孫 棟

(湖南中大建設(shè)工程檢測(cè)技術(shù)有限公司， 湖南 長(zhǎng)沙 410205)

改進(jìn)灰色GM(1，1)模型在連續(xù)箱梁橋線形監(jiān)控中應(yīng)用

孫 棟

(湖南中大建設(shè)工程檢測(cè)技術(shù)有限公司， 湖南 長(zhǎng)沙 410205)

鑒于傳統(tǒng)的灰色GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度不高、求解過程局限性，提出了基于最小二乘法多項(xiàng)式擬合的改進(jìn)模型。以某預(yù)應(yīng)力混凝土變截面懸澆連續(xù)箱梁橋?yàn)楣こ虒?shí)例，通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論預(yù)拱度值的比值作為原始數(shù)據(jù)列，來預(yù)測(cè)下個(gè)節(jié)段的施工預(yù)拱度調(diào)整比例，提供下個(gè)節(jié)段梁優(yōu)化后的立模標(biāo)高。利用傳統(tǒng)的GM(1，1)模型及其優(yōu)化后的模型進(jìn)行誤差比較，改進(jìn)后模型擬合平均相對(duì)誤差減小0.9%，預(yù)測(cè)7號(hào)塊立模標(biāo)高值減小6.7%。結(jié)果表明改進(jìn)后的灰色模型預(yù)測(cè)精度更高，其可行性與可靠性更好。

連續(xù)箱梁橋； 傳統(tǒng)灰色GM(1，1)模型； 改進(jìn)灰色GM(1，1)模型； 線形監(jiān)控

0 引言

連續(xù)梁橋施工監(jiān)控的目標(biāo)就是對(duì)整個(gè)連續(xù)梁橋的施工過程進(jìn)行監(jiān)測(cè)與控制，以保證在施工過程中橋梁結(jié)構(gòu)的撓度變形和內(nèi)部應(yīng)力處于容許的安全范圍以內(nèi)，從而保證橋梁成橋后和運(yùn)營(yíng)期間，線形和內(nèi)力符合設(shè)計(jì)要求[1，2]。懸臂施工連續(xù)梁橋要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期而復(fù)雜的施工過程以及結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)換過程，各施工階段的結(jié)構(gòu)受力都將伴隨著結(jié)構(gòu)體系、約束條件和荷載作用的變化而不斷變化。由于施工過程中受到材料的性能、截面特性、施工荷載、預(yù)應(yīng)力損失、混凝土收縮徐變、溫度等的影響造成橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)際狀態(tài)與理想設(shè)計(jì)狀態(tài)之間存在差異[3-5]。

連續(xù)懸臂梁橋的施工過程是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過程，由于其本身的復(fù)雜性，人們無法確切地進(jìn)行度量，因而可以認(rèn)為它們是一種灰色量。采用灰色系統(tǒng)理論來進(jìn)行預(yù)測(cè)，從理論上來說具有一定的可行性，但是傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)方法本身存在的缺陷卻并未得到有效的改進(jìn)，本文通過分析最小二乘法GM(1，1)改進(jìn)模型的建模過程，對(duì)傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)，能夠從根本上有效提高灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度。

1 灰色預(yù)測(cè)理論

灰色GM(1，1)預(yù)測(cè)模型，可以根據(jù)前面少量已知的數(shù)據(jù)得到精確度相當(dāng)高的后續(xù)數(shù)據(jù)[6,7]，對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的具體性量化研究，應(yīng)該以定性分析為基礎(chǔ)，定量與定性精密結(jié)合，相互開發(fā)利用?；疑A(yù)測(cè)就是充分利用已經(jīng)知道的有用信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)信息演化趨勢(shì)的正確模擬與預(yù)測(cè)，掌握未來發(fā)展規(guī)律，對(duì)未來做出科學(xué)合理的定量預(yù)測(cè)。GM(1，1)是指一個(gè)變量、一個(gè)單獨(dú)序列的預(yù)測(cè)模型，其中第1個(gè)“1”指微分方程階數(shù)為1階，第2個(gè)的“1”指序列變量的個(gè)數(shù)為1個(gè)。

將灰色理論運(yùn)用到橋梁工程中，對(duì)于施工控制具有極其重大的意義，通過這套理論可以檢驗(yàn)橋梁監(jiān)控中立模標(biāo)高的正確與否。由于橋梁的受力受到諸如施工條件、溫度等因素的影響，使得想準(zhǔn)確地得到某一階段的位移值變得較為困難，應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論，根據(jù)結(jié)構(gòu)理想狀態(tài)、現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)狀態(tài)和誤差信息進(jìn)行誤差分析，并制定預(yù)拱度的最佳調(diào)整方案，指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)施工調(diào)整作業(yè)，使結(jié)構(gòu)施工的狀態(tài)趨于理想狀態(tài)。

