宋家慶，鮑四元，吉 陳

(蘇州科技大學，江蘇 蘇州 215011)

空竹拋體運動的數(shù)值解法和動畫模擬

宋家慶，鮑四元*，吉 陳

(蘇州科技大學，江蘇 蘇州 215011)

研究了馬格努斯效應下的旋轉拋體運動，考慮了空氣阻力作用于質心上的情況。對于不同初速度和拋出角度，基于 Mathematica 的計算功能計算得到運動方程的數(shù)值解，然后利用軟件的可視化功能畫出運動軌跡曲線。在Mathematica高版本中還通過控件改變參數(shù)，得到動畫模擬。使學生更加深入、直觀地模擬空竹拋體的運動，同時提高了學習的主動性和創(chuàng)造性。

馬格努斯效應；旋轉拋體；計算機模擬；動態(tài)可視化；Mathematica

抖空竹是漢族傳統(tǒng)文化中的一種游戲，空竹一般為木質或竹質，中空，因而得名，用線繩抖動空竹可使其高速旋轉而發(fā)出的響聲。雖為玩具卻蘊含著如下物理原理：物體旋轉時會產(chǎn)生馬格努斯效應。足球運動中的“香蕉球”[1,2]也應用了該原理，當球員用右腳內側“搓”球時引起摩擦，致使足球在球門附近時作逆時針旋轉，形成橫向作用力(即馬格努斯力)，使原本向右飛行的球逐漸向左偏轉。文獻[3-4]討論了在空氣阻力影響下空竹以不同初速度和拋出角度時的下落或上拋運動。在大學力學的教學和研究中，引入軟件進行數(shù)值模擬可以達到事半功倍的效果[5，6]。故本文使用Mathematica軟件數(shù)值求解了空竹拋體運動的微分方程，繪出其軌跡。然后通過控件改變初速度及拋出角度的數(shù)值，動態(tài)可視化模擬空竹的拋體運動。

1 旋轉拋體運動的理論計算

建立如圖1所示Oxyz直角坐標系，Oxy平面垂直于地面，設旋轉拋體的自轉軸于Oz軸平行。

根據(jù)質心運動定理[2]得旋轉拋體運動的微分方程如下：

(1)

其中m是拋體質量， 是旋轉拋體的角速度，其矢量方向指向Oz軸正向，v是拋體質心的速度，vx是Ox方向分速度， 是Oy方向分速度，k是空氣阻力對應的系數(shù)， 是與流體性質與物體大小幾何形狀有關的常數(shù)[3-4]。

圖1 空竹受力的示意圖

式(1)中的參數(shù)選取如下值：

μ=0.01，ω=12.56 rad/s，m=0.02 kg，g=9.8 m/s2，k=0.05 kg/s 。

微分方程式(1)的初始條件：t=0時，x=y=0，且初速度為v0，矢量方向與x軸成α角。

2 基于Mathematica的空竹運動軌跡

對于空竹給定的初速度和拋出角度可以運用Do語句循環(huán)計算，運用NDSolve命令求微分方程組數(shù)值解。建立微分方程組的語句如下：

mj=0.01;w=12.56;m=0.02;k=0.05;g=9.8；

v0=8(* 初速度 *)； (* 初速度的傾角 *);

dx[t_]=D[x[t],t];dx2[t_]=D[x[t],{t,2}](* 分別定義x[t]的一階、二階導數(shù) *);

dy[t_]=D[y[t],t];dy2[t_]=D[y[t],{t,2}](* 分別定義y[t]的一階、二階導數(shù) *);

eqs={-mj*w*dy[t]-k*dx[t]= =m*dx2[t],mj*w*dx[t]-k*dt[t-m*g= =m*dy2[t],

(dx[t]/.t->0)= =v0*Cos[ ],dy[t]/.t->0)= =v0*Sin[ ]}

對于上述常微分方程組，直接求解較為復雜。這里采用數(shù)值方法求解，在Mathematica中使用NDSolve命令。即輸入并執(zhí)行

subs=NDSolve[eqs,{x,y},{t,0,10}]

輸出為插值函數(shù)x[t]和y[t]。根據(jù)軌跡的參數(shù)方程,使用ParametricPlot命令可繪出xy平面上的軌跡，其中運動時間取為 秒，則輸入

