周鐵軍，向美紅，劉迎媛

(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410128)

具有非單調(diào)功能響應(yīng)及階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食與被捕食系統(tǒng)的概周期性

周鐵軍，向美紅，劉迎媛

(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410128)

研究一類捕食者和被捕食者都具有階段結(jié)構(gòu),功能響應(yīng)是非單調(diào)函數(shù)的時(shí)滯捕食與被捕食系統(tǒng)的概周期性，利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了系統(tǒng)存在概周期解的條件。

概周期解;捕食與被捕食;階段結(jié)構(gòu);非單調(diào)功能響應(yīng)

種群動(dòng)力學(xué)中“群體防御”的現(xiàn)象表明，捕食者功能響應(yīng)函數(shù)也可能不是關(guān)于食餌單調(diào)增加的。為了描述這種現(xiàn)象，Andrews提出了Holling-IV 類功能響應(yīng)函數(shù)[1]，這是一種非單調(diào)的函數(shù)。文獻(xiàn)[2-4]研究了Holling-IV 類的功能響應(yīng)函數(shù)捕食與被捕食系統(tǒng)的持久生存性、全局吸引性及周期性等問題。種群動(dòng)力學(xué)研究中還有一種比較合理的研究思路是考慮種群的差異，建立階段結(jié)構(gòu)模型[5-7]。自上個(gè)世紀(jì)20年代丹麥物理學(xué)家H.Bohr 提出概周期函數(shù)的理論以來，該理論就一直被廣泛應(yīng)用在常微分方程、時(shí)滯微分方程等領(lǐng)域。目前綜合考慮具有階段結(jié)構(gòu)、Holling-IV類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食與被捕食模型，其研究結(jié)果還不多見[8,9]。本文針對(duì)此類模型研究它的概周期解的存在性。

1 模型與引理

我們?cè)赱9]中提出了如下形式的捕食與被捕食者模型并研究了(1)的持久生存問題:

其中x1(t)與x2(t)分別表示幼年和成年被捕食者在時(shí)刻t的密度，y1(t)與y2(t)分別表示幼年和成年捕食者在時(shí)刻t的密度，功能反應(yīng)取如下形式的Holling-IV型函數(shù)

另外假設(shè)方程(1)的初始條件為:

x1(θ)=γ(θ)≥0,x2(θ)=η(θ)≥0，y1(θ)=μ(θ)≥0,y2(θ)=ν(θ)≥0，θ∈[-τ,0].其中τ=max(τ1,τ2)，γ,η,μ,ν是[-τ,0]連續(xù)的概周期函數(shù)。

關(guān)于系統(tǒng)(1)持久性有如下結(jié)論(文獻(xiàn)[9]定理1):

定理A 假設(shè)

則系統(tǒng)(1)是持久生存的。

系統(tǒng)(1)具有持久生存性，說明存在正數(shù)mi,ni,Mi,Ni(i=1,2)(其計(jì)算式見文獻(xiàn)[9])使得

其中

另外我們列出指數(shù)二分性和概周期解存在性結(jié)論如下[10]。

定義1 設(shè)x∈n，Q(t)為定義在上的矩陣,下列線性系統(tǒng)

x′(t)=Q(t)x(t)，

(2)

‖X(t)PX-1(s)‖≤ke-α(t-s),t≥s,

‖X(t)(I-P)X-1(s)‖≤ke-α(t-s),t≤s.

則稱該系統(tǒng)在R上具有指數(shù)二分性。

引理1 若線性系統(tǒng)(2)具有指數(shù)二分性,則下列概周期系統(tǒng)

x′(t)=Q(t)x+g(t)

有唯一的概周期解且

(3)

引理2 假設(shè)ci(t)是R上的概周期函數(shù)，且

在R上具有指數(shù)二分性。

2 系統(tǒng)概周期解的存在性

定義B={(φ,ψ)|φ,ψ是上的概周期函數(shù))}，對(duì)于任意的(φ,ψ)∈B,如果定義范數(shù)‖(φ,ψ)‖B=supt∈max{|φ(t)|,|ψ(t)|}，那么B是Banach空間。

