王 靜，劉新紅，吳 萍（.中國中醫(yī)科學院廣安門醫(yī)院，北京0005；2.中國人民大學 統(tǒng)計學院，北京00872；.北京石油化工學院 數(shù)理系，北京0267）

Copula回歸模型與應用

王 靜1,2，劉新紅3，吳 萍1
（1.中國中醫(yī)科學院廣安門醫(yī)院，北京100053；2.中國人民大學 統(tǒng)計學院，北京100872；3.北京石油化工學院 數(shù)理系，北京102617）

文章探討Copula回歸模型應用于具有相關關系的指標時的優(yōu)勢，通過示例分析，揭示了用Copula回歸模型與普通回歸模型對數(shù)據(jù)擬合的不同，表明了當不同指標間存在相關關系時，Copula回歸模型能更加客觀準確地反映數(shù)據(jù)背后的關系。

Copula函數(shù)；回歸模型；相關

1 Copula回歸模型

Copula是一種通過單個變量的邊緣分布構造多個變量的聯(lián)合分布的一種數(shù)學方法，1959年，Sklar提出了Copula函數(shù)，將多元隨機變量的邊緣分布和它們之間的相關結構分開研究，相關結構不受邊緣分布的限制。隨后，很多學者發(fā)現(xiàn)了Copula理論在研究相關性方面的價值。Copula不僅可以反映線性相關，也能描述非線性相關。而最常用的Pearson相關系數(shù)只能反映變量間的線性相關程度，無法捕捉到非線性的關系。其他常用的一些相關性系數(shù)如Kendall's τ系數(shù)、Spearman系數(shù)和Gini關聯(lián)系數(shù)等雖然能在一定程度上反映變量間的非線性相關性，但都不能全面完整地刻劃變量間的相關結構。

根據(jù)Sklar定理[1]，若二維隨機向量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為H(x,y)，邊緣分布函數(shù)分別為F(x)和G(y)，則存在一個Copula函數(shù)C(u,v)，滿足：

如果F和G是連續(xù)的，則Copula函數(shù)C是唯一確定的。

在實際應用中，常用的二元Copula函數(shù)有橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula，橢圓Copula主要包括Gaussian Copula與t Copula，而阿基米德Copula除了包括常用的Gumbel Copula，Clayton Copula，F(xiàn)rank Copula，還包括Joe Copula、BB1 Copula等。這里只列出Gaussian Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula和Frank Copula的具體形式，其他Copula可參考相關文獻。

（1）Gauss Copula函數(shù)

其中Φ(·)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。

（2）Clayton Copula函數(shù)

當θ→0時，隨機變量獨立；當θ→+∞時，隨機變量完全相關。Clayton Copula的密度函數(shù)也具有非對稱性，其密度分布呈“L”字型，即上尾低下尾高。

（3）Gumbel Copula函數(shù)

當θ=1時，隨機變量獨立；當θ→+∞時，隨機變量完全相關。Gumbel Copula的密度函數(shù)具有非對稱性，其密度分布呈“J”字型，即上尾高下尾低。

（4）Frank Copula函數(shù)

當θ→0時，隨機變量獨立；Frank Copula的密度函數(shù)具有對稱性，其密度分布呈“U”字型。

對于兩個存在相關關系的隨機變量X和Y，在各自回歸模型的基礎上，將這種相關關系用Copula函數(shù)刻畫，建立兩個因變量的聯(lián)合分布函數(shù)，即可建立Copula回歸模型：

其中，式（2）表示了隨機變量X的分布及回歸模型，式（3）表示了隨機變量Y的分布及回歸模型，式（4）表示了隨機變量X與Y的聯(lián)合分布。Peter X.-K.Song等[2]在2009年用Gaussian Copula對人體燒傷面積與存活率這兩個相關的結局指標進行了聯(lián)合回歸分析，論證了與分別單獨回歸分析相比，聯(lián)合回歸分析由于考慮了指標間的相關性，并且能得到一個結局指標關于另一個結局指標的條件分布，從而具有更高的估計效能和推斷效能[4]。

例1 (2018年四川達州)如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(-1，0)，與y軸的交點B在(0，2)與(0，3)之間(不包括這兩點)，對稱軸為直線x=2．下列結論：①abc<0；②9a+3b+c>0；③若點點是函數(shù)圖象上的兩點，則y1

2 應用示例

2．1 數(shù)據(jù)來源及變量選擇

數(shù)據(jù)來源于某藥物療效評價試驗，樣本量為402例，因變量為西醫(yī)量表評分差值（變量名為y1）和中醫(yī)證候評分差值（變量名為y2）。自變量有藥物（drug）、醫(yī)院（cn）、年齡（age）、病程（bch）和基線評分（c0及zz0），除基線評分為連續(xù)變量外，其他均為分類變量。

2．2 建立普通回歸模型

對因變量 y1和 y2進行正態(tài)分布檢驗，Kolmogorov-Smirnov檢驗的P值分別為0.001和0.000，均不服從正態(tài)分布。它們的偏度系數(shù)分別為0.0557和0.2245，具有明顯的右偏特點，故選取逆Gumbel分布（Reverse Gumbel），這是一種極值分布，概率密度函數(shù)為：

