李保坤， 韓迎鴿， 郭永存， 曹 毅， 王成軍

(1. 安徽理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 安徽 淮南232001；2. 安徽理工大學(xué) 機械工程博士后科研流動站， 安徽 淮南232001；3. 江南大學(xué) 機械工程學(xué)院， 江蘇 無錫 214122；4. 上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)無奇異位置路徑規(guī)劃

李保坤1，2， 韓迎鴿1， 郭永存1， 曹 毅3，4， 王成軍1

(1. 安徽理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 安徽 淮南232001；2. 安徽理工大學(xué) 機械工程博士后科研流動站， 安徽 淮南232001；3. 江南大學(xué) 機械工程學(xué)院， 江蘇 無錫 214122；4. 上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

奇異位形嚴重影響并聯(lián)機器人機構(gòu)的性能，有必要在獲得機構(gòu)奇異位形分布規(guī)律基礎(chǔ)上進一步探討機構(gòu)的奇異規(guī)避問題.主要研究六自由度Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的奇異軌跡幾何性質(zhì)和無奇異路徑規(guī)劃.構(gòu)建機構(gòu)位置奇異軌跡方程，并指出機構(gòu)位于一系列動平面上的位置奇異軌跡均為具有明顯幾何性質(zhì)的二次曲線.基于上述奇異軌跡幾何性質(zhì)，當(dāng)給定起始點和目標(biāo)點時，給出機構(gòu)無奇異運動路徑存在與否的一般性判別方法；若存在無奇異運動路徑，進一步給出機構(gòu)位于動平面上的無奇異路徑規(guī)劃具體實現(xiàn)方法；以數(shù)值實例驗證了上述方法的有效性.研究成果對并聯(lián)機器人機構(gòu)的奇異規(guī)避問題研究具有重要的理論意義和實際參考價值.

并聯(lián)機構(gòu)； 奇異位形； 幾何性質(zhì)； 路徑規(guī)劃； 奇異規(guī)避

六自由度Gough-Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu)已被應(yīng)用于并聯(lián)機床、微操作機器人、空間對接機構(gòu)模擬器等多個高精技術(shù)領(lǐng)域[1].其空間多環(huán)并聯(lián)運動鏈屬性，決定了該類型機構(gòu)存在復(fù)雜的奇異位形.并聯(lián)機器人機構(gòu)若處于奇異狀態(tài)，機構(gòu)將嚴重失穩(wěn)、失控甚至被損壞，因此，有必要在探索得到并聯(lián)機器人奇異位形分布規(guī)律的基礎(chǔ)上進一步研究如何規(guī)避奇異.對于并聯(lián)機器人來說，規(guī)避機構(gòu)奇異位形的一個重要方法是增加冗余驅(qū)動[2-5].但對于六自由度的Gough-Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu)，一般采用添加相同的冗余分支，由于被動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角及分支桿之間的干涉限制，會帶來機構(gòu)控制的復(fù)雜性，并且會進一步限制機構(gòu)的工作空間.另一個規(guī)避奇異的有效方法便是利用路徑規(guī)劃來避免奇異位形，即基于任務(wù)空間計算出預(yù)期的運動軌跡，對其整個工作過程實施無奇異的路徑規(guī)劃，以保證機器人在整個任務(wù)操作過程中，機構(gòu)不會出現(xiàn)奇異位形.文獻[6]將并聯(lián)機構(gòu)的一系列奇異點看成是工作空間內(nèi)的障礙物，提出利用一種局部避障算法來避開機構(gòu)奇異點.任意給定起始點和目標(biāo)點，文獻[7]給出了一種能夠有效地規(guī)避并聯(lián)機構(gòu)奇異位形的軌跡規(guī)劃算法，但沒有給出并聯(lián)機構(gòu)奇異軌跡分布性質(zhì)以及無奇異路徑存在與否的具體判別方法.白志富和陳五一[8]研究了不同位置正解之間的無奇異連接路徑問題，指出如果機構(gòu)的2個正解位形對應(yīng)的雅可比矩陣行列式的值符號相反，則一定不存在無奇異路徑能將這2個位形連接，如果2個雅可比矩陣行列式值同時為正或同時為負，則需要依賴于機構(gòu)奇異軌跡分布情況進行判定.目前已產(chǎn)生多種奇異位形的判別方法，主要有代數(shù)法[9-14]、線幾何及螺旋理論法[15-19]以及其他各種方法[20-23]等.其中，代數(shù)法能夠掌握機構(gòu)奇異軌跡在機構(gòu)位形空間內(nèi)的分布情況，從而為進一步研究基于軌跡規(guī)劃方法的奇異規(guī)避研究提供必要的依據(jù).Bandyopadhyay等[12]和Huang等[13]通過建立機構(gòu)的雅可比矩陣，分別研究了Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)位于Z截面和θ截面上的奇異軌跡幾何性質(zhì)及其分布情況.

