吳忠萬(wàn)，李冬林，譚興毅，左安友

(湖北民族學(xué)院；湖北 恩施 445000)

最小偏向角法測(cè)三棱鏡折射率的相圖探究

吳忠萬(wàn)，李冬林，譚興毅*，左安友

(湖北民族學(xué)院；湖北 恩施 445000)

三棱鏡折射率的測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的重要組成部分，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的基本實(shí)驗(yàn)技能、加深對(duì)經(jīng)典光學(xué)理論的理解具有重要作用。本文依據(jù)幾何光學(xué)原理探究了最小偏向角法中在有出射光時(shí)最小偏向角與三棱鏡頂角、折射率所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,建立了有出射光時(shí)入射角、折射率、頂角間以及最小偏向角時(shí)折射率、頂角、最小偏向角間的相圖，闡明了兩相圖的物理意義。該研究拓展了三棱鏡折射率實(shí)驗(yàn)的研究思路。

三棱鏡折射率；最小偏向角；入射角；頂角；相圖

三棱鏡折射率的測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的重要組成部分，對(duì)其測(cè)量方法的研究有很多[1-6]，實(shí)驗(yàn)室通常采用的是最小偏向角法。沈鑫惠[7]等人理論上導(dǎo)出了三棱鏡折射率與入射角和頂角及偏向角的一般關(guān)系,提出了利用偏向角和出射角測(cè)量折射率的方法，拓展了三棱鏡折射率實(shí)驗(yàn)的研究思路。顧菊觀[8]研究了最小入射角和最大頂角的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)不同材料的棱鏡對(duì)應(yīng)的頂角的最大值也不相同，這對(duì)實(shí)驗(yàn)尋找折射光線提供了理論參考。周凱寧[9]等人用垂直底邊入射法、全反射法、最小偏向角法測(cè)量三棱鏡折射率時(shí)發(fā)現(xiàn)用最小偏向角法測(cè)量的數(shù)值最精確。祝昆[10]在利用數(shù)值計(jì)算的方法給出三棱鏡偏向角隨入射角變化的規(guī)律，提出了一種快速確定最小偏向角大小的新方法，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)值相吻合，提高了實(shí)驗(yàn)效率。李曉勤[11]在通過(guò)編譯程序模擬實(shí)驗(yàn),描繪偏向角隨入射角、折射率變化規(guī)律時(shí)，給出了入射角與最小偏向角的二維曲線以及給出了有出射光線時(shí)入射角的起始值與折射率的對(duì)應(yīng)關(guān)系表。在用最小偏向角法測(cè)量三棱鏡折射率的實(shí)驗(yàn)中，若沒有出射光線，那么偏向角就無(wú)法測(cè)量，這是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量的前提，但是很少有研究者對(duì)有出射光線時(shí)入射角與折射率及頂角間應(yīng)滿足的函數(shù)關(guān)系做出研究,而從相圖的觀點(diǎn)研究該實(shí)驗(yàn)中物理量間的關(guān)系更是鮮為人知。本文依據(jù)幾何光學(xué)原理探究了有出射光線時(shí)入射角與折射率及頂角間所滿足的函數(shù)關(guān)系，給出三者間的相圖，使研究者能夠快速、明了的知道測(cè)量有意義的區(qū)域。同時(shí)文本依據(jù)最小偏向角法建立了以折射率、頂角、最小偏向角的相圖，為測(cè)量三棱鏡折射率提供了參考。

1 入射角與折射率及頂角的相圖

1.1 幾何光學(xué)原理

光在三棱鏡中傳播的光路如圖1所示，若光恰好在AC邊上發(fā)生全反射，則

(1)

在AC邊上由折射定律有

(2)

其中n是三棱鏡折射率，由幾何關(guān)系易得

(3)

式中A是三棱鏡的頂角，在AB邊上由折射定律有

(4)

圖1 光在三棱鏡傳播中的光路圖

綜合式(1)、(2)、(3)、(4)可得

(5)

式(5)便是AC邊剛好發(fā)生全反射時(shí)入射角、頂角、折射率間所滿足的函數(shù)關(guān)系式。

1.2 相圖的分析

利用Mathematica 軟件畫出(5)式所對(duì)應(yīng)的三維圖像如圖2所示，該三維立體圖的三坐標(biāo)軸分別為頂角、入射角、折射率，也即為三者間的相圖。圖中帶藍(lán)色網(wǎng)格的曲面是AC邊剛好發(fā)生全反射時(shí)入射角與折射率及頂角所滿足關(guān)系式的曲面,即該曲面上的點(diǎn)都是AC邊恰好發(fā)生全反射的點(diǎn)。在曲面的下方是AC邊無(wú)出射光線所對(duì)應(yīng)的空間區(qū)域，在曲面的上方是AC邊有出射光線所對(duì)應(yīng)的空間區(qū)域，表明該曲面是AC邊上有無(wú)出射光線的分界面。如果沒有出射光線，那么偏向角就無(wú)法測(cè)量，這是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量的前提，即該曲面也是實(shí)驗(yàn)測(cè)量有無(wú)意義的分界面。在實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，通過(guò)該相圖，可以知道入射角應(yīng)大于什么值時(shí)才會(huì)有出射光線，這為實(shí)驗(yàn)測(cè)量帶來(lái)了方便。同時(shí)，通過(guò)該相圖可以看出對(duì)于一個(gè)材料給定的棱鏡(相當(dāng)于折射率為某個(gè)已知值)，入射角隨著頂角的增大而呈上升趨勢(shì)；當(dāng)頂角A固定時(shí)，入射角隨折射率n的增大而增大。表明在實(shí)驗(yàn)操作時(shí)要盡量使入射角大一點(diǎn)，才會(huì)有出射光線射出。

