郭 軍，馮玉廣（山西師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，山西 臨汾 041004）

基尼系數(shù)理論最佳值的探討與現(xiàn)實(shí)啟示

郭 軍，馮玉廣
（山西師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，山西 臨汾 041004）

文章以社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)擬合類(lèi)比熱力學(xué)系統(tǒng)，通過(guò)探求玻爾茲曼系統(tǒng)的基尼系數(shù)達(dá)到探求社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)基尼系數(shù)理論最佳值的目的。依據(jù)基尼系數(shù)的定義，直接利用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)的分布函數(shù)并借助Matlab軟件，計(jì)算得到洛倫茲曲線和基尼系數(shù)，這一結(jié)果與現(xiàn)有討論得到的值相當(dāng)一致。

洛倫茲曲線；基尼系數(shù)；玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)；收入分配；公平

0 引言

基尼系數(shù)是根據(jù)洛倫茲曲線定義的判斷收入分配公平程度的指標(biāo)，是國(guó)際上用來(lái)綜合考察居民內(nèi)部收入分配差異狀況的一個(gè)重要分析指標(biāo)。其經(jīng)濟(jì)含義是：在全部居民收入中，用于進(jìn)行不平均分配的那部分收入占總收入的比重[1]。關(guān)于基尼系數(shù)的定義及計(jì)算，首先需要說(shuō)明的是洛倫茲曲線。洛倫茨曲線是用來(lái)反映社會(huì)收入分配或財(cái)產(chǎn)分配平等程度的曲線。由統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛倫茨于1905年提出。洛倫茲把社會(huì)總?cè)丝诎词杖胗傻偷礁咂骄譃?0個(gè)等級(jí)組，每個(gè)等級(jí)組均占10%的人口，再計(jì)算每個(gè)組的收入占總收入的比重。然后，以人口百分比為橫軸，以收入百分比為縱軸，繪出一條實(shí)際收人分配曲線即洛倫茨曲線[2]。

圖1洛倫茲曲線圖

圖1中，OY表示絕對(duì)平均，等份的人數(shù)占有等份的收入或財(cái)產(chǎn)，OPY表示絕對(duì)不平均，社會(huì)財(cái)富全部集中在一個(gè)人。實(shí)際中的分配曲線介于二者之間，越接近于OY表示越平均，越接近于OPY表示越不平均?；岣鶕?jù)洛倫茲曲線，計(jì)算出一個(gè)反映收入分配平等程度的指標(biāo)，稱(chēng)為基尼系數(shù)?；嵯禂?shù)是把洛倫茨曲線圖中實(shí)際收入分配曲線與絕對(duì)平等線之間面積(用A表示)同這部分面積(A)加上實(shí)際收入分配曲線與絕對(duì)不平等曲線之間面積(用B表示)之和(A+B)相除，其商即為基尼系數(shù)。即：

基尼系數(shù)越小，表示越平均，反之則越不平均。

基尼系數(shù)的計(jì)算難在無(wú)法得到準(zhǔn)確的洛倫茲曲線，所以通常的辦法是依據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)使用的五分法得到。有的學(xué)者以一些特殊的已知函數(shù)來(lái)擬合真實(shí)的洛倫茲曲線或分配函數(shù)，如多項(xiàng)式函數(shù)[3]、對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)[4]廣義χ2分布[5]等，從而計(jì)算基尼系數(shù)。大多數(shù)的文章是討論基尼系數(shù)的理論計(jì)算及統(tǒng)計(jì)分析，很少有討論基尼系數(shù)的理論最佳值。胡祖光（2004）最開(kāi)始討論了這個(gè)問(wèn)題[6]，他指出：實(shí)踐證明，收入分布平均或懸殊都不是最佳狀態(tài)。收入懸殊的弊病人所共知，而收入平均不僅不利于效率，而且也不適應(yīng)于生產(chǎn)與消費(fèi)。那么，試問(wèn)：某一時(shí)期的收入分布是否存在著一個(gè)理論最佳值呢？他假定收入分配服從簡(jiǎn)單的等差級(jí)數(shù)，后者收入比前者依次高出一個(gè)貨幣單位，當(dāng)人口趨于無(wú)窮，也就是個(gè)人最高收入趨于無(wú)窮時(shí)，基尼系數(shù)趨于定值他認(rèn)為這個(gè)值就是理論最佳值。洪興建（2007）后來(lái)在假定收入分布為合意的橄欖型前提下計(jì)算出基尼系數(shù)的合意值也為并肯定了這一值的理論參考意義[7]。歐陽(yáng)葵（2011）否定了認(rèn)為這個(gè)值不僅不是最優(yōu)值，而且是最差值，他指出胡祖光的假設(shè)太過(guò)特殊，洪興建的收入分布類(lèi)型太過(guò)經(jīng)驗(yàn)性，缺乏理論基礎(chǔ)[8]，但他并沒(méi)有給出自己的最優(yōu)值。本文需要說(shuō)明的是，胡祖光的假設(shè)確實(shí)太過(guò)簡(jiǎn)單，太過(guò)理想，洪興建的假定理論性不足。而且，在他們二人的討論中，重在描述，給不出任何的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)際指導(dǎo)。事實(shí)上，基尼系數(shù)為的收入分布可以有很多種，陸善民（2006）在他的文章里指出，下面幾條可能的洛倫茲曲線都能得到

