林 愿，陳愛萍

(1.湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湘潭 411104；2.湖南工程學(xué)院 風(fēng)力發(fā)電機組及控制湖南省重點實驗室，湘潭 411104)

單個平衡點的四翼超混沌振蕩器及其電路實現(xiàn)*

林 愿1，2，陳愛萍1，2

(1.湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湘潭 411104；2.湖南工程學(xué)院 風(fēng)力發(fā)電機組及控制湖南省重點實驗室，湘潭 411104)

提出了一個新的四維光滑自治超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)只有一個位于原點的平衡點，卻能在很大范圍內(nèi)產(chǎn)生出四翼超混沌吸引子.對系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性進(jìn)行理論分析和數(shù)值仿真，并設(shè)計了該混沌振蕩電路，實驗結(jié)果表明該四翼超混沌吸引子是物理存在的.

四翼；超混沌振蕩器；動力學(xué)特性；電路實現(xiàn)

0 引言

隨著基于混沌的保密通信技術(shù)的研究和發(fā)展，對混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性提出了更高要求.為了獲得動力學(xué)行為更復(fù)雜的混沌系統(tǒng)，人們常從兩個方面對混沌系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)：從構(gòu)造只有一個正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng)[1]到構(gòu)造具有兩個正的Lyapunov指數(shù)的超混沌系統(tǒng)[2-4]；從構(gòu)造只能產(chǎn)生兩翼的混沌系統(tǒng)[5]到能產(chǎn)生多翼的混沌系統(tǒng)[6-7].雖然構(gòu)造超混沌系統(tǒng)和多翼吸引子的文獻(xiàn)較多，但同時具備超混沌特性和多翼拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的吸引子的文獻(xiàn)很少.目前報道的四維光滑自治超混沌系統(tǒng)，一般都是有三個或五個平衡點的雙翼超混沌系統(tǒng).文獻(xiàn)[8]通過引入三次項獲得了四翼超混沌吸引子，但是系統(tǒng)實現(xiàn)復(fù)雜，需要多個乘法器，且具有多個平衡點.從已有文獻(xiàn)來看，一個平衡點能產(chǎn)生四翼吸引子的光滑自治超混沌系統(tǒng)很少見.

本文提出了一個新的四維光滑自治超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)只包含三個二次乘積項，實現(xiàn)電路簡單，卻有著特別的動力學(xué)特性：它只有一個平衡點，卻能在很大范圍內(nèi)產(chǎn)生四翼超混沌吸引子.本文對提出的單平衡點四翼超混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性進(jìn)行了理論分析和數(shù)值仿真，最后設(shè)計了該混沌振蕩器電路，實驗驗證證實該系統(tǒng)能產(chǎn)生四翼超混沌吸引子.

1 提出的四維混沌系統(tǒng)及其動力學(xué)特性分析

提出下面簡單的四維光滑自治非線性系統(tǒng)：

(1)

其中x、y、z、w是狀態(tài)變量，a，b，c，e是正實數(shù).我們令a=4.5,b=16,c=5, e可變化.該系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)在很大范圍內(nèi)表現(xiàn)出四翼超混沌特性，而且在一定條件下能觀察到瞬時混沌現(xiàn)象.接下來，討論該系統(tǒng)的一些基本動力學(xué)特性.很明顯，該系統(tǒng)關(guān)于坐標(biāo)軸、平面或者原點均不具有對稱性.

1.1 耗散性及吸引子的存在性

1.2 平衡點及穩(wěn)定性

(2)

解得系統(tǒng)(1)只有唯一的平衡點原點(0, 0, 0, 0)，且與系數(shù)a、b、c、e無關(guān).

為了考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需考慮其平衡點所對應(yīng)的雅可比矩陣并計算其特征值，當(dāng)a=4.5,b=16,c=5,e=1時得系統(tǒng)的特征根為：λ1=-15.9956,λ2=-5.0094,λ3=0.2338,λ4=4.2712, 表明其唯一的平衡點原點是一個不穩(wěn)定的鞍點.

1.3 四翼超混沌吸引子相圖

當(dāng)a=4.5,c=5,b=16,e=1,初始條件為[1,1,1,1]T時，系統(tǒng)軌跡相圖如圖1所示.

