韋麗云

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的性質(zhì)和判定定理之后安排的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，把對(duì)以上知識(shí)的復(fù)習(xí)融會(huì)貫通到“中點(diǎn)四邊形”的探究活動(dòng)當(dāng)中，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、探究中點(diǎn)四邊形形狀與原四邊形狀關(guān)系的過程中，進(jìn)一步體會(huì)這些知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用，并在經(jīng)歷探索和證明中點(diǎn)四邊形的特殊性質(zhì)的過程中深刻體會(huì)證明的必要性，進(jìn)而豐富對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和感知.

專題復(fù)習(xí)課通常用于第二輪復(fù)習(xí)，按照五度教學(xué)模式進(jìn)行問題設(shè)計(jì).

一、問題呈現(xiàn)有效度

本課從生活中的方案設(shè)計(jì)問題入手，以學(xué)生熟悉的平行四邊形作為學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，開啟對(duì)中點(diǎn)四邊形形狀及性質(zhì)的探究之旅，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又為后續(xù)的研究做好了鋪墊.

問題1：學(xué)校有一塊平行四邊形的空地，打算用空地面積的一半來建造一個(gè)花壇，其余部分進(jìn)行綠化.為求美觀合理，學(xué)校決定在學(xué)生中征集設(shè)計(jì)方案.敏敏同學(xué)的設(shè)計(jì)方案是先定出平行四邊形四條邊的中點(diǎn)，順次連接這四個(gè)中點(diǎn)后得到一個(gè)新的四邊形，用這個(gè)新的四邊形做花壇，其余部分作為綠化區(qū)域.請(qǐng)問，敏敏同學(xué)的設(shè)計(jì)是否符合要求，你能判斷方案中得到的新四邊形的形狀嗎？

【片段實(shí)錄】

師：為了解決這一問題，我們需要把生活問題數(shù)學(xué)化.我們先按照敏敏的設(shè)計(jì)方案，畫出圖1，其中的E、F、G、H分別為平行四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，然后思考問題（1），四邊形EFGH的面積等于平行四邊形ABCD面積的一半嗎？

生1：四邊形EFGH的面積等于平行四邊形ABCD面積的一半.

生2：可以連接HF（如圖2），于是S△EHF=S?ABFH，S△GHF=S?DCFH，所以S?EFGH=S?ABCD.

生3：這是利用了平形四邊形和三角形同底等高的原理得出了圖形面積之間的關(guān)系.

師：現(xiàn)在我們思考問題（2）.如果我們把順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)所得到的四邊形稱為“中點(diǎn)四邊形”，那么，中點(diǎn)四邊形EFGH會(huì)是什么形狀呢？

生4：從圖形上看，它像平行四邊形.

生5：在圖2中，再連接EG，可以證明HF與EG相互平分，因此中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

生6：可以連接BD，如圖3.∵EH為△ABD的中位線，∴EH∥BD且EH=BD.同理可證FG∥BD且FG=BD.于是EH∥FG且EH=FG，四邊形EFGH為平行四邊形.

師：剛才同學(xué)們經(jīng)過積極思考和熱烈討論，很好地解決了以上方案設(shè)計(jì)中的問題，還用上了兩種不同的方法來說明中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，而且兩種方法都添加了輔助線、都關(guān)注了圖形的對(duì)角線、都把新出現(xiàn)的圖形轉(zhuǎn)化成了已經(jīng)學(xué)過的圖形來研究.像這種把新問題轉(zhuǎn)化為可以利用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)來解決的“老問題”的解題方法，是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的方法.

從學(xué)生身邊的實(shí)際問題入手，可以自然地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究熱情，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考；從學(xué)生熟知的平行四邊形知識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生探究中點(diǎn)四邊形與原圖形之間的面積關(guān)系，在這個(gè)過程中學(xué)生很自然地用到了已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形的性質(zhì)和判定定理，并由此過渡到了對(duì)中點(diǎn)四邊形形狀的探究.由此可見，問題1的呈現(xiàn)是有充分效度的.

二、問題變式有梯度

按照?qǐng)D形變式的思路，以“平行四邊形→矩形→菱形→正方形”為主線設(shè)計(jì)一組變式題，這是從一般到特殊，問題逐層深入，可以讓學(xué)生逐漸認(rèn)清“改變?cè)倪呅蔚男螤?，其?duì)應(yīng)的中點(diǎn)四邊形形狀也會(huì)發(fā)生相應(yīng)改變”這個(gè)事實(shí).

變式1：如圖4，若E、F、G、H分別為矩形ABCD四條邊的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

變式2：如圖5，若E、F、G、H分別為菱形ABCD四條邊的中點(diǎn)，請(qǐng)說明中點(diǎn)四邊形EFGH兩條對(duì)角線的關(guān)系.

變式3：如圖6，若E、F、G、H分別為正方形ABCD四條邊的中點(diǎn)，且AB=4cm，請(qǐng)判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并求出四邊形EFGH的周長和面積.

通過對(duì)以上幾個(gè)特殊四邊形的探究（教學(xué)過程略），我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)原四邊形的形狀變化時(shí)，其中點(diǎn)四邊形的形狀也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，對(duì)應(yīng)情況如表一.