所以，如果你說(shuō)基尼系數(shù)g=1/3是理論最佳值，那首先要說(shuō)清楚你給出的洛倫茲曲線為什么是最佳收入分配模式。

本文從另外一個(gè)方面考慮了這個(gè)問(wèn)題，基于平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。本文將洛倫茲曲線及基尼系數(shù)的概念引入到熱力學(xué)平衡態(tài)中，以粒子數(shù)的累積比為人口累積比，以粒子的能量為人口獲得的收入分配，以粒子的能量累積比為人口收入累積比。熱力學(xué)平衡態(tài)并不是將系統(tǒng)的全部能量平均地分配給每一個(gè)粒子，這一點(diǎn)可以從麥克斯韋速度分布律看到。由此本文可以計(jì)算得到熱力學(xué)平衡態(tài)系統(tǒng)的基尼系數(shù)近似于并以此類(lèi)比社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，得出結(jié)論：社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最佳基尼系數(shù)也是下面將計(jì)算出這一結(jié)果并討論其帶給我們的現(xiàn)實(shí)和理論思考，并且可以借用平衡態(tài)分布的物理意義來(lái)回答為什么這種分配模式就是最佳。

1 平衡態(tài)系統(tǒng)基尼系數(shù)的計(jì)算

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)上給出玻爾茲曼系統(tǒng)的分布公式為[9]：

εl指第l能級(jí)的大小，ωl指第l能級(jí)的簡(jiǎn)并度，al指第l能級(jí)上的粒子數(shù)。上式必須滿足兩個(gè)平衡態(tài)約束條件：

需要說(shuō)明的是：式（1）的導(dǎo)出是建立在平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)——等概率原理之上的，而正是這一假設(shè)對(duì)社會(huì)系統(tǒng)具有重要的啟示和指導(dǎo)意義。

為了計(jì)算明了簡(jiǎn)單，本文做如下記號(hào)：

將al代入可得：

從上面兩式可以得到如下公式：

下面先來(lái)計(jì)算nl，再根據(jù)上式得到el，由此便可描繪洛倫茲曲線，并計(jì)算基尼系數(shù)。在dxdydzdpixdpiydpiz范圍內(nèi)，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為:

將上式代入公式可得:

被積函數(shù)只是動(dòng)量的函數(shù)，于是上式可寫(xiě)為:

上式可以變換為如下形式:

只要求出后面的積分，則通過(guò)求導(dǎo)的方式可得到nl及el的表達(dá)式。這個(gè)積分是一個(gè)有限上下限的概率積分，被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，沒(méi)有解析形式，但可以找到近似的函數(shù)來(lái)代替原函數(shù)[10,11]，王錦功(1981)和劉清珺等(2009)在各自的文章里提到了這一問(wèn)題，本文在這里采用劉清珺等人給出的近似公式。令可將上式積分化為標(biāo)準(zhǔn)的概率積分，并利用近似公式可得：

于是nl的表達(dá)式如下：

將偏導(dǎo)數(shù)求出，化簡(jiǎn)可得：

利用關(guān)系式（9），可得：

約束條件式（2）在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中表現(xiàn)為兩個(gè)等式：