系統(tǒng)(1)中第2和第4個(gè)方程不含x1(t)及y1(t),所以我們考慮它的如下子系統(tǒng)

該子系統(tǒng)初始條件滿足:x2(θ)=η(θ)≥0，y2(θ)=ν(θ)≥0，θ∈[-τ,0]。

也是概周期的。

根據(jù)系統(tǒng)(1)再考慮如下2 個(gè)概周期線性微分方程:

(5)

(6)

在系統(tǒng)(1)的初始條件下，方程(5)有唯一解

同理，方程(6) 有唯一解

若系統(tǒng)(1) 初始條件滿足:

則從(7) 、(8) 知，方程(5) 有唯一概周期解

同理，方程(6) 有唯一概周期解

證明根據(jù)前面的分析，我們只要證明子系統(tǒng)( 4) 存在概周期解即可。對(duì)于任一φ= (φ，ψ)∈B 考察如下方程組

因?yàn)镸[d]>0，M[β2]>0，由引理2 知下列線性微分方程組具有指數(shù)二分性，

由引理1 知系統(tǒng)( 11) 有一個(gè)概周期解

再由條件

可得

下面考慮如下系統(tǒng):

則由系統(tǒng)(14)可得

根據(jù)比較原理，可得

于是得

因此T是B*到B*上的連續(xù)自映射。于是，根據(jù)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，算子T至少存在一個(gè)不支點(diǎn)φ∈B*,使得T(φ)=φ,從而φ=(φ,ψ)是系統(tǒng)(4)的一個(gè)概周期解。因此系統(tǒng)(1)也具有相應(yīng)的正的概周期解。

3 結(jié)論

本文在系統(tǒng)具有持久性的條件下通過構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的自映射由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)至少存在一個(gè)概周期解的條件。當(dāng)然，如果能夠證明該映射還是壓縮映射，則可以進(jìn)一步證明該系統(tǒng)的概周期解是唯一的，但系統(tǒng)較為復(fù)雜，有待以后進(jìn)一步的研究。

[1]John F.Andrews.A mathematical model for the continuous culture of microorganisms utilizing inhibitory substrates[J].Biotechnology and Bioengineering,1968,10(6):707-723.

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[3] 王守和,魏鳳英.具有IV類功能反應(yīng)和無窮時(shí)滯的捕食系統(tǒng)的持久性和全局吸引性[J],吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,2:63-66,72.

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[5] P.Georgescu,Y.Hsieh.Global dynamics of a predator-prey model with stage structure for the predator[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2007,67(5):1379-1395.

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[7] C.Liu,Q.Zhang,Y.Zhang,et al.Bifurcation and control in a differential-algebraic harvested prey-predator model with stage structure for predator[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2008,18(10):3159-3168.

[8] Y,Liu,X.Zhang,T.Zhou.Multiple periodic solutions of a delayed predator-prey model with non-monotonic functional response and stage structure[J],Journal of Biological Dynamics,2014,8(1):145-160.

[9] 劉迎媛，周鐵軍.具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食與被捕食系統(tǒng)的持久性[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,27(2):10-13.

[10] 何崇佑.概周期微分方程[M].北京:高等教育出版社,1992.

Almost periodicity of a delayed predator-prey system with stage structure and non-monotonous functional response

ZHOU Tiejun,XIANG Meihong,LIU Yingyuan

(College of Science,Hunan Agricultural University,Changsha 410128,China)

The almost periodicity of a delayed predator-prey system with stage structure for both predator and prey,and with non-monotonous functional response is studied.Based on Brouwer fixed point Theorem,some sufficient conditions are obtained for the existence of an almost periodic solution of the system.

almost periodicity;predator-prey;stage structure;non-monotonous functional response

1672-7010(2016)04-0005-06

2016-09-20

湖南省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015JC3101)；湖南省研究生創(chuàng)新培養(yǎng)專項(xiàng)(CX2015B265)

周鐵軍(1965-)，男，湖南汨羅人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事生物數(shù)學(xué)的研究

O175.1

A