李時(shí)敏,鄭健松

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 廣州,510320)

一類分段光滑廣義Lienard微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支

李時(shí)敏,鄭健松

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 廣州,510320)

文章考慮一類分段光滑廣義Lienard微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題。利用一階平均法,得到了該系統(tǒng)從中心的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)。結(jié)果部分解決了J.Llibre在文[5]中所提出的猜想。

極限環(huán);Lienard微分系統(tǒng);分段光滑微分系統(tǒng);平均法

1 引言及主要結(jié)果

1900年,在法國巴黎召開的第二屆數(shù)學(xué)家大會(huì)上,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問題,其中第16個(gè)問題的后半部分就是考慮平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)及其分布問題[1]。由于該問題十分困難,Smale[2]僅考慮平面Lienard微分系統(tǒng),并將其列為21世紀(jì)需要解決的重要問題之一。

近年來,隨著對(duì)現(xiàn)實(shí)世界認(rèn)識(shí)的日益深刻,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)刻畫現(xiàn)實(shí)物理現(xiàn)象的許多函數(shù)都是分段光滑的。即整個(gè)物理過程被某些瞬時(shí)事件分割成若干部分,而在這些若干部分一般又是由不同的光滑函數(shù)來刻畫。例如,含有開關(guān)裝置的電路在開關(guān)打開和閉合時(shí)一般對(duì)應(yīng)不同的電路方程。 因此,越來越多的數(shù)學(xué)工作者開始研究分段光滑微分系統(tǒng)的分支問題[3,4]。

文[5]中考慮了如下分段光滑廣義Lienard微分系統(tǒng):

(1)

其中

在文[5]的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步討論系統(tǒng)(1)從原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)問題。 我們的結(jié)果如下:

(I) 若fn(x)≠0,則

H(1,n,m)=[n/2)]+[m/2]+1;H(3,n,m)=[n/2]+[m/2];H(5,n,m)=[n/2]+[m/2]-1;

H(2,n,m)=H(4,n,m)=H(6,n,m)=max{[n/2],[m/2]-1}.

(II) 若fn(x)≡0,則

H(3,0,m)=[(m-2)/2];H(4,0,m)=[(m-3)/2];H(5,0,m)=[(m-4)/2];H(6,0,m)=[(m-5)/2]。

注記2 在結(jié)論(1)中,我們得到了系統(tǒng)(1)從原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的上確界。而文[5]中得到的僅是極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界。

文[6]中考慮了系統(tǒng)(1)當(dāng)fn(x)≡0的情形,他們證明了H(0,0,m)=[(m-1)/2]，H(1,0,m)=[m/2],H(2,0,m)=[(m-1)/2]。并且猜測H(l,0,m)=[(m+1-l)/2].我們的結(jié)論(II)表明[6]中當(dāng)l=3,4,5,6時(shí)的猜想是正確的。此外，文[7-9]對(duì)系統(tǒng)(1)的某些特殊情形進(jìn)行了討論。

2 分段光滑微分系統(tǒng)的一階平均法

本節(jié)我們給出文[10]中介紹的分段光滑微分方程的一階平均法。有關(guān)平均法理論的一般介紹,可以參考專著[11]。

考慮分段光滑微分方程

(3)

其中

F(θ,r)=F1(θ,r)+sign(h(θ,r))F2(θ,r),

G(θ,r,ε)=G1(θ,r,ε)+sign(h(θ,r))

G2(θ,r,ε)。

(4)

假設(shè)連續(xù)函數(shù)F1,F2:×D→,G1,G2:×D×(-ε0,ε0)→,h:×D→均為關(guān)于變量θ為2π的周期函數(shù)。 sign(u)為符號(hào)函數(shù),即:

此外,假設(shè)h∈C1,并以0為正則值。記M=h-1(0),Σ={0}×D?Μ,Σ0=ΣΜ≠?,Σ0中的元素z?(0,z)?Μ.定義方程(3)的一階平均函數(shù)f:D→如下:

(5)

定理3 假設(shè)分段光滑微分方程(3)滿足以下條件:

(ⅰ)F1,F2,R1,R2和h關(guān)于r滿足局部Lipschitz條件。

(ⅲ)當(dāng)?h/?θ≠0,則?h/?θ≠0;當(dāng)?h/?θ≡0,則〈▽rh,F1〉2-〈▽rh,F2〉2>0,其中▽rh為函數(shù)h關(guān)于r的梯度。

則系統(tǒng)(3)當(dāng)|ε|>0充分小,存在一個(gè)周期為2π的解r(θ,ε),使得當(dāng)ε→0時(shí),r(0,ε)→a(在Hausdorff度量意義下)。