本文在利用代數(shù)法得到Gough-Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu)位于給定姿態(tài)時的奇異軌跡方程以及奇異軌跡幾何性質(zhì)基礎(chǔ)上，得到機構(gòu)位于給定姿態(tài)時的動平面上無奇異路徑規(guī)劃方法.

1 奇異軌跡及其幾何性質(zhì)

機構(gòu)動、定平臺分別為2個半規(guī)則正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6，6個支鏈BiCi均通過SPS或SPU支鏈相連.點Bi和點Ci分別為動平臺和定平臺與各支鏈連接的鉸接點，點P和點O分別為六角動平臺和六角定平臺的幾何中心點，Aj(j=1， 3， 5)為六角定平臺長邊延長線的交點，βm和βb分別為動平臺和定平臺對應(yīng)邊的中心角，Rm和Rb分別為動平臺和定平臺的外接圓半徑.Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示.

圖1 Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic of the Gough-Stewart parallel mechanism

在動、定平臺上分別建立動坐標(biāo)系P-xyz和固定坐標(biāo)系O-XYZ.根據(jù)坐標(biāo)變換法則，不難得到Bi在固定坐標(biāo)系中的位置矢量Bi(i=1， 2， …， 6)，Ci在固定坐標(biāo)系中的位置矢量Ci(i=1， 2， …， 6).將它們代入機構(gòu)的雅可比矩陣[1]

(1)

式中：

雅可比矩陣行列式為零或矩陣條件數(shù)為無窮大，機構(gòu)處于奇異位形狀態(tài)[1].

假定機構(gòu)的姿態(tài)參數(shù)給定，令上述雅可比矩陣(1)行列式為零[14]，便可得到機構(gòu)姿態(tài)給定時位置位于定坐標(biāo)系O-XYZ中的奇異軌跡一般符號表達式：

f1Z3+f2XZ2+f3YZ2+f4X2Z+f5Y2Z+

f6XYZ+f7Z2+f8XZ+f9YZ+f10X2+f11XY+

f12Y2+f13Z+f14X+f15Y+f16=0，

(2)

式中：fi(i=1， 2， …， 16)是姿態(tài)參數(shù)以及機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)βm，βb，Rm，Rb的顯式表示.從式(2)可以看出，式(2)是關(guān)于機構(gòu)3個位置參數(shù)X，Y，Z的三次多項式，位置參數(shù)X，Y的最高次數(shù)均為2，位置參數(shù)Z的最高次數(shù)為3.

ZYZ-歐拉角(φ，θ，ψ)可以直觀地描述動平面和基平面的交線(脊線)位置，故為方便得到機構(gòu)的位置奇異軌跡性質(zhì)，在此利用ZYZ-歐拉角(φ，θ，ψ)描述動平臺的姿態(tài).

若θ≠0時，機構(gòu)在給定姿態(tài)參數(shù)(φ，θ，ψ)時的位姿如圖2所示.將定平臺所在平面O-XY定義為“基平面”，將動平臺所在平面P-xy定義為“動平面”，動平面P-xy和基平面O-XY之間的夾角為θ.稱基平面O-XY與動平面(動平面P-xy)的交線UV為“脊線”，W，V，U三個點分別為脊UV與直線C1C2、直線C3C4、直線C5C6的交點.V-xy為建立在動平面上的隨動坐標(biāo)系，其原點V在定坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)記為(Xv，Yv).記點P在隨動坐標(biāo)系V-xy中的坐標(biāo)為(x，y)，則其與定坐標(biāo)系中坐標(biāo)(X，Y，Z)關(guān)系為：

(3)

將式(3)代入式(2)并考慮到θ≠0便可得到動平面上的奇異軌跡在隨動坐標(biāo)系V-xy中的方程：

ax2+2bxy+2dx+2ey+f=0.

