曾 嬌，邱 春，崔澤建

(1.西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009；2.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽 618000)

?

Boussinesq方程的精確行波解

曾 嬌1，邱 春2，崔澤建1

(1.西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009；2.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽 618000)

采用一種輔助函數(shù)法求解了描述淺水波特性的Boussinesq方程，得到了其多組精確行波解。包括Jacobi橢圓函數(shù)解、Weierstrass橢圓函數(shù)解、孤波解及三角函數(shù)解，除包含以往結(jié)果，還包括一些新解。

Boussinesq方程；輔助方程法；精確解

0 引 言

Boussinesq方程常用于描述非線性淺水波的傳播和變化，在海洋工程中有較為廣泛的應(yīng)用。為更準(zhǔn)確的描述波的色散和非線性特征，人們相繼提出了許多改進(jìn)的Boussinesq方程模型[1-4]。而對于其精確解的探索有助于人們更深入的分析理解各種動力特性，大量的新方法不斷被用于求解Boussinesq方程，如自平衡方法[5-6]，Jacobi橢圓函數(shù)展開法[7-8]，雙曲函數(shù)法[9]，Hirota方法[10]，Backlund變換[11-12]， Darboux 變換[13-14]，各種輔助函數(shù)法在非線性方程的求解中越來越得到了廣泛的應(yīng)用[15-23]，該類方法一般是將待求解非線性方程與已經(jīng)存在的比如投影Riccati方程、輔助常微分方程等建立關(guān)系。

1 Boussinesq方程簡介

描述不可壓縮、無粘流體波動特性的無量綱控制方程形式如下，

(1)

式中下標(biāo)t，z表示對t，z的偏導(dǎo)數(shù)；▽=(?/?x,?/?y)表示二維笛卡爾坐標(biāo)系中梯度算子；φ為流場的速度勢；η為水面位移；ε=A/h和μ=kh為非線性和色散參數(shù)。方程(1)是在弱非線性及色散時(shí)推導(dǎo)而出( 即O(ε)?1，O(μ)?1，O(ε)=Ο(μ2))。經(jīng)簡單變換，得到三維Boussinesq方程形式如下：

(2)

本文中，僅討論上式的一維情況，形式如下：

(3)

式中u為水深方向的平均速度。上式有孤波解及Jacobi橢圓余弦函數(shù)解[24]，本文中采用一種新的輔助函數(shù)法[22-23]來探索其更多的精確行波解。

2 方法介紹

設(shè)非線性演化方程一般形式如下

F(U,Uξ,Uξξ，…)=0，

(4)

式中F是其參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)，引入行波變換ξ=x-ct，有

(5)

方程(4)可變換為

F(U，U′，U″，…)=0。

(6)

設(shè)方程(6)有如下形式的解

(7)

式中n為正整數(shù)，φ=φ(ξ)滿足如下輔助常微分方程

(8)

式中p0,p2,p4為待定常數(shù)， 不同的p0,p2,p4及其對應(yīng)的解見文獻(xiàn)[17，21-22]。

3 Boussinesq方程的精確行波解

引入行波變換

η(x,t)=η(ξ),u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct，

(9)

式中c為波速。將(9)式及(5)式代入(3)式有

(10)

式中“′”表示對ξ的一階導(dǎo)數(shù)。將(10)式對ξ積分一次得到

(11)

式中C1和C2為積分常數(shù)。由(11)式的第二式得到

(12)

將式(12)代入(11)式的第一式得到關(guān)于ξ的常微分方程

(13)

引入

(14)

則方程(13)可改寫為

Au″+Buu″+Cu3+Du2+Eu+G=0。

(15)

將方程(15)的解記為

(16)

由方程(15)中U的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)平衡可知n=1，因此(16)式可表示為

u(ξ)=a0+a1φ(ξ)，

(17)

式中a0，a1為待定常數(shù)，φ(ξ)滿足方程(8)。

將方程(17)及(8)代入方程(15)并令φ(ξ)i(i=1,2,…)的系數(shù)為零，有如下代數(shù)方程組

(18)

借助于Mathmatica計(jì)算機(jī)軟件可得到如下非平凡解：

說明1：在解(a4)—(a7)中，對系數(shù)a1沒有限制，其為任意常數(shù)時(shí)，解均可滿足方程組(18)。

將解(a1)和(a2)代入(17)式并結(jié)合φ的表達(dá)式可得出方程(15)式對應(yīng)的如下精確解

(b1)

(b2)

由解(a3)確定的解形式與解(a1)類似，只是C和A形式不同，此處不再分別列出。

(b3)

由解(a4)—(a7)見p4=0，因此方程(8)變?yōu)?/p>

(19)

將式(a4)—(a7)代入(17)并結(jié)合方程(19)中的解φ的表達(dá)式有：

(b4)

(b5)

(b6)

(b7)

說明2：

1. 此處僅列出u的解形式，將其代入(12)即可得到η的表達(dá)式，由于篇幅的限制，其具體形式不再列出。

3. 在解(1,3,6,7)中B=0或C=0表示忽略小量, 這對于實(shí)際物理情況是可以理解的，在解(2,4,5)中，D=0表示忽略主要非線性項(xiàng)。

4 結(jié) 論

本文基于輔助微分方程求解了具有弱非線性及色散特性的Boussinesq方程，給出多組精確行波解，這些精確解將有助于理解淺水波的物理機(jī)制及相應(yīng)的動力特性，此方法也有助于我們探索其它非線性演化方程的新解。

[1] CHEN C L,LOU S Y,LI Y S.Solitary wave solutions for a general Boussinesq type fluid model[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2004,9:583-601.