ParametricPlot[Evaluate[{x[t]/.subs[[1]],y[t]/.subs[[1]]},{t,0,3},

AxesLable->{“x”,”y”}]；

運行后可得對應于輸入的初速度和拋出角度的運動軌跡，見圖2。

圖2 υ0=8 m/s和α=0.6rad時的軌跡圖

類似地，初速度和拋射角分別取若干組其他數(shù)值，可得出對應的運動軌跡圖像，參見圖3-6，其中圖6中自轉角速度較大，取為ω=28.26 rad/s。

圖3 υ0=3.8 m/s和α=0.6rad時的軌跡圖

圖4 υ0=8 m/s和α=0時的軌跡圖

圖5 υ0=8 m/s和α=1.397 5 rad時的軌跡圖

圖6 υ0=6 m/s和α=0.785 rad時的軌跡圖其中ω=28.26 rad/s

上述圖3-圖6與文獻[3]中使用解析法所得的圖像一致，且有著較高的計算效率。利用文中方法可得任何初速度和拋出角度條件下的運動軌跡，避免了繁復的解析過程，且數(shù)值模擬有著足夠的精度，便于模擬運動軌跡。

進一步，依照如下命令

ParametricPlot[Evaluate[{dx[t]/.subs[[1]],dy[t]/.subs[[1]]},{t,0,3},

AxesLable->{“vx”,”vy”}]；

可得運動過程的x方向速度和y方向速度的變化情況。由于以上多種情況的結果類似，這里只顯示一組結果，見圖7。另外，基于關系

(2)

類似地，可由軟件繪出空竹的速度-時間曲線，見圖8。由圖8可見，t=1.25s前后，空竹出現(xiàn)最小速度，大小約為1m/s。

圖7 υ0=8 m/s和α=0.6 rad時的x、y方向速度圖

圖8 υ0=8 m/s和α=0.6 rad時的速度-時間變化圖

3 空竹運動的動畫模擬

在Mathematica的后期版本[5-8]中(如Mathematica9.0)，引入了控件命令，便于模擬動畫，即使用Manipulate命令和Animator選項。

如果給出初速度和拋出角度的取值范圍，可使用Animator控件以滾動條的形式改變初速度和拋出角度，從而實時模擬出空竹拋體運動的軌跡方程，代碼只需稍作修改如下：

Clear[v,];

Manipulate[ss=NDSolve[eqs,{x,y},{t,0,4}];

ParametricPlot[Evaluate[{x[t]/.First[ss],y[t]/.First[ss]}],{t,0,4}],

{v,0,10,Animator},{,0,Pi/2,Animator}]

運行以上兩段代碼后則可生成一張隨初速度和拋出角度滾動條控制的動態(tài)圖像。截取其中兩幅如圖9和圖10所示。

圖9 實時動態(tài)軌跡之一

圖10 實時動態(tài)軌跡之二

上述方法可以實時顯示任意初速度和拋出角度下的運動軌跡，從而更加直觀的認識空竹拋體運動的變化規(guī)律。

4 結 論

空竹斜拋運動方程的解析解的形式較復雜，需要大量的公式推導及運算，而不少科學計算軟件具有數(shù)值求解微分方程的功能，且實現(xiàn)的過程簡單，易于操作。利用了Mathematica軟件的強大數(shù)值計算能力及可編程擴展功能實時生成軌跡和動畫，從而通過軟件模擬再現(xiàn)了空竹的各類運動形式。

[1] 周道祥.從“野渡無人舟自橫”到“香蕉球”技術[J].力學與實踐,2005,27(3):94-95.

[2] 趙致真.從香蕉球說開去[J].力學與實踐,2008,30(3)：112-114.

[3] 郝成紅,黃耀清,王歡,等.考慮空氣阻力時空竹的斜拋運動[J].大學物理,2016(3): 15-17,26.

[4] 于鳳軍.馬格努斯效應與空竹的下落運動[J].大學物理,2012,31(9):19-21.

[5] 張韻華.Mathematica7實用教程[M].合肥：中國科學技術大學出版社,2011.

[6] 鮑四元,孫洪泉,陳旭元.Mathematica在振動波問題中的應用[J].物理與工程,2010,20(4):49-51.

[7]http://reference.wolfram.com/language/tutorial/IntroductionToManipulate.html.

[8] 張舜.關于物理實驗在計算機上的應用[J].大學物理實驗，1999(4)：54-57.

A Numerical Solution for Motion of a Rotating Projectile and Its Animation Simulation

SONG Jia-qing，BAO Si-yuan，JI Chen

(Suzhou Science and Technology University，Jiangsu Suzhou 215011)

We studied the rotating projectile motion under the Magnus effect and considered the effect of the air resistance against the direction of movement.For different initial speeds and throwing angles,the numerical solutions of the motion equation are obtained based on the calculation function of Mathematica.Then we draw the trajectory curves based on the visual function of Mathematica.By changing the control parameter,the animation simulation is obtained.This can make students more deeply and directly simulate the diabolo projectile motion,at the same time,improve the learning initiative and creativity.

Magnus effect；rotating projectile；computer simulation；dynamic visualization；Mathematica

2016-06-24

1007-2934(2016)06-0056-04

O 4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.014

*通訊聯(lián)系人