其數(shù)學期望和方差為：μ+0.5772σ和1.6449σ2。

西醫(yī)量表評分差值（y1）的回歸模型：

全模型：

中醫(yī)證候評分差值（y2）的回歸模型：

全模型：

經(jīng)過模型選擇，剔除不顯著自變量（P＞0.05），最后選定模型為：

兩個回歸模型參數(shù)估計結果如表1所示，逆Gumbel分布的參數(shù)σ估計值分別為5.0542和4.7871。自變量drug在兩個模型中都不顯著，也就是說，兩種藥物在西醫(yī)量表評分和中醫(yī)證候評分改善方面，均沒有顯著差異。殘差服從正態(tài)分布，可見，選取的分布是合適的。

表1 μ1和μ2普通回歸模型參數(shù)估計結果

2．3 建立Copula回歸模型

在不考慮自變量的情況下，y1和y2的Pearson相關系數(shù)為0.6340，Kendall's τ相關系數(shù)為0.4818，表明這兩個因變量是相關的。將這種相關關系用Copula函數(shù)刻畫，建立兩個因變量的聯(lián)合分布函數(shù)，即可建立Copula回歸模型。

其中，H(y1，y2)表示(y1，y2)的聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)(y1)和G(y2)分別為y1和y2的邊緣分布函數(shù)，y1，y2均服從逆Gumbel分布，密度函數(shù)見式（5），分布函數(shù)易知，C(u,v)表示Copula函數(shù)。

C(u,v)有多種選擇，使用常用的Gauss Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula函數(shù)。參數(shù)估計采用極大似然法，通過R軟件的GAMLSS包和CDVINE包[3,4]實現(xiàn)。使用4種Copula函數(shù)的回歸模型的AIC值分別為2329.911、2376.840、2310.876和2318.165，可見，Clayton Copula回歸模型擬合效果最好。

在Clayton Copula回歸模型中，Copula函數(shù)中的參數(shù)估計值為1.3534，Kendall's τ相關系數(shù)為0.4036。 y1和y2逆Gumbel分布中的參數(shù)σ估計值分別為5.0005和5.0824，模型參數(shù)的具體估計結果見表2所示。

表2 μ1和μ2的Clayton Copula回歸模型參數(shù)估計結果

將Copula回歸模型估計結果與普通回歸模型參數(shù)估計結果比較，可以看出自變量回歸系數(shù)的點估計值相差不多，但是，中醫(yī)證候評分差值回歸模型中，自變量藥物（drug）和年齡（age）由不顯著因素變成了顯著因素，也就是說，兩種藥物在中醫(yī)證候評分改善方面有顯著性差異，這也印證了Peter X.-K.Song等在2009年得出的聯(lián)合回歸比單獨普通回歸具有更高統(tǒng)計推斷效能的結論。

3 討論

Copula是分析相關關系的有力工具，近十年來在金融、保險、生物和醫(yī)藥等領域得到廣泛的應用。Copula回歸模型是一種考慮了因變量之間相關關系的聯(lián)合回歸模型[5]，當因變量之間存在相關關系時，聯(lián)合回歸分析比普通回歸分析具有更高的推斷效能，所以，用普通回歸模型分析時不顯著的因素，用Copula回歸模型分析時可能變成顯著因素。可見，當指標間存在相關性時，Copula回歸模型能夠揭示普通回歸模型所揭示不了的差異，能夠更充分挖掘數(shù)據(jù)背后的關系，從而更加客觀準確地揭示隱藏在數(shù)據(jù)背后的規(guī)律。

[1]Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New York:Springer,2006.

[2]Song P,Li M,Yuan Y.Joint Regression Analysis of Correlated Data Us?ing Gaussian Copulas[J].Biometrics,2009,（65）.

[3]Stasinopoulos M,Rigby B.Generalized Additive Models for Location Scale and Shape(GAMLSS)in R[J].Journal of Statistical Software, 2007,23(7).

[4]Brechmann E,Schepsmeier U.Modeling Dependence With C-and D-Vine Copulas:The R Package CDVINE[J].Journal of Statistical Software,2013,52(3).

[5]Kolev N,Paiva D.Copula-based Regression Models:A Survey[J].Jour?nal of Statistical Planning and Inference,2009,(139).

（責任編輯/浩 天）

O212

A

1002-6487（2016）24-0079-03

科技部重大新藥創(chuàng)制課題(2013ZX09303301)；中國中醫(yī)科學院廣安門醫(yī)院所級科研基金課題（2011S264）

王 靜（1978—），女，河北唐山人，助理研究員，博士研究生，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計。

劉新紅（1978—），女，河北保定人，博士，講師，研究方向：風險管理與非壽險定價。

（通訊作者）吳 萍（1960—），女，江西萍鄉(xiāng)人，碩士，研究員，研究方向：臨床試驗管理。