圖1 四翼超混沌相三維圖

我們在e∈[1,40]之間的很大范圍內(nèi)進(jìn)行數(shù)值仿真，都能觀察到四翼混沌吸引子.根據(jù)前面的技術(shù)可知該系統(tǒng)只有一個位于原點的平衡點，卻能在很大范圍內(nèi)呈現(xiàn)出四翼混沌吸引子，這是該混沌系統(tǒng)的一個顯著特點.

1.4 Lyapunov指數(shù)和Poincaré映射

固定a=4.5,c=5,b=16不變，當(dāng)e∈[0,40]時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示，從圖2中可以看出，系統(tǒng)在e∈[1,40]之間的很大范圍內(nèi)均有兩個正的Lyapunov指數(shù)，呈現(xiàn)出超混沌特性.

圖2 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜圖

Poincaré映射反映了混沌分岔與可折疊特性，圖3是系統(tǒng)(1)的Poincaré映射在不同截面的投影，可以看出該Poincaré映射存在幾個不同方向分岔的分支，表明系統(tǒng)具有極其復(fù)雜的動力學(xué)特性，而且Poincaré映射顯示其分支聯(lián)結(jié)為一個單個的吸引子，這也證實了圖1所示的四翼超混沌吸引子的存在性.

圖3 Poincaré映射在x=0、 y=0、 z=0、w=0截面的投影

2 電路實現(xiàn)

為了驗證系統(tǒng)(1)的混沌行為，并把該混沌系統(tǒng)應(yīng)用到實踐，設(shè)計了圖4所示的混沌電路原理圖.圖4中選用乘法器AD633實現(xiàn)該超混沌系統(tǒng)的非線性部分，采用的運算放大器是TL082，相比文獻(xiàn)[8]所提出的混沌系統(tǒng)，本文設(shè)計的四翼超混沌系統(tǒng)只需要三個乘法器，電路結(jié)構(gòu)簡單，容易實現(xiàn).

該四翼超混沌系統(tǒng)振蕩器電路方程為:

(9)

圖4 四翼超混沌系統(tǒng)的電路圖

圖5 混沌系統(tǒng)電路實驗相圖

3 結(jié)論

本文提出了一個新的四維光滑自治超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)只包含三個乘積項，實現(xiàn)電路簡單，卻有著特別的動力學(xué)特性：它只有一個唯一的平衡點，卻能在很大范圍內(nèi)產(chǎn)生四翼超混沌吸引子.本文對系統(tǒng)的一些基本動力學(xué)特性進(jìn)行了理論分析和數(shù)值仿真，并設(shè)計了其振蕩器電路進(jìn)行實驗驗證，實驗結(jié)果表明四翼超混沌吸引子是物理存在的.

[1] 王光義, 丘水生, 許志益. 一個新的三維二次混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報, 2006, 55 (7): 3295-3301.

[2] 羅小華, 李元彬, 羅明偉. 一種新的四維二次超混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J] . 微電子學(xué), 2009, 39( 3) :398-401.

[3] Jia Li Xin, Dai Hao, Hui Meng. A New Four Dimensional Hyperchaotic Chen System and Its Generalized Synchronization [J] . Chinese Physics B, 2010, 19(10) : 100501.

[4] Si Gang Quan, Cao Hui and Zhang Yan Bin. A New Four Dimensional Hyperchaotic Lorenz System and Itsadaptive Control [J] . Chinese Physics B, 2011, 20(1) :010509.

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Four-wing Hyperchaotic Oscillator with One Equilibrium and Its Circuit Implementation

LIN Yuan1,2,CHEN Ai-ping1,2

(1.College of Electrical & Information Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China;2.Hunan Provincial Key Laboratory of Wind Generator and Its Control, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China)

In this paper, a new 4-dimentional smooth autonomous hyperchaotic system is proposed. The system has only one equilibrium point at the origin, but it can generate four-wing hyperchaotic attractor over a wide range. The basic dynamic properties of 4D hyperchaotic attractor are studied by numerical and theoretical analysis. The chaos oscillator circuit is designed and it is verified that the chaotic four-wing attractor physically exist.

four-wing; hyperchaotic oscillator; dynamical property; circuit implementation

2016-05-26

湖南省教育廳科研資助項目(15C0328)；湖南工程學(xué)院青年科研重點項目(XJ1501)；湖南工程學(xué)院博士啟動基金(Z).

林 愿(1977-)，女，博士，講師，研究方向：混沌電路設(shè)計與應(yīng)用.

TP309.7

A

1671-119X(2016)04-0014-04