張 幸，雷前坤，張 俊

(貴州大學(xué) 礦業(yè)學(xué)院測繪工程教研室，貴州 貴陽 550025)

基于赫爾默特方差分量估計的導(dǎo)線平差

張 幸，雷前坤，張 俊

(貴州大學(xué) 礦業(yè)學(xué)院測繪工程教研室，貴州 貴陽 550025)

利用經(jīng)典最小二乘(LS)進行導(dǎo)線平差的過程當(dāng)中，由于角度和邊長的定權(quán)不合理會導(dǎo)致平差的結(jié)果和精度受到影響。采用赫爾默特方差分量估計能準確地確定角度和邊長之間的權(quán)比關(guān)系，從而消除先驗權(quán)陣不準確對數(shù)據(jù)處理結(jié)果的影響。本文分別利用經(jīng)典LS估計和赫爾默特方差分量估計對導(dǎo)線進行平差處理，結(jié)果表明赫爾默特方差分量估計可以獲得優(yōu)于經(jīng)典LS估計的平差結(jié)果。

方差分量估計；導(dǎo)線平差；先驗權(quán)陣

0 引言

導(dǎo)線因具有單線推進、布設(shè)靈活、精度均勻、受地形限制小等特點，在測量工作中得到了廣泛的應(yīng)用。在對導(dǎo)線進行平差處理的過程中，會涉及到角度和邊長兩種不同類型觀測值的定權(quán)問題。目前主要采用經(jīng)典高斯-馬爾柯夫模型來進行導(dǎo)線平差處理，該方法在平差的過程中，通常簡單地將角度作為單位權(quán)方差確定兩類觀測值的權(quán)，從理論上是不嚴密的，這是因為角度和距離是兩種具有不同量綱的觀測量，很難準確確定先驗權(quán)陣，從而影響平差結(jié)果。準確定權(quán)實際上就是準確確定方差，赫爾默特方差分量估計通過反復(fù)迭代使各類觀測值的方差趨于合理，最終得到合理的權(quán)陣[1-4]，對于削弱先驗權(quán)比不準確給數(shù)據(jù)處理帶來的不良影響效果明顯。

1 赫爾默特方差分量估計原理及迭代求解過程

1.1 赫爾默特方差分量估計原理

實際應(yīng)用中，利用多類觀測值進行數(shù)據(jù)融合處理，不僅可以充分發(fā)揮各類數(shù)據(jù)的作用，而且可以通過各類數(shù)據(jù)相互約束增加結(jié)果的可靠性。同時，如何合理分配各類數(shù)據(jù)對模型參數(shù)求解的先驗權(quán)比關(guān)系是多類數(shù)據(jù)融合處理的關(guān)鍵問題。赫爾默特方差分量估計通過不斷迭代調(diào)節(jié)觀測值之間的權(quán)比關(guān)系從而使各類觀測值相對權(quán)比趨于合理，較適合解決上述問題。導(dǎo)線包括邊長和角度兩種類型的觀測值，本文以導(dǎo)線為例闡述赫爾默特方差分量估計原理[5]：

(1)

式中：

(2)

(3)

(4)

赫爾默特方差分量估計的實質(zhì)是利用式(1)～式(4)求得不同類型觀測值的單位權(quán)方差估值，然后再利用求得的單位權(quán)方差估值重新定權(quán)，以此反復(fù)迭代。通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)牡撝?，?dāng)各類觀測值的單位權(quán)方差估值之比趨于1時，停止迭代，最后一次結(jié)果即為所求結(jié)果。

1.2 赫爾默特方差分量估計迭代步驟

赫爾默特方差分量估計迭代步驟如下：

1)根據(jù)已有的條件定初權(quán)P1，P2；

2)利用步驟1)中求出的權(quán)進行第一次平差，便可獲得式(3)中兩類觀測值的改正數(shù)二次型，從而獲得式(4)中的單位權(quán)方差估值；

3)利用式(4)中求得的兩類觀測值的單位權(quán)方差依照下式重新定權(quán)：

(5)

式中：c為任意常數(shù)；

4)計算兩類觀測值的單位權(quán)方差比值，若比值未達到設(shè)定的閥值要求，則重復(fù)步驟2)和3)，直到兩類觀測值的單位權(quán)方差比值趨近于1為止。

2 算例及分析

如圖1所示的附合導(dǎo)線，起算數(shù)據(jù)及觀測數(shù)據(jù)如圖1、表1所示。

圖1 起算數(shù)據(jù)Fig.1 Intial data

角號觀測角值中誤差/(″)邊號觀測邊長/m中誤差/mm1331°14'39.1″2.513082.621462127°25'56.1″2.521500.017223201°57'34.0″2.531009.021154168°01'45.2″2.5

根據(jù)1.2的迭代過程進行赫爾默特方差分量估計。

第一次平差：

設(shè)單位權(quán)中誤差σ0=σβ=2.5″，則有

(6)

ΡS1=0.003((″)2/mm2)

ΡS2=0.013((″)2/mm2)

ΡS3=0.028((″)2/mm2)