圖2 入射角、折射率、頂角間的相圖

2 最小偏向角法

2.1 最小偏小角法原理

當(dāng)偏向角為最小偏向角時(shí)光在三棱鏡中的傳播如圖3所示，由幾何關(guān)系可得

(6)

在AB邊由折射定律有

(7)

綜合式(6)、(7)可得

(8)

式(8)便是折射率與頂角及最小偏向角間的函數(shù)關(guān)系式，式中σmin是最小偏向角，是實(shí)驗(yàn)中常采用測(cè)量折射率的表達(dá)式。

圖3 最小偏小角光路

2.2 折射率與頂角及最小偏向角的相圖分析

利用Mathematica 軟件畫出(8)式所對(duì)應(yīng)的三維圖像如圖4所示，該三維立體圖的三坐標(biāo)軸分別為頂角、最小偏向角、折射率，也即為三者間的相圖。

圖4 折射率與頂角及最小偏向角的相圖

圖中(a)、(b)是同一曲面在不同視野下得到的兩幅圖像，其中(b)是由(a)繞折射率軸線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的圖像。圖中帶紅色網(wǎng)格的曲面就是折射率與頂角及最小偏向角間所滿足的函數(shù)關(guān)系圖像，即該曲面上的每個(gè)點(diǎn)都是滿足最小偏向角的點(diǎn)。當(dāng)知道最小偏向角與頂角時(shí)，可以不用式(8)計(jì)算而通過(guò)該圖就可以直接獲得折射率。從圖中可以看出當(dāng)頂角為某個(gè)固定角時(shí)，最小偏向角隨著折射率的增大而增大，但上升趨勢(shì)越來(lái)越平緩；當(dāng)折射率為某個(gè)固定數(shù)值時(shí)，最小偏向角隨頂角的增大而增大。

3 結(jié) 論

探討了用最小偏向角法測(cè)量三棱鏡折射率的前提條件，給出了頂角、入射角及折射率三者的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)相圖清楚的給定測(cè)量有意義區(qū)域。依據(jù)最小偏向角法公式，建立了折射率、頂角及最小偏向角三者間的相圖。從相圖方面給出了實(shí)驗(yàn)公式的物理意義，有利于研究者對(duì)公式的深刻理解，同時(shí)也為三棱鏡折射率的測(cè)量提供了一種新的思路。

[1] 紀(jì)延俊，杜玉杰，郭紅巖.全反射法對(duì)棱鏡折射率的測(cè)定[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010,23(6)： 23-24.

[2] 陳居正.角入射法測(cè)量三棱鏡材料的折射率[J].工科物理，1996(4)：27-28.

[3] 朱德全.垂直折射法測(cè)量三棱鏡的折射率[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,13(4)：74-76.

[4] 韓勝陽(yáng),吳殿鴻,侯曉波.用任意偏向角測(cè)量三棱鏡折射率[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，1995,8(4)：4-7.

[5] 張潔，李成龍.臨界法測(cè)量三棱鏡的折射率[J].科技信息，2008(31)：184.

[6] 孫慶龍.利用垂直鄰邊入射法測(cè)量三棱鏡的折射率[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2014,27(1)：40-41.

[7] 沈鑫惠，錢淑珍，顧菊觀.三棱鏡折射率和入射角測(cè)量的拓展[J].物理通報(bào)，2014(6)：85-87.

[8] 顧菊觀.三棱鏡偏向角與棱鏡頂角的關(guān)系[J].物理與工程,2010,20(4):22-23.

[9] 周凱寧,肖寧,陳棋,等.3種測(cè)量三棱鏡折射率方法的對(duì)比[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2011,30(4):22-25.

[10] 祝昆.數(shù)值計(jì)算方法確定最小偏向角的大小[J].六盤水師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2011,23(6)：25-27.

[11] 李曉勤.模擬實(shí)驗(yàn)研究最小偏向角的規(guī)律[J].物理與工程,2009,19(2):30-32.

Explore the Phase Diagram of the Refractive Index of and the Incident and the Deviation Angle of Aprism

WU Zhong-wan,LI Dong-lin,TAN Xing-yi,ZUO An-you

(HuBei University For Nationalities,Hubei Enshi 445000)

The measurement of the refractive index of the prism is an important part of college physics experiment.It plays an important role in developing students’basic experimental skills and understanding the theory of classical optics.Based on principle of geometrical optics,the function relation of the minimum deviation angle of the prism and the vertex angle and the refractive index was built.Then the phase diagram among the incident angle,the refractive index,and the vertex angle was established.We also established the phase diagram among the refractive index,the vertex angle and the minimum deviation angle in the method of the minimum deviation angle.Physical Significance of the two phase diagrams is stated.This study extends the research ideas of the prism refractive index experiment.

prism refractive index；minimum deviation angle；incidence angle；vertex angle；phase diagram

2016-06-12

湖北民族學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(2016CX040)

1007-2934(2016)06-0078-03

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.020

*通訊聯(lián)系人