于是式（16）和式（17）化簡(jiǎn)為：

當(dāng) pl→∞，γ→∞，nl，el→1；當(dāng) pl→0，γ→0，nl，el→0，符合洛倫茲曲線的要求。

根據(jù)以上的關(guān)系式，并不能直接得到nl與el的關(guān)系式，但利用Matlab軟件可以給出其相應(yīng)的關(guān)系曲線。視γ為參數(shù)，圖2描繪了nl，el與γ的函數(shù)曲線，其中實(shí)線表示nl與γ的關(guān)系，虛線表示el與γ的關(guān)系。圖3即是根據(jù)參數(shù)關(guān)系式（21）和式（22）由Matlab軟件給出的el與nl的函數(shù)關(guān)系曲線，即平衡態(tài)系統(tǒng)的洛倫茲曲線。

圖2 nl，el與γ的函數(shù)曲線

圖 3el與nl的函數(shù)關(guān)系曲線

使用Matlab軟件將nl20等分，可以找到其對(duì)應(yīng)的el的值，見(jiàn)表1。如此可以用下面數(shù)據(jù)依據(jù)張建華給出的計(jì)算基尼系數(shù)的方法[12]來(lái)得到基尼系數(shù)。

表1 nl與el的20等分對(duì)照表

現(xiàn)在來(lái)計(jì)算基尼系數(shù)。按照國(guó)際上通用的五分法來(lái)計(jì)算，可得到基尼系數(shù)為：

用十等分和二十等分的數(shù)據(jù)得到的結(jié)果分別為：

用Matlab在圖3的基礎(chǔ)上，將nl10000等分，用插值法計(jì)算的結(jié)果為：

2 社會(huì)系統(tǒng)類(lèi)比玻爾茲曼系統(tǒng)的幾點(diǎn)說(shuō)明

首先說(shuō)明玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)描述的系統(tǒng)的幾個(gè)主要方面：

（1）系統(tǒng)由大量粒子組成，粒子數(shù)在1023數(shù)量級(jí)。

（2）系統(tǒng)處于平衡態(tài)，粒子數(shù)與能量不變。

（3）系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)是通過(guò)自發(fā)的熱運(yùn)動(dòng)。

（4）粒子之間通過(guò)碰撞傳遞能量，除此之外，別無(wú)其他相互作用。

（5）系統(tǒng)滿足等概率原理和最概然分布。

等概率原理表明粒子與粒子之間是平權(quán)的，最概然分布是滿足最大多數(shù)，基本上是全部狀態(tài)出現(xiàn)的要求。

社會(huì)系統(tǒng)的幾點(diǎn)說(shuō)明：

（1）系統(tǒng)由全部人口組成，但國(guó)民收入分配不只以人為分配單位，收入的一部分給了地租，這一部分由土地的擁有者獲得。

（2）在一定時(shí)間內(nèi)，全部人口及全部國(guó)民收入基本穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)躍變。

（3）系統(tǒng)的穩(wěn)定，不僅表現(xiàn)在人的主觀性上，還表現(xiàn)在國(guó)家的調(diào)控上，而且國(guó)家的控制對(duì)于穩(wěn)定起到非常重要的作用。

（4）人與人之間的關(guān)系是相當(dāng)復(fù)雜的，可以說(shuō)，人的社會(huì)就是一個(gè)關(guān)系的社會(huì)，人與人之間的連帶關(guān)系對(duì)于人的發(fā)展及收入分配有著決定性的作用。

（5）一般來(lái)說(shuō)，除去特殊情況，人與人并不存在本質(zhì)上的區(qū)別，無(wú)所謂天生的高與低，無(wú)論從生理上，還是智力上，人與人之間，除了“編號(hào)”，并沒(méi)有什么不同。人一出生，從不曾就定下層級(jí)，定下能力，限制將來(lái)的所作所為。每個(gè)人都必須是平等的，每個(gè)人獲得每種生活品質(zhì)，得到任何一種分配報(bào)酬都是一樣的可能性，就像玻爾茲曼系統(tǒng)的粒子，它們處在任何一個(gè)能級(jí)的概率都是一樣的，在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)是不公平的，但在全部時(shí)間內(nèi)一定是平均的。

關(guān)于兩個(gè)系統(tǒng)的共性，做一些類(lèi)比，改變?nèi)祟?lèi)系統(tǒng)不同與自然系統(tǒng)的特點(diǎn)，可以將二者統(tǒng)一對(duì)待，自然系統(tǒng)的最佳基尼系數(shù)就是人類(lèi)系統(tǒng)的最佳基尼系數(shù)，這也就是本文的目的。