(4)

式(4)便是機構(gòu)在隨動坐標(biāo)系V-xy中描述的、位于特征平面上的二維位置奇異軌跡方程.關(guān)于動平面上位置奇異軌跡詳細推導(dǎo)過程以及動平面上的位置奇異幾何性質(zhì)具體分析，請參閱作者前期研究成果文獻[24]，限于篇幅，這里直接給出2個重要的推論.

圖2 機構(gòu)處于給定姿態(tài)時的位形Fig.2 Pose of the mechanism for a constant-orientation

推論1對于六自由度Gough-Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu)，若機構(gòu)在某個動平面上的位置奇異軌跡形式是一對雙曲線，那么，其中一條漸近線一定與V-xy坐標(biāo)系的y軸(脊線)相平行，并且這2條漸近線的方程均可以由形如式(5)與式(6)所示的方程描述：

x=-e/b，

(5)

abx+2b2y+2bd-ae=0.

(6)

推論2對于六自由度Gough-Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu)，若機構(gòu)在某個動平面上的位置奇異軌跡形式為一對相交直線，那么，該對相交直線的其中一條直線一定與V-xy坐標(biāo)系中的y軸(脊線)相平行，另外，這2條相交直線在V-xy坐標(biāo)系中的方程表示形式與上述雙曲線的2條漸近線在V-xy坐標(biāo)系中的方程表示形式一定相同.

通常情況下，式(2)所示的三次多項式表示的三維奇異軌跡曲面與一般傾斜平面的交線也是一個以三次多項式表示的曲線.然而，機構(gòu)位于動平面上的奇異軌跡是如式(4)所示的一條具有明顯幾何性質(zhì)的二次曲線.如文獻[8]所述，機構(gòu)無奇異路徑存在與否的判定需要依賴于機構(gòu)奇異軌跡分布性質(zhì)的判別，上述奇異軌跡幾何性質(zhì)極大地方便了對機構(gòu)實施位于動平面上的無奇異運動路徑規(guī)劃.

2 無奇異路徑規(guī)劃

2.1 無奇異路徑存在的條件

眾所周知，機構(gòu)在三維空間進行連續(xù)的位姿變換時，機構(gòu)位姿參數(shù)一定是連續(xù)變化的，這樣機構(gòu)的雅可比矩陣行列式值也必將是連續(xù)變化的.記起始點Pi與目標(biāo)點Pf對應(yīng)的雅可比矩陣分別為Ji，Jf，若det(Ji)×det(Jf)≤0，由函數(shù)的中值定理可知，欲使機構(gòu)從Pi運動到Pf，機構(gòu)必然會通過奇異點；若起始位置Pi和目標(biāo)位置Pf所對應(yīng)的機構(gòu)雅可比矩陣行列式值同號，即det(Ji)×det(Jf)>0，則Pi與Pf之間無奇異路徑的存在與否，需由起始點Pi、目標(biāo)點Pf以及奇異軌跡曲線三者之間的相對位置關(guān)系確定.機構(gòu)在任意截面上的奇異軌跡將該截面內(nèi)的工作區(qū)間分成若干不連通的區(qū)域，如圖3所示.若Pi與Pf分別位于不同區(qū)域內(nèi)，則Pi與Pf之間不存在無奇異路徑；反之，若Pi與Pf位于同一區(qū)域內(nèi)，則Pi與Pf之間存在無奇異路徑.

圖3 動平面上的若干區(qū)域Fig.3 Several zones in the moving plane

在機構(gòu)動平面上建立如圖2所示動坐標(biāo)系V-xy，在該坐標(biāo)系下建立直線PiPf方程，并與動平面上的位置奇異軌跡曲線方程式(3)聯(lián)立得方程組：

(7a)

ax2+2bxy+2dx+2ey+f=0.

(7b)

設(shè)以上方程組的實數(shù)解分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(只有1個實數(shù)解時可以看成具有2個相等的實數(shù)解).這2個實數(shù)解也即直線PiPf與動平面上位置奇異二次曲線的交點坐標(biāo).如式(7b)所示的動平面上位置奇異軌跡曲線包括：1對雙曲線、1對相交直線、1條拋物線、1對平行直線或1條直線[24].

由動平面上的位置奇異軌跡幾何性質(zhì)可以看出，在det(Ji)×det(Jf)>0的情況下，令

δ=-b2≤0， Δ=-ae2-b2f+2bde.

