林麗梅，郭維熊

(福建師范大學(xué)，福建 福州 350117)

惠斯通電橋?qū)嶒?yàn)中橋臂電阻的確定

林麗梅，郭維熊

(福建師范大學(xué)，福建 福州 350117)

惠斯通電橋的靈敏度是影響其測量精度的關(guān)鍵因素。對電壓法和電流法惠斯通電橋測電阻實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了理論探討和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)電橋靈敏度與橋臂電阻密切相關(guān)。提出最佳橋臂電阻的計(jì)算公式，為惠斯通電橋的精確測量提供便利。

惠斯通電橋；橋臂電阻；靈敏度

惠斯通電橋是一種常用的電磁學(xué)測量方法，具有測量精度高、穩(wěn)定性好、便于操作等特點(diǎn)，在測量電阻、電容、電感、長度、溫度、壓力等方面均有應(yīng)用[1-4]?；菟雇姌虻臏y量方法可以通過典型的直流平衡電橋測電阻的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和研究，因此在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一般將自組惠斯通電橋測電阻實(shí)驗(yàn)列為重要的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)[5]。惠斯通電橋既是一種測量方法，提高其測量精度是非常必要的，而電橋的靈敏度是影響其測量精度的一個(gè)關(guān)鍵因素。電橋的靈敏度與電橋中多種因素有關(guān)，如電源電壓，平衡監(jiān)測儀表的靈敏度，電源接法，及橋臂電阻等[6-8]。其中電源電壓、平衡監(jiān)測儀表的靈敏度與電橋靈敏度成正比關(guān)系，測量時(shí)可以從實(shí)際條件和實(shí)驗(yàn)儀器安全使用方面選擇最優(yōu)的參數(shù)；電橋中電源的接法也可以根據(jù)實(shí)際情況確定，通常接在阻值大的兩臂節(jié)點(diǎn)和阻值小的兩臂節(jié)點(diǎn)之間以提高電橋靈敏度[6-8]。然而橋臂電阻的選擇是較為復(fù)雜的，因?yàn)闃虮垭娮璧倪x擇與橋路總電阻和橋臂電阻比兩個(gè)因素有關(guān)，與電橋靈敏度之間是復(fù)雜的非線性關(guān)系。盡管此前有多名學(xué)者針對電橋靈敏度的影響因素進(jìn)行詳細(xì)探討并得出了定性甚至定量的研究結(jié)果，但是針對橋臂電阻的選擇給出明確的指導(dǎo)意見并不多見[8-11]。本文從理論上分別對電壓法和電流法的惠斯通電橋探討橋臂電阻對電橋靈敏度的影響，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，希望得到選擇橋臂電阻的確切方法。

1 惠斯通電橋的靈敏度

電壓法惠斯通電橋測電阻的原理如圖1所示，采用高分辨率的電壓表(內(nèi)阻為RV)判斷電橋平衡，其中Rx為待測電阻，R4為比較臂，R2、R3為比例臂，電源電壓和內(nèi)阻分別為E和r，干路上的限流保護(hù)電阻為RE，干路上電流為I，橋臂Rx，R2，R3和R4上所通過的電流分別為Ix，I2，I3和I4，電壓表支路上的電流為IV。

圖1 惠斯通電橋測電阻的原理圖

如圖1，當(dāng)電橋平衡(B、D兩點(diǎn)等電位，即UBD=0)時(shí)，可推導(dǎo)出待測電阻Rx為：

(1)

當(dāng)電橋處于平衡時(shí)，如果比較臂R4產(chǎn)生一個(gè)微小改變(ΔR4)引起電壓表的示數(shù)產(chǎn)生的微小變化ΔU，則可將電壓法判斷平衡的電橋靈敏度SU定義為：

(2)

由于ΔU=ΔIV·RV，ΔIV為橋路BD上產(chǎn)生的電流微量變化，則(2)式可化為：

(3)

對圖1所示惠斯通電橋應(yīng)用基爾霍夫定律可得如下方程：

在ABCEA回路中，

(4)

在ABDA回路中，

IxRx+IvRv+I4R4=0

(5)

在BCDB回路中，

I2R2-I3R3-IVRV=0

(6)

