應(yīng)著簡諧運動中的固有周期.然后隨著θ0的增大，周期的變化開始顯現(xiàn)出來，它會隨著初始擺角的增大而增大，同時變化的速度也會越來越快.

我們也考慮了能量的變化.我們知道，在單擺運動的過程中，動能為

以擺球達到的最低點作為重力勢能的零勢能點，擺球運動過程中的勢能為Ep=mgh=mgl(1-cosθ).

能量的變化跟簡諧振動相似，不論是動能還是勢能隨時間都做周期性變化.位移最大時，時能最大，動能為零，反之亦然.由于是保守系統(tǒng)，單擺的總機械能是常量.

實際上在單擺運動的過程中，并不能保持能量守恒，主要是因為它會受到阻力的作用，從而產(chǎn)生能量的耗損.為了能夠更全面真實的了解單擺的運動，我們進而考慮了在運動過程中的阻力作用.

當(dāng)考慮阻力的情況下，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)存在阻力時，但阻力不是很大時，單擺的擺動不再是一成不變的，擺動的幅度會隨著時間逐漸減小，最終趨于零，擺動停止這即為欠阻尼狀態(tài)[4].隨著阻力的增大，從開始到停止的時間逐漸變短，如果阻力足夠大，我們發(fā)現(xiàn)單擺不會出現(xiàn)來回擺動的情況，角位移直接變?yōu)榱?，即第一次到達平衡位置就停止了，這也就是我們經(jīng)常說的過阻尼狀態(tài)[4].

圖3 γ=0.2時，單擺動能、勢能以及機械能隨時間的變化

除了單擺的擺幅隨時間減小，最后達到零，單擺運動過程中能量也會在阻力中耗損.圖3非常清晰的顯示，不論是動能還是勢能，在擺動的過程中，它們的總和機械能都在逐漸減小的，當(dāng)單擺最終停止時，總機械能為零.

5 總結(jié)

在這篇文章中我們用四階Runge-Kutta方法對單擺的運動方程進行了數(shù)值求解.希望能夠通過完整的求解單擺的運動方程以及模擬作圖，清晰直觀的展示單擺運動的規(guī)律，幫助學(xué)生透徹的了解單擺的振動過程.通過計算模擬，我們發(fā)現(xiàn)在不考慮阻力的情況下，當(dāng)初始擺角很小的情況下，數(shù)值計算的結(jié)果與余弦函數(shù)符合的很好，這也正是在大學(xué)物理教學(xué)中將單擺的運動歸納為簡諧運動的原因.將初始擺角增大以后，我們發(fā)現(xiàn)單擺的運動雖然會始終保持著周期運動的規(guī)律，但不論是角位移還是角速度隨時間的變化規(guī)律都可以很明顯的看出不再是余弦或正弦函數(shù)了，因而在這種情況下，單擺的周期性振動已經(jīng)不再是簡諧運動了.對于其周期的研究更是說明了兩種運動的差異.同時由于沒有考慮阻力的作用，單擺可以看成是孤立系統(tǒng)，因而其運動過程中動能勢能可以相互轉(zhuǎn)換，機械能不變.但是機械能在考慮了阻力的作用后就不再守恒了，動能和勢能在振蕩中逐漸減小直至為零，單擺停止擺動.隨著阻力的增大，單擺擺動的時間逐漸縮短，當(dāng)阻力足夠大時，單擺從初始擺角開始直接到達平衡位置靜止，不會出現(xiàn)振動現(xiàn)象，即為過阻尼.

〔1〕韓家驊，汪洪.大學(xué)物理學(xué)[M].合肥：安徽大學(xué)出版社，2006.

〔2〕Richard L.Burden,J.Douglas Faires.數(shù)值分析[M].北京：高等教育出版社，2000.

〔3〕顧昌鑫，朱允倫，丁培柱.計算物理[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.

〔4〕漆安慎.杜嬋英.力學(xué)[M].北京：高等教育出版，2009.

O411

A

1673-260X（2016）12-0004-03

2016-09-12

國家自然科學(xué)基金青年基金（11304001）；教育部博士點基金新教師類項目（20133401120002）；安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點項目（KJ2013A035）