1.1 傳統(tǒng)灰色GM(1，1)建模步驟

步驟2：對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加處理(1-AGO)得到X(1)：

(k=1，2，…，n；i=1，2，…，n)；

對(duì)X(1)進(jìn)行均值生成Z(1)：

i=(2，3，4，…，n)。

B=-Z(1)(2)1-Z(1)(3)1…………-Z(1)(n)1?è???????÷÷÷÷÷

A=(α，β)T=(BTB)-1BTY

其中：參數(shù)α為發(fā)展系數(shù)；參數(shù)β為灰色作用量。

步驟4：將參數(shù)值代入可得到GM(1，1)模型的白化微分時(shí)間響應(yīng)函數(shù)：

其中：t=(0，1，2，3，4，…，n)。

步驟5：對(duì)預(yù)測(cè)模型精度進(jìn)行事后檢驗(yàn)，通常采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法，來檢驗(yàn)預(yù)測(cè)模型的可行性。

1.2 傳統(tǒng)灰色GM(1，1)模型局限性

通過以上傳統(tǒng)灰色GM(1，1)建模求解過程，發(fā)現(xiàn)存在以下問題：

1) 數(shù)據(jù)的預(yù)處理，包括累加生成、累減生成、均值生成，數(shù)據(jù)的預(yù)處理不當(dāng)可能導(dǎo)致較大的誤差。

2) 若對(duì)原始數(shù)據(jù)序列取一次累加(累減)的緊鄰等權(quán)生成，但理論上卻無法證明采用等權(quán)生成時(shí)，模型精度會(huì)達(dá)到最優(yōu)。

3) 當(dāng)計(jì)算白化微分時(shí)間響應(yīng)函數(shù)時(shí)，初始值的選取也會(huì)對(duì)最終結(jié)果造成一定的影響，但文獻(xiàn)[8]指出在原始數(shù)據(jù)序列的第1個(gè)數(shù)據(jù)之前增加任意一常數(shù)對(duì)模型值及預(yù)測(cè)精度不產(chǎn)生任何影響。

1.3 灰色GM(1，1)改進(jìn)模型

鑒于以上傳統(tǒng)灰色GM(1，1)建模不足之處，本文做出如下改進(jìn)：

1) 選取對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加的預(yù)處理形式。

2) 由于累加序列呈單調(diào)遞增趨勢(shì)，所以可以選取對(duì)累加序列進(jìn)行最小二乘法多項(xiàng)式擬合，使其逼近指數(shù)函數(shù)。再對(duì)擬合的多項(xiàng)式曲線方程進(jìn)行求導(dǎo)，可以形象地看出選取的擬合曲線的可行性。

其具體改進(jìn)建模步驟如下：

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列：

步驟1：計(jì)算數(shù)據(jù)序列的級(jí)比：

步驟2：對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加處理(1-AGO)得到X(1)：

步驟3：對(duì)X(1)進(jìn)行最小二乘法多項(xiàng)式的擬合，具體方法為：根據(jù)序列X(1)在MATLAB中畫出圖形，根據(jù)圖形的發(fā)展趨勢(shì)，選擇函數(shù)polyfit對(duì)序列進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，從而得到序列X(1)的多項(xiàng)式函數(shù)S(x)：

S(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn。

步驟4：對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，得到：

步驟5：求解改進(jìn)模型參數(shù)α，β：

t=1，2，3，…，n。

則y(1)(t)+αx(1)=β，將其寫成矩陣的形式：

y(1)(1)y(1)(2)……y(1)(n)?è????????÷÷÷÷÷÷=-x(1)(1)1-x(1)(2)1…………-x(1)(n)1?è???????÷÷÷÷÷αβ?è????÷÷

其中

yn=y(1)(1)y(1)(2)……y(1)(n)?è????????÷÷÷÷÷÷，B=-x(1)(1)1-x(1)(2)1…………-x(1)(n)1?è???????÷÷÷÷÷

則參數(shù)α，β為：

A=(α，β)T=(BTB)-1BTYn；

步驟6：求解改進(jìn)GM(1，1)模型白微化時(shí)間響應(yīng)函數(shù)：

其中x′(1)(t)為預(yù)測(cè)值累加生成值；x′(0)(t)為預(yù)測(cè)值，t=(0，1，2，3，4，…，n)。

通過對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)模型中使用最小二乘法多項(xiàng)式擬合來求解，對(duì)灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)原始模型進(jìn)行改進(jìn)，能夠有效提高灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度。