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，每一個(gè)學(xué)生都能自覺地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，積極參與討論，大膽發(fā)表見解，得出了很多有價(jià)值的結(jié)論.我們按照“平行四邊形→矩形→菱形→正方形”的主線設(shè)計(jì)三個(gè)變式題，引導(dǎo)學(xué)生從中點(diǎn)四邊形的形狀、中點(diǎn)四邊形兩條對(duì)角線的關(guān)系、中點(diǎn)四邊形的周長與面積幾個(gè)維度進(jìn)行探究，有利于學(xué)生形成研究問題的思路，順勢(shì)復(fù)習(xí)相關(guān)的特殊四邊形的知識(shí)，提高課堂效率.

三、問題開放有廣度

在變式探究的基礎(chǔ)上，問題2需要從特殊回到一般：一般四邊形的中點(diǎn)四邊形又會(huì)是什么形狀呢？決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵要素到底是什么呢？為了揭示這個(gè)本質(zhì)問題，我們把問題2設(shè)計(jì)成下面的一組開放性問題，讓學(xué)生多角度思考、探究，自主得出更能揭示問題本質(zhì)的結(jié)論即“中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系”.

問題2：已知E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn).

（1）如圖7，請(qǐng)判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

（2）如圖8，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：當(dāng)____________時(shí)，中點(diǎn)四邊形EFGH為菱形.

（3）如圖9，若中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀為矩形，則原四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該滿足的條件是___________.

（4）如圖10，若中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀為正方形，則原四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該滿足的條件是___________.

【片段實(shí)錄】

生7：可以用之前生6所說的方法，連接對(duì)角線BD，用三角形的中位線定理證出四邊形EFGH是平行四邊形.

生8：當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，中點(diǎn)四邊形EFGH為菱形；

生9：當(dāng)四邊形ABCD為等腰梯形時(shí)，中點(diǎn)四邊形EFGH也是菱形；

生10：我發(fā)現(xiàn)，只要四邊形ABCD的對(duì)角線AC=BD，它的中點(diǎn)四邊形就一定是菱形.

師：看來，決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵要素不是原四邊形的形狀，而是原四邊形兩條對(duì)角線的關(guān)系.抓住了這個(gè)本質(zhì)，問題（3）、（4）就迎刃而解了.那么，我們來總結(jié)一下，中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是——

師板書，與學(xué)生合作完成下面的表二.

問題2呈現(xiàn)的是一組開放性問題，從對(duì)特殊四邊形的探究轉(zhuǎn)化為對(duì)一般四邊形的探究，引發(fā)學(xué)生的深度思考，使學(xué)生的思考逐漸觸及問題的本質(zhì)，進(jìn)而得出本節(jié)課的核心知識(shí)——“中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系”.

四、問題拓展有深度

在問題2的基礎(chǔ)上，把問題3設(shè)計(jì)成組合圖形問題，對(duì)學(xué)生提出了更高的要求.要綜合調(diào)用相關(guān)知識(shí)，學(xué)生需要具備一定的分解、綜合與推理能力.

問題3：如圖11，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且ACBD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2……如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn.請(qǐng)完成下列問題：

（1）四邊形A2B2C2D2的形狀是___________；

（2）四邊形A3B3C3D3的形狀是___________；

（3）四邊形A5B5C5D5的周長為___________；

（4）請(qǐng)求出四邊形AnBnCnDn的面積.

問題3的探究，涉及中點(diǎn)四邊形的形狀、周長和面積三個(gè)方面，學(xué)生只有對(duì)中點(diǎn)四邊形有了全面深刻的認(rèn)識(shí)，才能在這個(gè)環(huán)節(jié)駕熟就輕.因此，問題3是本節(jié)課的升華，可以讓學(xué)生的綜合能力得到很大的提升.

從設(shè)計(jì)的角度講，問題3既是與問題1的呼應(yīng)，又是對(duì)問題1的深化；既能讓學(xué)生應(yīng)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去解決問題，又能讓問題更具挑戰(zhàn)性.對(duì)問題3的層層追問、步步探究，可以讓學(xué)生深入感受數(shù)學(xué)變化的規(guī)律與奇妙.（教學(xué)過程略）

五、問題歸納有高度

本節(jié)課的問題歸納分兩步走，一是探究過程中的即時(shí)歸納，二是探究結(jié)束的課堂總結(jié).即時(shí)歸納有利于探究結(jié)果的即時(shí)生成，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)、探究起到橋梁作用；課堂總結(jié)采用網(wǎng)絡(luò)圖的形式，對(duì)本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行提煉概括，可以起到畫龍點(diǎn)睛的作用.

總結(jié)環(huán)節(jié)由學(xué)生唱主角，讓學(xué)生談?wù)剬?duì)這節(jié)課的收獲和體會(huì)，教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行整理，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法兩個(gè)視角得出如下網(wǎng)絡(luò)圖，充分體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.（教學(xué)過程略）

本節(jié)課緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置了三個(gè)問題讓學(xué)生探究，每個(gè)問題中都設(shè)置了相應(yīng)的題組，各題之間相互銜接，層層深入，突出了教學(xué)重點(diǎn)，突破了教學(xué)難點(diǎn)，把變式教學(xué)的思想“知識(shí)呈現(xiàn)問題化，問題呈現(xiàn)系列化，問題變式層次化，問題解決方法化”落到了實(shí)處.教師注重學(xué)生的探索過程，讓學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證，對(duì)學(xué)生在探究過程中的即時(shí)生成給予充分關(guān)注，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主歸納、概括出自己的發(fā)現(xiàn).課堂中，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下自始至終處于積極思維、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)狀態(tài)，在主動(dòng)探究、自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)和規(guī)律的過程中深切體會(huì)到了參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂趣.本節(jié)課在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的合作交流中圓滿完成了教學(xué)任務(wù).

（責(zé)編 白聰敏）