趙 建 紅

(麗江師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系, 云南 麗江 674199)

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關(guān)于不定方程x3+1=pQy2

趙 建 紅

(麗江師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系, 云南 麗江 674199)

丟番圖方程; 整數(shù)解; 同余; 平方剩余;Legendre符號

不定方程

(1)

1 引 理

引理1[10]設(shè)p≡7(mod24),q≡13(mod24),p,q為奇素數(shù),則Diophantine方程組x+1=3pqu2,x2-x+1=3v2,gcd(u,v)=1當(dāng)p=7,q=13時的方程除平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)外還有非平凡解(x,u,v)=(4367,±4,±2 521),其他情形方程組只有平凡解.

2 定理及證明

(2)

除p=13,q=7時有解(x,y)=(4367,±30 252),(-1,0)外其余方程僅有整數(shù)解(x,y)=(-1,0).

證明 因為x3+1=(x+1)(x2-x+1),而gcd(x+1,x2-x+1)=gcd(x+1,3)=1或3,故方程(2)可以分解為以下8種可能的情形:

Ⅰ x+1=u2,x2-x+1=pQv2,y=uv;

Ⅱ x+1=pQu2,x2-x+1=v2,y=uv;

Ⅲ x+1=Qu2,x2-x+1=pv2,y=uv;

Ⅳ x+1=pu2,x2-x+1=Qv2,y=uv;

Ⅴ x+1=3u2,x2-x+1=3pQv2,y=3uv;

Ⅵ x+1=3pQu2,x2-x+1=3v2,y=3uv;

Ⅶ x+1=3Qu2,x2-x+1=3pv2,y=3uv;

Ⅷ x+1=3pu2,x2-x+1=3Qv2,y=3uv.

其中g(shù)cd(u,v)=1.

以下分別討論這8種情況所給出的方程(2)的整數(shù)解的情況.

情形Ⅰ 將x+1=u2代入x2-x+1=pQv2得,(2u2-3)2+3=4pQy2,兩邊取模Q得

(3)

綜上有該情形下方程(2)無整數(shù)解.

情形Ⅱ 解x2-x+1=v2,得x=0,1,代入x+1=pQu2均不成立,故方程(2)無整數(shù)解.

情形Ⅳ 因為p≡7(mod24),有x=pu2-1≡3,6,7(mod8),則x2-x+1≡3,7(mod8).又Q=13,109,181,229,277,421,則有Qv2≡1(mod8),矛盾.故該情形下方程(2)無整數(shù)解.

情形Ⅴ 因為x=3u2-1≡2,3,7(mod8),則x2-x+1≡3,7(mod8).又p≡7(mod24),Q=13,109,181,229,277,421,則pQ≡3(mod8),則3pQv2≡1(mod8),矛盾.故該情形下方程(2)無整數(shù)解.

情形Ⅵ 因為p≡7(mod24),Q=13,109,181,229,277,421≡13(mod24),故由引理1知方程組x+1=pu2,x2-x+1=Qv2僅當(dāng)p=7,Q=13時除平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)外還有非平凡解(x,u,v)=(4367,±4,±2521),其方程組只有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).在該情形下方程(2)除p=13,q=7時有解(x,y)=(4 367,±3 0252),(-1,0)外其余方程僅有整數(shù)解(x,y)=(-1,0).

綜上所述定理成立.

[ 1 ] 柯召,孫琦. 關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2[J].四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1981,18(2):1-5.(KEZ,SUNQ.OntheDiophantineequationx3±1=3Dy2[J].JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition), 1981,18(2):1-5.)

[ 2 ] 柯召,孫琦. 關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2[J].中國科學(xué), 1981,24(12):1453-1457. (KE Z, SUN Q. On the Diophantine equationx3±1=Dy2[J].Scientia Sinica Mathematica, 1981,24(12):1453-1457.)

[ 3 ] 杜先存,管訓(xùn)貴,楊慧章. 關(guān)于不定方程x3+1=91y2[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)漢文版), 2013,42(4):397-399. (DU X C,GUAN X G,YANG H Z. On the indefinite equationx3+1=91y2[J]. Journal of Inner Mongolia Normal University( Natural Science Edition), 2013,42(4):397-399.)

[ 4 ] 杜先存,萬飛,楊慧章. 關(guān)于丟番圖方程x3±1=1 267y2的整數(shù)解[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2013,43(15):288-292. (DU X C,WAN F,YANG H Z. On the Diophantine equationx3±1=1 267y2[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2013,43(15):288-292.)

[ 5 ] 杜先存,管訓(xùn)貴,李玉龍. 關(guān)于Diophantine方程x3+1=13qy2的整數(shù)解[J]. 南京師大學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015,38(4):103-105. (DU X C,GUAN X G,LI Y L. The integer solution of the Diophantine equationx3+1=13qy2[J]. Journal of Nanjing Normal University (Natural Science Edition), 2015,38(4):103-105.)

[ 6 ] 管訓(xùn)貴,杜先存. 關(guān)于丟番圖方程x3+1=13py2的整數(shù)解[J]. 貴州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2014,32(2):36-38. (GUAN X G,DU X C. On the Diophantine equationx3+1=13py2[J]. Journal of Guizhou University(Natural Science), 2014,32(2):36-38.)

[ 7 ] 管訓(xùn)貴,杜先存. 關(guān)于Diophantine方程x3±1=pqy2[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2014,38(1):29-35. (GUAN X G,DU X C. On the Diophantine equationx3±1=pqy2[J]. Journal of Anhui University(Natural Sciences), 2014,38(1):29-35.)

[ 8 ] 李潤琪. Diophantine方程x3+1=PQy2的整數(shù)解[J]. 海南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015,33(3):204-207. (LI R Q. Integer solution of the Diophantine equationx3+1=PQy2[J]. Journal of Hainan University(Natural Science), 2015,33(3):204-207.)

[ 9 ] 管訓(xùn)貴. 關(guān)于丟番圖方程x3±1=7qy2的整數(shù)解[J]. 蘭州文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版), 2014,28(2):20-24. (GUAN X G. Integer solution on the Diophantine equationx3±1=7qy2[J]. Journal of Gansu Lianhe University (Natural Sciences), 2014,28(2):20-24.)

[10] 陳進(jìn)平. 關(guān)于不定方程x3+1=7py2[J]. 湛江師范學(xué)院學(xué)報, 2012,33(3):19-23. (CHEN J P. On the Diophantine equationx3+1=7py2[J]. Journal of Zhanjiang Normal College, 2012,33(3):19-23.)

【責(zé)任編輯: 肖景魁】

On Indefinite Equationx3+1=pQy2

ZhaoJianhong

(Department of Mathematics and Computer Science,Lijiang Teachers College, Lijiang 674199, China)

Diophantine equation; integer solution; congruence; quadratic remainder; Legendre symbol

2016-06-25

云南省科技廳計劃項目(2013FD061); 云南省教育廳科研基金資助項目(2014Y462).

趙建紅(1981-),男,云南巍山人,麗江師范高等?？茖W(xué)校副教授.

2095-5456(2016)06-0508-03

O

A