（1）國(guó)民總收入類(lèi)比于系統(tǒng)總能量。

（2）個(gè)人和土地類(lèi)比于粒子，粒子是能量的載體，個(gè)人和土地是收入的載體，土地的收入會(huì)歸在個(gè)人身上，但土地的歸屬可變，每個(gè)人擁有任何一塊土地都是一樣的可能性。

（3）個(gè)人按收入的分布類(lèi)比于玻爾茲曼分布。本文認(rèn)同人與人是平等的，每個(gè)人處在每一種生活狀態(tài)的概率都是一樣的，即已是類(lèi)比了等概率原理和最概然分布。

雖然已經(jīng)做了類(lèi)比，但還有幾個(gè)方面需要說(shuō)明。在上文指出，社會(huì)系統(tǒng)與自然有很大不同，這些不同從根本上區(qū)別了社會(huì)系統(tǒng)與自然系統(tǒng)。自然系統(tǒng)是我們無(wú)法改變的，自然原理就是存在法則，自然規(guī)律就是自然界的憲法，任何存在都不可能違背該憲法，自然的存在就是對(duì)自然憲法最好的適應(yīng)。既然平衡態(tài)系統(tǒng)是自然規(guī)律要求下達(dá)到的最終的狀態(tài)，它無(wú)疑就是最佳的狀態(tài)，這也是上文算出的基尼系數(shù)就是最佳值的原因。那么，如何改變社會(huì)系統(tǒng)，以使其達(dá)到最佳狀態(tài)呢？參照前面給出的不同，本文提出如下幾點(diǎn)意見(jiàn)：

（1）保證人與人之間的平等。這里主要包括兩個(gè)方面的平等：第一，出生的平等，包括人的出生不帶著先天的缺陷，人權(quán)上的平等，社會(huì)和政治上的平等。第二，發(fā)展的平等，包括成長(zhǎng)環(huán)境的平等、教育的平等、公共資源分配的平等。

（2）國(guó)家憲法，這是類(lèi)比于自然憲法而言的。個(gè)人在社會(huì)的合理存在必須遵從憲法原則，違背自然規(guī)律的現(xiàn)象是不可能存在的。前提是國(guó)家憲法必須合理有效。

（3）人與人之間的關(guān)系是最大的不同，這點(diǎn)似乎不可能克服。消除或者降低人與人的連帶關(guān)系，也就是使個(gè)人的主觀性在某個(gè)事態(tài)中不能起主要作用，那么，一切依照準(zhǔn)則、規(guī)章、法律和制度，則能強(qiáng)調(diào)法律的作用，弱化人的干預(yù)。

