林麗梅，郭維熊

(福建師范大學，福建 福州 350117)

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林麗梅，郭維熊

(福建師范大學，福建 福州 350117)

惠斯通電橋的靈敏度是影響其測量精度的關鍵因素。對電壓法和電流法惠斯通電橋測電阻實驗進行了理論探討和實驗驗證，發(fā)現(xiàn)電橋靈敏度與橋臂電阻密切相關。提出最佳橋臂電阻的計算公式，為惠斯通電橋的精確測量提供便利。

惠斯通電橋；橋臂電阻；靈敏度

惠斯通電橋是一種常用的電磁學測量方法，具有測量精度高、穩(wěn)定性好、便于操作等特點，在測量電阻、電容、電感、長度、溫度、壓力等方面均有應用[1-4]?；菟雇姌虻臏y量方法可以通過典型的直流平衡電橋測電阻的實驗進行系統(tǒng)的學習和研究，因此在大學物理實驗中一般將自組惠斯通電橋測電阻實驗列為重要的基礎實驗[5]?；菟雇姌蚣仁且环N測量方法，提高其測量精度是非常必要的，而電橋的靈敏度是影響其測量精度的一個關鍵因素。電橋的靈敏度與電橋中多種因素有關，如電源電壓，平衡監(jiān)測儀表的靈敏度，電源接法，及橋臂電阻等[6-8]。其中電源電壓、平衡監(jiān)測儀表的靈敏度與電橋靈敏度成正比關系，測量時可以從實際條件和實驗儀器安全使用方面選擇最優(yōu)的參數(shù)；電橋中電源的接法也可以根據(jù)實際情況確定，通常接在阻值大的兩臂節(jié)點和阻值小的兩臂節(jié)點之間以提高電橋靈敏度[6-8]。然而橋臂電阻的選擇是較為復雜的，因為橋臂電阻的選擇與橋路總電阻和橋臂電阻比兩個因素有關，與電橋靈敏度之間是復雜的非線性關系。盡管此前有多名學者針對電橋靈敏度的影響因素進行詳細探討并得出了定性甚至定量的研究結果，但是針對橋臂電阻的選擇給出明確的指導意見并不多見[8-11]。本文從理論上分別對電壓法和電流法的惠斯通電橋探討橋臂電阻對電橋靈敏度的影響，并進行實驗驗證，希望得到選擇橋臂電阻的確切方法。

1 惠斯通電橋的靈敏度

電壓法惠斯通電橋測電阻的原理如圖1所示，采用高分辨率的電壓表(內(nèi)阻為RV)判斷電橋平衡，其中Rx為待測電阻，R4為比較臂，R2、R3為比例臂，電源電壓和內(nèi)阻分別為E和r，干路上的限流保護電阻為RE，干路上電流為I，橋臂Rx，R2，R3和R4上所通過的電流分別為Ix，I2，I3和I4，電壓表支路上的電流為IV。

圖1 惠斯通電橋測電阻的原理圖

如圖1，當電橋平衡(B、D兩點等電位，即UBD=0)時，可推導出待測電阻Rx為：

(1)

當電橋處于平衡時，如果比較臂R4產(chǎn)生一個微小改變(ΔR4)引起電壓表的示數(shù)產(chǎn)生的微小變化ΔU，則可將電壓法判斷平衡的電橋靈敏度SU定義為：

(2)

由于ΔU=ΔIV·RV，ΔIV為橋路BD上產(chǎn)生的電流微量變化，則(2)式可化為：

(3)

對圖1所示惠斯通電橋應用基爾霍夫定律可得如下方程：

在ABCEA回路中，

(4)

在ABDA回路中，

IxRx+IvRv+I4R4=0

(5)

在BCDB回路中，

I2R2-I3R3-IVRV=0

(6)

在節(jié)點A上，

I=Ix+I4

(7)

在節(jié)點B上，

Ix=I2+IV

(8)

在節(jié)點D上

I4+IV=I3

(9)

(10)

RxIx-R4I4+RVIV=0

(11)

R2Ix-R3I4-(R2+R3+RV)IV=0

(12)

應用克萊姆法則可得(10)、(11)和(12)式組成的方程組的系數(shù)行列式為

(13)

可見D≠0，可知(10)-(12)式組成的方程組有唯一解，且電橋非平衡電流為

(14)

其中DV為

(15)

將(14)對R4求偏導，可得

(16)

(17)

實驗測量希望獲得最精確的測量結果，需選擇合適的實驗條件使得電橋具有最大的靈敏度。由(17)式可知， SU與E，RV，(Rx+R2+R3+R4)，Rx/R2等有關。分析(17)式可知，E越大，SU越大，在實驗條件和保證儀器安全情況下選擇較高電源電壓E； RV越大，SU越大，應該選擇較大的RV；另外，通常電壓表的靈敏度越高，平衡判斷越準確SU也越大，但是電壓表的靈敏度過高也會給平衡判斷帶來困難而影響測量結果的準確性，應根據(jù)實際情況選擇合適的電壓表精度[6-8]。而從(17)式可知SU與各橋臂電阻之間的關系比較復雜，對于某一待測定值電阻Rx，如何提高電橋的靈敏度可歸結為對如何確定合理的橋臂電阻R2和R3的探討。至此可將探討電橋最大測量精度的問題轉化為求解(17)式中SU的最大值，應用高等數(shù)學求解方程極值的方法可得當橋臂電阻相等(即R2=R3)且為

(18)

時SU取得最大值，即電橋具有最佳的測量精度[11]。

當平衡監(jiān)測儀器為高精密電流表時，應用類似的方法可推導出電橋的靈敏度SI為[6-7]