根據(jù)已知數(shù)據(jù)和觀測值計算出P1，P2點的近似坐標：

首次平差得到觀測值改正數(shù)：

vβ=[-0.50″ -4.91″ -4.74″ -5.35″]T

vs=[-85.19 -29.98 -13.22]Tmm

運用赫爾默特方差分量估計公式計算得到：

計算首次迭代后角度與邊長的單位權(quán)方差估值之比：

顯然，兩類觀測值首次平差后的單位權(quán)方差估值未達到閥值要求(本文設(shè)置的閾值為兩類觀測值的單位權(quán)方差估值之比與1差值的絕對值小于0.0001)，因此需要繼續(xù)迭代。從第2次平差開始，每次定權(quán)時，定權(quán)公式中的單位權(quán)方差c都取角度的單位權(quán)方差。當(dāng)?shù)降?次時，兩類觀測值的單位權(quán)方差估值之比達到閥值要求，迭代結(jié)束。此時兩類觀測值的改正數(shù)為：

vβ=[-0.41″ -5.03″ -4.74″ -5.32″]T

vs=[-85.82 -28.90 -12.93]Tmm

迭代過程中的單位權(quán)方差比值及最終平差結(jié)果見表2和表3，表3中σP為點位中誤差。

表2 單位權(quán)方差比值變化

表3 未知點坐標平差值及點位中誤差

Tab.3 Adjustment value of coordinates of unknown points and mean square error of a point

點號平差項目平差結(jié)果經(jīng)典最小二乘估計赫爾默特方差分量估計P1x^4933.109974933.10990Y^6513.718326513.71684σP167.0275665.93698P2x^4684.423394684.42335Y^7992.946517992.94613σP240.9697740.09551

由表2可以看出，兩類觀測值的單位權(quán)方差之比隨著迭代次數(shù)的增加逐漸趨近于1。當(dāng)?shù)降?次時，兩類觀測值的單位權(quán)方差之比達到閥值要求。由表3則可以得出，利用赫爾默特方差分量估計的平差結(jié)果優(yōu)于經(jīng)典平差。p1和p22點的點位中誤差分別減小了1.6%和2.1%，精度有所提高。這表明利用赫爾默特方差分量估計可以獲得優(yōu)于經(jīng)典平差所得的平差結(jié)果。

3 結(jié)論

當(dāng)有多類數(shù)據(jù)參與平差處理時，如何對各類觀測值準確定權(quán)是一件非常重要且復(fù)雜的事，然而經(jīng)典平差認為權(quán)陣是已知的且為簡單的結(jié)構(gòu)。赫爾默特方差分量估計通過反復(fù)迭代使各類觀測值的單位方差之比趨近于1，從而使各類觀測值的權(quán)比趨于合理。本文分別利用經(jīng)典高斯-馬爾柯夫模型和赫爾默特方差分量估計對附合導(dǎo)線進行平差處理，結(jié)果表明，赫爾默特方差分量估計能得到更高的精度，值得在工程應(yīng)用中推廣。

[1] 李希峰，岳東杰，衛(wèi)柳艷.赫爾默特方差分量估計在混合水準網(wǎng)平差中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代測繪，2005，28(5)：20-22.

[2] 郭楠，李永斌，胡菊英.赫爾默特方差分量估計在水準、CORS聯(lián)合平差中的應(yīng)用[J].蘭州工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2014(6)：56-60.

[3] 龔率，劉曉華，黃志偉，等.基于赫爾默特方差分量估計的水準網(wǎng)平差方法研究[J].大地測量與地球動力學(xué)，2015，35(5)：771-774.

[4] 白茹躍，王艷.邊角網(wǎng)赫爾默特方差分量估計的特征根法[J].長春工程學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2004，5(3)：46-48.

[5] 崔希璋，於宗儔，陶本藻，等.廣義測量平差[M].新版.武漢：武漢測繪科技大學(xué)出版社，2001.

Traverse Adjustment Analysis Based on Helmert Variance Component Estimation

ZHANG Xing，LEI Qian-kun，ZHANG Jun

(TheDepartmentofSurveyingandMappingEngineeringofMiningCollege，GuizhouUniversity，GuiyangGuizhou550025，China)

On account of unreasonable perspective and the right side，it easily has impacts on the results and accuracy of the adjustment using the classical LS(Least Squares)model for wire adjustment process.Helmert variance component estimation through accurately checking the relative weight ratio of angles and side lengths observation aims to eliminate the bad effect on results which is produced when the improper prior weight matrix deals with figures.This paper takes a conclusion with verifying that Helmert variance component estimation is able to lead to a more accurate adjustment result than the traditional one by means of analysing respective results of the Helmert variance component estimation and LS estimation.

variance component estimation；traverse adjustment；prior weight matrix

2016-07-06

1.貴州大學(xué)“SRT計劃”項目：“赫爾默特方差分量估計及其在測量中的應(yīng)用”，編號：貴大SRT字2015(171)。

2.貴州省教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)體系改革重點項目：“基于工程教育專業(yè)認證標準體系的測繪工程專業(yè)課程體系調(diào)整與優(yōu)化(SJJG201413)”。

3.貴州大學(xué)課程教學(xué)模式改革項目(JG201630)。

P 221

：B

：1007-9394(2016)04-0024-02

張幸(1994～)，男，貴州綏陽人，研究方向：測繪數(shù)據(jù)處理。