在節(jié)點(diǎn)A上，

I=Ix+I4

(7)

在節(jié)點(diǎn)B上，

Ix=I2+IV

(8)

在節(jié)點(diǎn)D上

I4+IV=I3

(9)

(10)

RxIx-R4I4+RVIV=0

(11)

R2Ix-R3I4-(R2+R3+RV)IV=0

(12)

應(yīng)用克萊姆法則可得(10)、(11)和(12)式組成的方程組的系數(shù)行列式為

(13)

可見D≠0，可知(10)-(12)式組成的方程組有唯一解，且電橋非平衡電流為

(14)

其中DV為

(15)

將(14)對R4求偏導(dǎo)，可得

(16)

(17)

實(shí)驗(yàn)測量希望獲得最精確的測量結(jié)果，需選擇合適的實(shí)驗(yàn)條件使得電橋具有最大的靈敏度。由(17)式可知， SU與E，RV，(Rx+R2+R3+R4)，Rx/R2等有關(guān)。分析(17)式可知，E越大，SU越大，在實(shí)驗(yàn)條件和保證儀器安全情況下選擇較高電源電壓E； RV越大，SU越大，應(yīng)該選擇較大的RV；另外，通常電壓表的靈敏度越高，平衡判斷越準(zhǔn)確SU也越大，但是電壓表的靈敏度過高也會(huì)給平衡判斷帶來困難而影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的電壓表精度[6-8]。而從(17)式可知SU與各橋臂電阻之間的關(guān)系比較復(fù)雜，對于某一待測定值電阻Rx，如何提高電橋的靈敏度可歸結(jié)為對如何確定合理的橋臂電阻R2和R3的探討。至此可將探討電橋最大測量精度的問題轉(zhuǎn)化為求解(17)式中SU的最大值，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)求解方程極值的方法可得當(dāng)橋臂電阻相等(即R2=R3)且為

(18)

時(shí)SU取得最大值，即電橋具有最佳的測量精度[11]。

當(dāng)平衡監(jiān)測儀器為高精密電流表時(shí)，應(yīng)用類似的方法可推導(dǎo)出電橋的靈敏度SI為[6-7]

(19)

其中Sg為高精密電流表的靈敏度，Rg為電流表內(nèi)阻，且當(dāng)

(20)

時(shí)SI取得最大值，此時(shí)電流法惠斯通電橋具有最佳的測量精度。

2 實(shí)驗(yàn)方案

分別用電壓法和電流法惠斯通電橋測量電阻，待測電阻預(yù)先用高精密的萬用表測量阻值為1 980.02±0.05Ω。根據(jù)上述理論確定實(shí)驗(yàn)條件，電源電壓為6.0V，平衡監(jiān)測電壓表的最小分度和內(nèi)阻分別為0.01mV和10MΩ，平衡監(jiān)測電流表的分辨率和內(nèi)阻分別為1.4×10-6A/格和44Ω。詳細(xì)探究不同橋臂阻值對電橋靈敏度和電阻測量的影響。

3 結(jié)果與討論

采用電壓法惠斯通電橋測量待測電阻的電橋靈敏度SU和測量結(jié)果Rx分別如圖2(a)和(b)所示。在圖2(a)中，隨著橋臂電阻R2的增加SU(黑色方塊所示)呈現(xiàn)先迅速增大而后緩慢減小的變化趨勢，而圖2(a)中的虛線表示用(17)式計(jì)算得到的電橋靈敏度理論值，可見靈敏度實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果和理論曲線非常吻合；在R2為1 980Ω時(shí)理論曲線有最大值，與(18)式的計(jì)算結(jié)果一致，與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果(在R2為2 000.0Ω時(shí)SU有最大值)也非常接近，說明上述理論推導(dǎo)的正確性。