(19)

其中Sg為高精密電流表的靈敏度，Rg為電流表內(nèi)阻，且當

(20)

時SI取得最大值，此時電流法惠斯通電橋具有最佳的測量精度。

2 實驗方案

分別用電壓法和電流法惠斯通電橋測量電阻，待測電阻預先用高精密的萬用表測量阻值為1 980.02±0.05Ω。根據(jù)上述理論確定實驗條件，電源電壓為6.0V，平衡監(jiān)測電壓表的最小分度和內(nèi)阻分別為0.01mV和10MΩ，平衡監(jiān)測電流表的分辨率和內(nèi)阻分別為1.4×10-6A/格和44Ω。詳細探究不同橋臂阻值對電橋靈敏度和電阻測量的影響。

3 結果與討論

采用電壓法惠斯通電橋測量待測電阻的電橋靈敏度SU和測量結果Rx分別如圖2(a)和(b)所示。在圖2(a)中，隨著橋臂電阻R2的增加SU(黑色方塊所示)呈現(xiàn)先迅速增大而后緩慢減小的變化趨勢，而圖2(a)中的虛線表示用(17)式計算得到的電橋靈敏度理論值，可見靈敏度實驗測量結果和理論曲線非常吻合；在R2為1 980Ω時理論曲線有最大值，與(18)式的計算結果一致，與實驗測量結果(在R2為2 000.0Ω時SU有最大值)也非常接近，說明上述理論推導的正確性。

圖2 電壓法惠斯通電橋的靈敏度和測量結果

通過電橋法測得的待測電阻如圖2(b)中白色方塊表示，測量誤差用誤差桿標出，除R2為50.0Ω外待測電阻測量結果均接近實際值，尤其是R2在1 000.0～3 000.0Ω范圍內(nèi)改變時，待測電阻的測量結果誤差最小僅1.2Ω。比對圖2(a)和(b)，當R2在1 000.0～3 000.0Ω范圍內(nèi)改變時，電橋的靈敏度較高，因此測量結果的誤差較小，測量結果也更準確，與預期一致。因此，可以通過理論的計算確定合適的橋臂阻值使得測量結果更準確。

圖3 電流法惠斯通電橋的靈敏度和測量結果

當惠斯通電橋的平衡檢測儀表為高精密電流表時，通過類似的理論和實驗方法可以測得電流法惠斯通電橋的靈敏度SI和Rx，分別如圖3(a)和(b)所示。在圖3(a)中，隨著橋臂電阻R2的增大SI(黑色圓球所示)也呈現(xiàn)出先迅速增大而后緩慢減小的變化趨勢，同時也發(fā)現(xiàn)靈敏度的實驗測量結果與(19)式計算得到的電橋靈敏度理論值(虛線所示)非常吻合。結合圖3(a)和(b)，除R2取20.0Ω和50.0Ω時，待測電阻的測量結果偏差較大外，其他的測量值均接近實際值，說明電橋法測量的準確性。而且，當R2在100.0Ω至500.0Ω之間變化時系統(tǒng)的靈敏度較高，測量結果的誤差也較小(僅1.3Ω)。另外，發(fā)現(xiàn)實驗測量得到的最佳靈敏度時R2為300.0Ω，而理論值為208Ω，分析其差別的主要原因是由于橋路中存在接觸電阻使得電流表的形式內(nèi)阻增大，根據(jù)(20)式可知R2的理論值將會增大。

將電壓法和電流法的電橋靈敏度歸一化，結果如圖4所示，可發(fā)現(xiàn)電橋靈敏度隨R2的增大均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，只有取恰當合理的R2時電橋的靈敏度才高，而且，電壓法的最佳R2阻值較電流法大，對應的較佳范圍也大。因此，在實驗測量時應根據(jù)實驗條件的不同選擇不同的實驗方法及參數(shù)才能獲得精確的測量結果。

圖4 電壓法和電流法惠斯通電橋的歸一化靈敏度

綜上所述，可總結出使用惠斯通電橋測電阻的一般方法。首先，根據(jù)實驗條件選擇合適的電橋形式(電壓法或電流法)；其次，可以通過電橋法或者其他測試手段初步確定待測電阻的阻值；再次，通過公式(18)或(20)確定合適的橋臂電阻；最后，使用惠斯通電橋法精確測量待測電阻。

4 結 論

通過對惠斯通電橋的靈敏度的理論研究，發(fā)現(xiàn)電橋的靈敏度和橋臂電阻密切相關，且只有選擇合適的橋臂電阻才能提高電橋的靈敏度，給出了橋臂電阻的理論計算公式，為該實驗的精確測量提供便利。通過比對電壓法和電流法的惠斯通電橋測電阻的實驗研究結果，發(fā)現(xiàn)電壓法惠斯通電橋能夠在較大的橋臂電阻范圍內(nèi)測得較好的測量結果，測量結果也更精確。

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Determine the Bridge Arm Resistance of the Wheatstone Bridge

LIN Li-mei,GUO Wei-xiong

(Fujian Normal University,Fujian Fuzhou 350117)

The sensitivity of the Wheatstone bridge is a key factor of its measuring precision.Investigating the Wheatstone bridge of balance judging by current or voltage with theoretical and experimental methods,it is found the closed relationship of the sensitivity and bridge arm resistance.And a calculation equation of proper bridge arm resistance is derived,which offers convenience for accurate measuring.

Wheatstone bridge；bridge arm resistance；sensitivity

2016-08-29

福建省自然基金項目(2013J01174);福建省教育廳基金項目(JB13023)

1007-2934(2016)06-0036-04

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.009