[2] WAZWAZ A M.New travelling wave solutions to the Boussinesq and the Klein-Gordon equations[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2008,13:889-901.

[3] JAVIDI M,JALILIAN Y.Exact solitary wave solutions of Boussinesq equation by VIM[J].Chaos Solitons&Fractals,2008,36(5):1256-1260.

[5] MOHAMMED KHALFALLAH.New exact traveling wave solutions of the (3+1) dimensional Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2009,14(4):1169-1175.

[6] 詹 雨,白 慧,斯 琴.齊次平衡法與Burgers-Huxley方程的精確解[J].河套學(xué)院學(xué)報(bào),2013(2):80-87.

[7] LIU S K,FU Z T,LIU S D,Q，et al.Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations[J].Phys Lett A,2001,289(1):69-74.

[8] YAN Z Y.Abundant families of Jacobi elliptic function solutions of (2+1) dimensional integrable Davey-Stewartson-type equation via a new method[J].Chaos Solitons Fractals,2003,18(2):299-309.

[9] 劉雪梅,接 賢.利用推廣的Tanh函數(shù)法求解兩個(gè)非線性發(fā)展方程[J].中國民航大學(xué)學(xué)報(bào),2015，33(4):56-58,64.

[10] WAZWAZ A M.Multiple soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh-coth method[J].Appl.Math.Comput.,2007,190(1):633-640.

[11] ABLOWITZ M J,CLARKSON P A.Solitons:nonlinear evolution equations and inverse scattering[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[12] MIURA M R.Backlund transformation[M].Berlin: Springer-verlag,1978.

[13] MATVEEV V A,SALLE M A.Darboux transformation and solitons[M].Berlin:Springer,1991.

[14] LI Y S,MA W X,ZHANG J E.Darboux transformations of classical Boussinesq system and its new solutions[J].Phys.Lett.A,2000,275(1):60-66.

[15] 邱 春,刁明軍,徐蘭蘭,等.構(gòu)造非線性演化方程精確解的一個(gè)新方法[J].量子電子學(xué)報(bào)，2012，29(3):279-285.

[16] 套格圖桑,斯仁道爾吉.構(gòu)造變系數(shù)非線性發(fā)展方程精確解的一種方法[J].物理學(xué)報(bào),2009，58(4):2121-2126.

[17] YAN Z Y.An improved algebra method and its applications in nonlinear wave equations[J].Chaos Solitons Fractals,2004,21(4):1013-1021.

[18] YOMBA E.The extended Fan’s sub-equation method and its application to Kdv-MKdv BKK and variant Boussinesq equations[J].Phys Lett A,2005,336(6):463-476.

[19] HON Y C,FAN E G.A series of exact solutions for coupled Higgs field equation and coupled Schrodinger-Boussinesq equation[J].Nonlinear Analysis,2009,71(7):3501-3508.

[20] GAO L.MA W X,XU W.Travelling wave solutions to Zufiria’s higher-order Boussinesq type equations[J].Nonlinear Analysis,2009,71(12):e711-e724.

[21] GUO Y X,LAI S Y. New exact solutions for an (N + 1)-dimensional generalized Boussinesq equation[J].Nonlinear Analysis,2010,72(6):2863-2873.

[22] LI H M.New exact solutions of nonlinear Gross-Pitaevskii equation with weak bias magnetic and time-dependent laser fields[J].Chin.Phys.,2005,14(2):251-256.

[23] LIU Y P,LI Z B.An automated algebraic method for finding a series of exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equations[J].Chin.Phys.Lett.,2003,20(3):317-320.

[24] 梅強(qiáng)中.水波動力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1984.

Exact Travelling Wave Solutions of Boussinesq Equation

ZENG Jiao1,QIU Chun2,CUI Zejian1

(1.College of Mathematics and Information,China West Normal University,Nanchong Sichuan 637009,China; 2.Sichuan College of Architectural Technology,Deyang Sichuan 618000,China)

In this paper,we used the auxiliary function method to solve the Boussinesq equation,which describes the shallow potter,and we got a series of exact travelling wave solutions,including the Jacobi elliptic function solutions,Weierstrass elliptic function solution,solitary wave solutions and triangle function solutions,which not only contains the existed results,but also include some new solutions.

Boussinesq equation;auxiliary equation method;the exact solution

1673-5072(2016)04-0412-07

2016-04-12

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(09ZA119)

曾 嬌(1991—),女,四川隆昌人,碩士研究生,主要從事偏微分方程研究。

崔澤建(1963—),男,四川南充人,教授,主要從事偏微分方程研究。 E-mail: cuizejian@126.com

O175

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.04.010