2 改進(jìn)灰色GM(1，1)模型在橋梁線形監(jiān)控中的應(yīng)用

2.1 工程概況

某預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)箱梁橋，跨徑布置為35.86 m+60 m+35.86 m，單箱單室箱型截面。箱梁高、底板厚度均按2次拋物線變化，箱梁根部梁高為3.6 m，跨中箱梁梁高為2 m，箱梁頂板全寬為12.25 m，厚度為28 cm。底板寬度為6.6 m，厚度為0.5～0.3 m。腹板厚度分別為60、40 cm。箱梁在主墩墩頂處設(shè)150 cm厚的橫隔板，在邊墩墩頂梁端處設(shè)110 cm厚的橫隔板，在中跨合攏段處設(shè)30 cm的橫隔板。預(yù)應(yīng)力砼變截面連續(xù)箱梁按照部分預(yù)應(yīng)力混凝土A類構(gòu)件設(shè)計(jì)。工程等級(jí)為城市支路，設(shè)計(jì)車速100 km/h，設(shè)計(jì)荷載等級(jí)為公路-Ⅰ級(jí)；設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期100 a，設(shè)計(jì)安全等級(jí)一級(jí)，設(shè)計(jì)洪水頻率為1/100，地震峰值加速度為小于0.183g，反應(yīng)譜特征周期1 s。采用MIDAS Civil軟件建立模型，節(jié)點(diǎn)80個(gè)，單元共79個(gè)。結(jié)構(gòu)計(jì)算模型見圖1。模型的邊界條件采用與施工過程一致，通過計(jì)算模型給出數(shù)據(jù)，再結(jié)合監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)給出立模標(biāo)高，下達(dá)監(jiān)控指令。

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

2.2 工程應(yīng)用

為了在施工過程中對(duì)箱梁的梁頂面標(biāo)高以及控制截面應(yīng)力等進(jìn)行控制，灰色建模時(shí)以當(dāng)前實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論預(yù)拱度值的比值作為原始數(shù)據(jù)列，來預(yù)測(cè)下個(gè)節(jié)段的施工預(yù)拱度調(diào)整比例，提供下個(gè)節(jié)段梁優(yōu)化后的立模標(biāo)高，以確保成橋線形與設(shè)計(jì)相吻合。該橋主梁標(biāo)高測(cè)試控制點(diǎn)斷面布置見圖2。通過在左幅中跨前6節(jié)段施工完成后，預(yù)測(cè)確定第7節(jié)段的立模標(biāo)高。中跨第6節(jié)段施工完成后理論、實(shí)際上撓值見表1。

圖2 主梁位移測(cè)點(diǎn)斷面布置圖(單位： cm)

表1 中跨第6節(jié)段施工完成后理論、實(shí)際上撓值梁段號(hào)理論上撓值/mm實(shí)測(cè)上撓值/mm實(shí)測(cè)與理論比值2#塊52550953#塊878101144#塊1138151325#塊1375171246#塊1585201267#塊168025149

分別得到2種模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

x(1)(t)=53.898 6e0.022 t-52.948 6；

x′(1)(t)=65.706 5e0.018 t-64.756 5。

依次代入不同的t值得到X(1)預(yù)測(cè)值，再用1-AGO進(jìn)行累減還原后，便分別得到2種模型的擬合和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，見表2。

將前5節(jié)段作為原始序列，對(duì)此進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)，總體預(yù)測(cè)趨勢(shì)符合未來發(fā)展動(dòng)態(tài)，能夠較好擬合原始序列，傳統(tǒng)模型與改進(jìn)模型5組數(shù)據(jù)擬合平均相對(duì)誤差分別為2.9%，1.8%，改進(jìn)后模型相對(duì)誤差減少1.1%，說明改進(jìn)模型精度相對(duì)較高，7#塊的預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差分別為12.1%，5.4%，說明改進(jìn)后預(yù)測(cè)值比較符合預(yù)測(cè)下一階段立模標(biāo)高。將2種預(yù)測(cè)模型的擬合、預(yù)測(cè)值見表3。

表2 2種模型擬合、預(yù)測(cè)對(duì)比表梁段號(hào)序列原始值傳統(tǒng)模型改進(jìn)模型傳統(tǒng)預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差/%改進(jìn)預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差/%2#塊3#塊4#塊5#塊6#塊擬合數(shù)據(jù)0950950 0950 11412053 11835 1321236812923124125081230812612816129237#塊預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)149131121 14154

表3 2種模型擬合、預(yù)測(cè)值mm梁段號(hào)實(shí)測(cè)上撓值傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)值改進(jìn)模型預(yù)測(cè)值2#塊54994993#塊10105410364#塊15140014685#塊17171916916#塊20202920457#塊2522012369

從表3可以看出，改進(jìn)模型所預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際相比，結(jié)果比較接近，在一定程度上提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

3 結(jié)論

鑒于傳統(tǒng)的灰色GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度不高、求解過程局限性，本文提出了基于最小二乘法多項(xiàng)式擬合的改進(jìn)模型。以某預(yù)應(yīng)力混凝土變截面懸澆連續(xù)箱梁橋?yàn)楣こ虒?shí)例，通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論預(yù)拱度值的比值作為原始數(shù)據(jù)列，來預(yù)測(cè)下個(gè)節(jié)段的施工預(yù)拱度調(diào)整比例，提供下個(gè)節(jié)段梁優(yōu)化后的立模標(biāo)高。利用傳統(tǒng)的GM(1，1)模型及其優(yōu)化后的模型進(jìn)行誤差比較，改進(jìn)后模型擬合平均相對(duì)誤差減小1.1%，預(yù)測(cè)7號(hào)塊立模標(biāo)高值減小6.7%。結(jié)果表明改進(jìn)后的灰色模型預(yù)測(cè)精度更高，其可行性與可靠性更好。

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1008-844X(2016)04-0089-04

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