圖2 電壓法惠斯通電橋的靈敏度和測量結(jié)果

通過電橋法測得的待測電阻如圖2(b)中白色方塊表示，測量誤差用誤差桿標(biāo)出，除R2為50.0Ω外待測電阻測量結(jié)果均接近實(shí)際值，尤其是R2在1 000.0～3 000.0Ω范圍內(nèi)改變時(shí)，待測電阻的測量結(jié)果誤差最小僅1.2Ω。比對圖2(a)和(b)，當(dāng)R2在1 000.0～3 000.0Ω范圍內(nèi)改變時(shí)，電橋的靈敏度較高，因此測量結(jié)果的誤差較小，測量結(jié)果也更準(zhǔn)確，與預(yù)期一致。因此，可以通過理論的計(jì)算確定合適的橋臂阻值使得測量結(jié)果更準(zhǔn)確。

圖3 電流法惠斯通電橋的靈敏度和測量結(jié)果

當(dāng)惠斯通電橋的平衡檢測儀表為高精密電流表時(shí)，通過類似的理論和實(shí)驗(yàn)方法可以測得電流法惠斯通電橋的靈敏度SI和Rx，分別如圖3(a)和(b)所示。在圖3(a)中，隨著橋臂電阻R2的增大SI(黑色圓球所示)也呈現(xiàn)出先迅速增大而后緩慢減小的變化趨勢，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)靈敏度的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果與(19)式計(jì)算得到的電橋靈敏度理論值(虛線所示)非常吻合。結(jié)合圖3(a)和(b)，除R2取20.0Ω和50.0Ω時(shí)，待測電阻的測量結(jié)果偏差較大外，其他的測量值均接近實(shí)際值，說明電橋法測量的準(zhǔn)確性。而且，當(dāng)R2在100.0Ω至500.0Ω之間變化時(shí)系統(tǒng)的靈敏度較高，測量結(jié)果的誤差也較小(僅1.3Ω)。另外，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)測量得到的最佳靈敏度時(shí)R2為300.0Ω，而理論值為208Ω，分析其差別的主要原因是由于橋路中存在接觸電阻使得電流表的形式內(nèi)阻增大，根據(jù)(20)式可知R2的理論值將會(huì)增大。

將電壓法和電流法的電橋靈敏度歸一化，結(jié)果如圖4所示，可發(fā)現(xiàn)電橋靈敏度隨R2的增大均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，只有取恰當(dāng)合理的R2時(shí)電橋的靈敏度才高，而且，電壓法的最佳R2阻值較電流法大，對應(yīng)的較佳范圍也大。因此，在實(shí)驗(yàn)測量時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件的不同選擇不同的實(shí)驗(yàn)方法及參數(shù)才能獲得精確的測量結(jié)果。

圖4 電壓法和電流法惠斯通電橋的歸一化靈敏度

綜上所述，可總結(jié)出使用惠斯通電橋測電阻的一般方法。首先，根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件選擇合適的電橋形式(電壓法或電流法)；其次，可以通過電橋法或者其他測試手段初步確定待測電阻的阻值；再次，通過公式(18)或(20)確定合適的橋臂電阻；最后，使用惠斯通電橋法精確測量待測電阻。

4 結(jié) 論

通過對惠斯通電橋的靈敏度的理論研究，發(fā)現(xiàn)電橋的靈敏度和橋臂電阻密切相關(guān)，且只有選擇合適的橋臂電阻才能提高電橋的靈敏度，給出了橋臂電阻的理論計(jì)算公式，為該實(shí)驗(yàn)的精確測量提供便利。通過比對電壓法和電流法的惠斯通電橋測電阻的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果，發(fā)現(xiàn)電壓法惠斯通電橋能夠在較大的橋臂電阻范圍內(nèi)測得較好的測量結(jié)果，測量結(jié)果也更精確。

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Determine the Bridge Arm Resistance of the Wheatstone Bridge

LIN Li-mei,GUO Wei-xiong

(Fujian Normal University,Fujian Fuzhou 350117)

The sensitivity of the Wheatstone bridge is a key factor of its measuring precision.Investigating the Wheatstone bridge of balance judging by current or voltage with theoretical and experimental methods,it is found the closed relationship of the sensitivity and bridge arm resistance.And a calculation equation of proper bridge arm resistance is derived,which offers convenience for accurate measuring.

Wheatstone bridge；bridge arm resistance；sensitivity

2016-08-29

福建省自然基金項(xiàng)目(2013J01174);福建省教育廳基金項(xiàng)目(JB13023)

1007-2934(2016)06-0036-04

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.009