定理3的假設(shè)(ⅱ)可以利用下面的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

注記4 [12]假設(shè)f:D→是C1函數(shù),a∈D。若Jf(a)≠0,且存在a的鄰域V,對(duì)所有的有f(r)≠0.則dB(f,V,0)≠0。

由定理3 和注記4 可知,微分方程(3)的極限環(huán)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于平均函數(shù)(5)的簡單零點(diǎn)個(gè)數(shù)。 下面我們開始推導(dǎo)平均函數(shù)(5)的具體表達(dá)式。

3 平均函數(shù)

作極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈(0,2π)。當(dāng)|ε|>0充分小,我們可將分段光滑微分系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換成等價(jià)微分方程

(6)

其中

(7)

將(7)代入一階平均函數(shù)(5),得到

(8)

其中

sinθcosjθdθ.

(9)

顯然A2i+1=0,i=0,1,2,….平均函數(shù)(8)可以表示為:

(10)

通過文[5]中的推導(dǎo),我們得到分段光滑微分系統(tǒng)(1)的一階平均函數(shù)如下:

命題5 考慮分段光滑Lienard微分系統(tǒng)(1)。

(Ⅰ)若fn(x)≠0,則一階平均函數(shù)(10)為

(11)

(Ⅱ)若fn(x)≡0,則平均函數(shù)(10)為

(12)

其中

4 定理1的證明

下面的引理給出了估計(jì)函數(shù)簡單零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:

引理6[13].假設(shè)fi:U→,i=0,1,…,p+1為p+1個(gè)線性無關(guān)的解析函數(shù),其中U∈為開區(qū)間。 若存在某個(gè)fi在U上恒不為零,則在區(qū)間U上至少有p個(gè)簡單零點(diǎn),其中ci,i=1,2,…,p+1為相互獨(dú)立的系數(shù)。

定理1的證明:首先考慮情形(Ⅰ),即f(x)≠0的情況。

由命題5可知:

類似可證H(4,n,m)=H(6,n,m)=max{[n/2],[(m-1)/2]}。

下面我們考慮情形(II)。即fn(x)≡0的情形。

B0=0,B2j≠0,j=1,2,…,[m/2].由(12)式可知，平均函數(shù)f(r)是[m/2]個(gè)線性無關(guān)的解析函數(shù)r2,r4,…,r2[m/2]的線性組合。由于bj相互獨(dú)立,從而系數(shù)B2j,j=1,2,…[m/2]可以任意選取。根據(jù)引理6,我們有H(3,n,m)=[(m-2)/2]。

B1=0,B2j+1≠0,j=1,2,…,[(m-1)/2].由(12)式可知，平均函數(shù)f(r)是[(m-1)/2]個(gè)線性無關(guān)的解析函數(shù)r3,r5,…,r2[(m-1)/2]+1的線性組合。由于bj相互獨(dú)立,從而系數(shù)B2j+1,j=1,2,…[(m-1)/2]可以任意選取。根據(jù)引理6,我們有H(4,n,m)=[(m-3)/2]。

B0=B2=0,B2j≠0,j=2,…,[m/2].由(12)式可知，平均函數(shù)f(r)是[m/2]-1個(gè)線性無關(guān)的解析函數(shù)r4,r6,…,r2[m/2]的線性組合。由于bj相互獨(dú)立,從而系數(shù)B2j,j=2,3,…[m/2]可以任意選取。根據(jù)引理6,我們有H(5,n,m)=[(m-4)/2]。

B1=B3=0,B2j+1≠0,j=2,3,…,[(m-1)/2].由(12)式可知，平均函數(shù)f(r)是[(m-3)/2]個(gè)線性無關(guān)的解析函數(shù)r5,r7,…,r2[(m-1)/2]+1的線性組合。由于bj相互獨(dú)立,從而系數(shù)B2j+1,j=2,3,…[(m-1)/2]可以任意選取。根據(jù)引理6,我們有H(6,n,m)=[(m-5)/2]。

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Bifurcation of limit cycles for a class of discontinuous generalized Lienard differential system

LI Shimin,ZHENG Jiansong

(School of Mathematics and Statistics,Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320,China)

This paper deals with the limit cycle bifurcation for a class of piecewise generalized Lienard differential systems.Using the first order averaging method for piecewise smooth differential system,we obtain the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of the center for the unperturbed system.Our result partially solved the conjecture which state in the paper[5].

limit cycle;lienard differential system;piecewise smooth differential system;averaging method.

1672-7010(2016)04-0011-05

2016-09-20

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401111)

李時(shí)敏(1983-),男,湖南岳陽人,副教授,博士,從事微分方程理論及其應(yīng)用研究,E-mail:lism1983@126.com

O175.1

A