3 結(jié)論

本文基于玻爾茲曼系統(tǒng)求得其基尼系數(shù)，并以社會(huì)系統(tǒng)擬合熱力學(xué)系統(tǒng)，探求收入分配的理論最佳。本文得到這個(gè)值近似于在數(shù)值上，這與胡祖光和洪興建給出的值一致。但他們并沒(méi)有將問(wèn)題說(shuō)清楚。主要有以下幾個(gè)方面：（1）為什么這個(gè)值是最佳值。（2）相應(yīng)的分布也即洛倫茲曲線是如何的。（3）這樣的分布在現(xiàn)實(shí)中的意義。（4）政府應(yīng)該怎么做。下面來(lái)回答這幾個(gè)問(wèn)題。第一，平衡態(tài)是熱力學(xué)系統(tǒng)發(fā)展的最終狀態(tài)，它是在最大限度滿足各種狀態(tài)的出現(xiàn)的前提下實(shí)現(xiàn)的，等概率原理的假設(shè)完全滿足了粒子與粒子之間的平等要求，這種平衡態(tài)是系統(tǒng)發(fā)展的理想狀態(tài)，它所對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)就是最佳值。社會(huì)系統(tǒng)不同于熱力學(xué)系統(tǒng)，但熱力學(xué)系統(tǒng)可視為社會(huì)系統(tǒng)一種簡(jiǎn)化的、理想的模型，因此熱力學(xué)平衡態(tài)對(duì)社會(huì)系統(tǒng)具有一定的參考和指導(dǎo)價(jià)值，所以說(shuō)是社會(huì)系統(tǒng)基尼系數(shù)的理論最佳值。第二，同一收入水平的人群數(shù)量與收入量的關(guān)系應(yīng)滿足玻爾茲曼分布函數(shù)，即式（1）。相應(yīng)的洛倫茲曲線如圖3所示。第三，該分布是在一定約束條件下的最概然分布，該分布表示在整體上，在人人平等的前提下，最大限度實(shí)現(xiàn)了公平。這也是玻爾茲曼系統(tǒng)帶給我們的啟示：真正的公平，決不是收入上的絕對(duì)平均，更不可能是收入上的絕對(duì)不平均，人與人的收入在本質(zhì)上就一定會(huì)存在一定階梯。那么什么才是真正的公平？玻爾茲曼系統(tǒng)告訴我們，本質(zhì)上的公平就是粒子與粒子之間屬性的相同，它們之間除了可區(qū)分的“編號(hào)”，都是一樣的，都是平等的。也就是說(shuō)，社會(huì)的公平，本質(zhì)上在于人與人屬性的相同，在生理、智力、環(huán)境、政治上，除了個(gè)人的“編號(hào)”，人與人都是一樣。那么，這也就為國(guó)家更好地成為人民的保護(hù)傘提供了指導(dǎo)方向。第四，國(guó)家的存在，就是要盡可能的保證和促使人與人之間達(dá)到屬性上的一致，身體上都是一樣的健康，也就是醫(yī)療配置上的合理；智力上一樣的發(fā)達(dá)，即教育資源上公平，本文認(rèn)為這個(gè)最為關(guān)鍵，個(gè)人在意識(shí)上認(rèn)同了人與人的平等，那么就能更好地發(fā)揮人的主動(dòng)性，更好地認(rèn)識(shí)、接受和適應(yīng)本質(zhì)上收入不平均的社會(huì)狀態(tài)，更好地追求一切皆平等概率的社會(huì)生活可能。不存在怎樣的主宰者賦予一些人高質(zhì)量高收入的權(quán)利，也不存在一些人就應(yīng)該長(zhǎng)久待在社會(huì)最底層的限制。就業(yè)上一樣的待遇，沒(méi)有連帶關(guān)系，沒(méi)有主觀差異；政治上享受同等的權(quán)利和盡責(zé)同等的義務(wù)。

[1]逄錦聚，洪銀興，林崗，劉偉等.政治經(jīng)濟(jì)學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003．

[2]龔紅娥.基尼系數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用[J].市場(chǎng)與人口分析，2002，8(6)．

[3]莊健，張永光.基尼系數(shù)和中等收入群體比重的關(guān)聯(lián)性分析[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2007，(4).

[4]成邦文.基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布的洛倫茲曲線與基尼系數(shù)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2005，(2).

[5]張順，郝卉，韓書(shū)平，林道榮.基于廣義χ2分布的洛倫茲曲線簡(jiǎn)潔模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2015，45(3)．

[6]胡祖光.基尼系數(shù)理論最佳值及其簡(jiǎn)易計(jì)算公式研究[J].經(jīng)濟(jì)研究，2004，(9)．

[7]洪興建.基尼系數(shù)合意值和警戒線的探討[J].統(tǒng)計(jì)研究，2007，24(8)．

[8]歐陽(yáng)葵.理論基尼系數(shù)及其社會(huì)福利含義的討論[J].統(tǒng)計(jì)研究，2011，28(5)．

[9]汪志誠(chéng).熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008．

[10]王錦功.概率積分在整個(gè)區(qū)間上的近似公式[J].吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1981，(4)．

[11]劉清珺，陳婷，陳舜琮，劉清.正態(tài)分布近似計(jì)算公式及其在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代測(cè)量與實(shí)驗(yàn)室管理,2009，(9)．

[12]張建華.一種簡(jiǎn)便易用的基尼系數(shù)計(jì)算方法[J].山西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）,2007，6(3)．

（責(zé)任編輯/易永生）

F224.7

A

1002-6487（2016）24-0019-04

郭 軍（1990—），男，山西太原人，碩士研究生，研究方向：統(tǒng)計(jì)物理。馮玉廣（1954—），男，山西長(zhǎng)治人，教授，研究方向：統(tǒng)計(jì)物理。