是否存在無奇異路徑，根據(jù)以下情況進行判別：

1)當(dāng)δ=0且Δ≠0時，動平面上的位置奇異軌跡曲線為拋物線，此時，Pi與Pf一定位于奇異軌跡分隔的同一區(qū)域內(nèi)，如圖4所示，Pi與Pf之間一定存在無奇異路徑.

圖4 拋物線情況Fig.4 Case of parabola

2)當(dāng)且僅當(dāng)(φ，ψ)=(±90°，=±90°)時，δ=0且Δ=0，此時，動平面上的位置奇異軌跡曲線為一對平行直線或一條直線，并且上述的一系列直線均與V-xy坐標(biāo)系中的y軸相平行，此時只要

min(x1，x2)

或

x1，x2

或

xi，xf

如圖5所示，Pi與Pf之間一定存在無奇異路徑.

圖5 平行直線情況Fig.5 Case of parallel lines

3)當(dāng)δ<0時，動平面上的位置奇異軌跡曲線為一對雙曲線或一對相交直線.

①若min(xi，xf)

圖6 min(xi， xf)

②若x1，x2?R，也即直線PiPf與奇異軌跡無交點，如圖7所示，此時一定存在無奇異路徑.

圖7 x1， x2?R情況Fig.7 Case of x1， x2?R

③若min(xi，xf0(直線PiPf與奇異軌跡的交點P1,P2位于直線x=e/b同側(cè))，如圖8所示，則Pi與Pf之間存在無奇異路徑.

圖8 min(xi， xf)0 情況Fig.8 Case of min(xi， xf)< x1， x2 0

④若min(xi，xf)

圖9 min(xi， xf)

根據(jù)以上所述，動平面上任意兩位置點之間無奇異路徑的存在與否的具體判別方法如圖10所示.

2.2 無奇異路徑規(guī)劃的具體實現(xiàn)方法

在動坐標(biāo)系V-xy中，當(dāng)滿足存在無奇異路徑的前提時，若有

(8)

圖10 無奇異路徑存在與否的判別Fig.10 Existence discrimination of singularity-free path

此時直線段PiPf便可作為無奇異路徑；若不滿足式(8)，則需要以曲線路徑形式繞過奇異點，如圖5所示.直線段PiPf與奇異軌跡曲線交點分別為P1，P2，將直線段P1P2分成若干離散點，并將離散點記為(x0i，y0i).過任一等分點(x0i，y0i)作平行于y軸的直線交奇異軌跡曲線于點(xsi，ysi)，根據(jù)動平面上的位置奇異軌跡幾何性質(zhì)可知，若將動平面上的位置奇異表達式看成是y關(guān)于自變量x的函數(shù)方程，則該函數(shù)一定為凸函數(shù)或是凹函數(shù)，故令

(9)

式中：sign——將數(shù)值取符號值，若結(jié)果為正值，取數(shù)值“1”，結(jié)果為負數(shù)，取數(shù)值“-1”，結(jié)果為0，取數(shù)值“0”；Δx，Δy的具體數(shù)值一般根據(jù)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸和軌跡精度要求設(shè)定.

由動平面上奇異軌跡方程式(4)得

(10)

故有

圖11 曲線無奇異路徑Fig.11 Singularity-free curve path

以上討論的是θ≠0時相互平行的動平面上的無奇異路徑規(guī)劃問題.若θ=0，此時主要分為3種情況：1)Z=0時，機構(gòu)動、定平臺相互重合，此時位置參數(shù)(X，Y)無論取何值，機構(gòu)一定處于奇異位形；2)Z≠0時，當(dāng)且僅當(dāng)(φ+ψ)=±90°，機構(gòu)發(fā)生奇異位形.當(dāng)機構(gòu)位于給定姿態(tài)時，上述2種情況下，機構(gòu)均處于奇異位形，起始點和目標(biāo)點均處于奇異位形狀態(tài)，且這樣的兩位置點之間不存在任何無奇異路徑連接；3)Z≠0時，且(φ+ψ)≠±90°，任意給定目標(biāo)點和位置點，連接兩位置點之間的任意路徑均為無奇異路徑.

3 數(shù)值實例

機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)給定為Rb=2 m，Rm=1 m，βb=105°，βm=75°，不考慮機構(gòu)結(jié)構(gòu)約束限制，給定姿態(tài)參數(shù)(φ，θ，ψ)=(60°， 30°，-45°)，機構(gòu)在動平面上的起始點Pi和目標(biāo)點Pf在坐標(biāo)系V-xy中的位置參數(shù)如表1所示.要求判斷Pi與Pf之間是否存在無奇異連接路徑，若存在，要求規(guī)劃兩點之間的無奇異運動路徑.

表1 位置參數(shù)

路徑規(guī)劃是機器人機構(gòu)設(shè)計及應(yīng)用過程中值得關(guān)注的問題，優(yōu)良的運動路徑能夠使機構(gòu)滿足任務(wù)要求的同時，也可以優(yōu)化機構(gòu)的某些性能指標(biāo)，例如時間最優(yōu)[25]、能耗最優(yōu)[26-27]、驅(qū)動力/力矩最優(yōu)[5]等.當(dāng)機構(gòu)位于奇異位形附近時，機構(gòu)的雅可比矩陣為病態(tài)矩陣，其逆矩陣的精度降低，此時，機構(gòu)輸入-輸出運動關(guān)系嚴重失真[1].雅可比矩陣的條件數(shù)可以定量描述矩陣求逆的精確度和穩(wěn)定性，并衡量機構(gòu)運動的失真程度以及無奇異路徑規(guī)劃的有效性.

具體方法如下所述.

計算起始點和目標(biāo)點分別對應(yīng)的雅可比矩陣行列式值，如表2所示.

表2 起始點和目標(biāo)點的雅可比矩陣行列式

Table 2 Determinants of the Jacobian matrix of the start position and object position

實例Xv起始點(xi,yi)雅可比矩陣行列式det(Ji)目標(biāo)點(xf,yf)雅可比矩陣行列式det(Jf)11m149.643290188519-66.271339642730821m27.91244348064655.1412110112912

根據(jù)圖10所示是否存在無奇異路徑判斷方法，顯然，實例1中，由于起始位置點和目標(biāo)位置點行列式值異號，因此，不存在無奇異位置運動路徑連接這2點.圖12所示為起始位置點與目標(biāo)位置點在動平面上的位置，可以看到，起始位置和目標(biāo)位置確實被奇異軌跡“隔斷”，這2點之間的確不存在無奇異路徑.

圖12 實例1的起始點和目標(biāo)點位置Fig.12 Initial position and final position of example 1

對于實例2，起始位置點和目標(biāo)位置點行列式值均同號，故應(yīng)根據(jù)圖10流程圖繼續(xù)判別是否存在無奇異路徑.δ=-603.434 48，Δ=-34 165.755 97；解方程組(6)可得到動坐標(biāo)系V-xy下，

(x1，y1)=(0.756 73 m， 4.756 73 m)，

(x2，y2)=(-3.298 92 m， 0.701 08 m)，

(x1，y1)≠(x2，y2)，不滿足

min(x1，x2)

圖13 實例2的直線路徑規(guī)劃Fig.13 Line path of example 2

又-e/b=-0.955 478，得(x1+e/b)×(x2+e/b)>0，故存在無奇異運動路徑.根據(jù)以上所述，應(yīng)利用圖5所示以曲線路徑形式規(guī)劃并利用式(9)計算無奇異路徑點.否則，若將起始點(-4 m， 0 m)和目標(biāo)點(2 m， 6 m)以直線段形式連接，如圖13所示，將該位置路徑離散化，對應(yīng)的雅可比矩陣條件數(shù)隨離散點變化如圖14所示，可以看到，以直線路徑連接起始點和目標(biāo)點時會存在奇異點，故應(yīng)基于式(8)并如圖15所示對機構(gòu)實施無奇異路徑規(guī)劃.

圖14 離散點的條件數(shù)Fig.14 Condition number for discrete positions

圖15 實例2的無奇異路徑規(guī)劃Fig.15 Singularity-free path of example 2

圖15為利用如圖11所示的曲線路徑規(guī)劃得到的無奇異運動路徑，此處，Δx=Δy=0.5 m，機構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)變化如圖16所示.可以看到，重新規(guī)劃的運動路徑順利避開了奇異點.

圖16 無奇異路徑的條件數(shù)Fig.16 Condition number for singularity-free path

需要指出的是，論文中對圖16和圖14進行的比較，是為了闡明上述無奇異路徑規(guī)劃的有效性.但由于論文選取的路徑起始點和目標(biāo)點距離機構(gòu)奇異位形較為接近，故圖15所示的無奇異路徑軌跡對應(yīng)的條件數(shù)(如圖16所示)仍然很大，但重新規(guī)劃后的條件數(shù)相比未規(guī)劃之前有了極大改善，說明了上述無奇異路徑規(guī)劃算法是有效的.

4 結(jié) 論

1) 基于Gough-Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu)奇異軌跡幾何性質(zhì)，給出機構(gòu)的無奇異路徑存在與否的識別以及無奇異路徑具體規(guī)劃方法.該方法不依賴于動平面上奇異軌跡分布情況的觀察，任意給定兩位置點，利用相關(guān)解析公式并編制相應(yīng)的計算機程序即可自動判別無奇異運動路徑的存在性，并得到具體運動路徑，為進一步擴展至三維空間內(nèi)的無奇異運動路徑規(guī)劃奠定了良好的前期基礎(chǔ).研究成果對其他類型并聯(lián)機器人機構(gòu)基于軌跡規(guī)劃的奇異規(guī)避問題研究亦具有重要的參考價值.

2) 論文探討的動平面上無奇異路徑的具體規(guī)劃方法具有一定的實際應(yīng)用價值，例如在將機構(gòu)應(yīng)用于傾斜平面上的多孔鉆、銑削、裝配等順序動作時，就需要對機構(gòu)位于動平面上的位置變換實施無奇異路徑規(guī)劃.

3) 機器人機構(gòu)的路徑規(guī)劃與其作業(yè)任務(wù)要求、機械結(jié)構(gòu)等相關(guān)，針對不同的軌跡運動要求，路徑規(guī)劃也有不同的優(yōu)化指標(biāo).論文僅以改善機構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)為目標(biāo)對機構(gòu)實施路徑規(guī)劃以規(guī)避奇異位形，暫未考慮機構(gòu)的實際結(jié)構(gòu)約束條件影響.作者下一步的研究目標(biāo)將在考慮機構(gòu)結(jié)構(gòu)條件約束條件下，以時間最優(yōu)、能耗最優(yōu)以及驅(qū)動力/力矩最優(yōu)等為目標(biāo)，對機構(gòu)實施無奇異路徑規(guī)劃.

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Singularity-free position path planning of the Gough-Stewart parallel mechanism

LI Bao-kun1，2， HAN Ying-ge1， GUO Yong-cun1， CAO Yi3，4， WANG Cheng-jun1

(1. School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China;2. Postdoctoral Research Station of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China;3. School of Mechanical Engineering， Jiangnan University， Wuxi 214122， China;4. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration， Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240， China)

Singular configuration seriously affects the performance of the parallel robotic mechanisms. It is essential to further investigate the singularity-avoidance problem on the basis of obtaining the singularity distributing regularity of the mechanism. The geometric property of the singularity-locus and the singularity-free path planning of the Gough-Stewart parallel mechanism were explored. The position-singularity locus equation of the mechanism was constructed and the case that every singularity locus in the series of the moving plane was a quadratic curve with obvious geometric property was pointed out. Based on the geometric property of the singularity locus， the general discriminating method for the presence and absence of the singularity-free motion path was represented when the starting point and the object point were given. When the singularity-free motion path was existent， the implemented method for the singularity-free path was provided. The validation of the aforementioned methods was tested and verified by applying numerical examples. The investigation has important theoretical significance and practical reference value for the exploration of the singularity-avoidance of the parallel robotic mechanisms．

parallel mechanism; singular configuration; geometric property; path planning; singularity-avoidance

2016-03-23.

本刊網(wǎng)址·在線期刊：http://www.zjujournals.com/gcsjxb

國家自然科學(xué)基金資助項目 (51605006)；機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室開放課題(MSV201407);安徽省自然科學(xué)基金資助項目 (1308085QE78)；安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究基金重點資助項目(KJ2015A121).

李保坤(1982—)，男，安徽舒城人，副教授，博士，從事機構(gòu)學(xué)與機器人技術(shù)等研究. 通信聯(lián)系人：韓迎鴿(1978—)，女，陜西興平人，副教授，博士，從事機器人學(xué)與控制理論等研究，E-mail：yghan@aust.edu.cn.http://orcid.org//0000-0001-5413-4061

10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.06.004

TH 112

A

1006-754X(2016)06-0544-09