王創(chuàng)業(yè)，王洪麒

(內蒙古科技大學 礦業(yè)研究院，內蒙古 包頭 014000)

基于改進Harris函數的砂巖損傷本構模型研究

王創(chuàng)業(yè)，王洪麒

(內蒙古科技大學 礦業(yè)研究院，內蒙古 包頭 014000)

巖石損傷量在巖石損傷的過程中是個動態(tài)變化量，通過改進Harris函數，建立了在三維應力作用下巖石損傷本構模型，并通過砂巖的三軸試驗確定了模型參數，定性分析了圍壓、臨界損傷值、峰值應變三者間的關系。研究結果表明：①基于改進的Harris函數所建立的砂巖損傷本構模型曲線與實測曲線擬合較好，有良好的適用性；②同一種巖石在不同圍壓下，臨界損傷值不是固定值，它從側面反映出巖石自身的力學性能與巖石所處的三維應力狀態(tài)有關；③圍壓增大，臨界損傷值也相應地增大，證明圍壓對巖石的破壞有抑制作用。分析結果對研究三維應力狀態(tài)下巖石的損傷破壞機理有一定借鑒意義。

巖石損傷；本構模型；改進Harris函數；臨界損傷值；圍壓

1 研究背景

巖石作為一種非均質的天然材料，在各種外界載荷和環(huán)境的長期作用下，內部產生了大量的微裂紋。這些大小不等的微裂紋及裂隙的存在，大大改變了巖石的力學性質。在外界荷載作用下，這些裂隙將擴展、貫通，進而使巖石發(fā)生破壞。巖石破壞的過程就是內部巖石損傷不斷積累的過程，因此，損傷力學是研究巖石破裂過程的有效方法。自Krajcinovic等[1-2]將連續(xù)損傷理論與統(tǒng)計強度理論有機結合提出損傷模型以來，人們對巖石破裂損傷過程本構關系有了快速的認識。許多學者均在這方面進行了研究，如曹文貴等[3-5]認為，巖石微元強度服從Weibull分布，以此可建立巖石損傷本構模型，但Weibull統(tǒng)計理論不適于準脆性材料[6]。牛傳星等[7]對溫度循環(huán)周期作用下巖石損傷特性進行了試驗研究，尤明慶[8]認為巖石微元強度服從正態(tài)分布，以此來建立巖石損傷統(tǒng)計本構模型。但在正態(tài)分布模型中，巖石強度和參數有可能出現負值，這與事實不符。因此，本文首先在現有研究的基礎上，假定巖石微元強度概率密度服從改進的Harris函數，由此建立了基于改進Harris分布的巖石損傷本構模型；其次通過砂巖試驗曲線對模型進行驗證；最后針對模型曲線，討論并定性分析了臨界損傷值、峰值應變、圍壓三者之間的關系。

2 巖石損傷本構模型的建立

2.1 損傷量的確定

根據Lemaitre應變等價性假說，巖石損傷本構模型的基本關系式可表達為[1]

(1)

式中：E，ε，σ分別為無損傷巖石的彈性模量、應變量和應力；D為巖石的損傷量。由此可以看出，建立巖石損傷本構關系的關鍵在于損傷量D的確定。

眾所周知，Harris函數是一種著名的衰減型函數模型，其表達式為

(2)

式中：f為自變量；S為因變量；a，b為>0的模型參數。

由式(2)可以看出，當f=0時，S=1；當f→∞時，S→0。而由巖石損傷理論可知，式(2)所描述的函數變化規(guī)律與巖石損傷量的變化規(guī)律正好相反。因此，對式(2)進行了改進，改進后見式(3)。

(3)

式中：F為巖石微元強度隨機分布變量；a，b為模型參數。當F越大時，巖石損傷量D越接近于1，巖石的損傷就越大；當F→0時，巖石損傷D→0，此時的巖石材料接近于無損材料。

2.2 巖石損傷方程的建立及微元強度的確定

將式(3)代入式(1)得

(4)

式(4)為單軸壓縮下巖石材料的損傷本構模型，三軸巖石的情形就必須考慮主應力σ2和σ3的作用。因此可得到三軸壓力下巖石材料的損傷本構方程，即

(5)

式中μ為巖石材料的泊松比。

由假三軸實驗的實際條件可得σ2=σ3，據此把式(5)變換可得

(6)

曹文貴等[9]以Mohr-Coulomb準則建立巖石微元強度，更加符合工程實際，在Mohr-Coulomb準則中， 巖石微元強度可表示為

(7)

式中φ為巖石的內摩擦角。

2.3 臨界損傷值的定義

從式(3)可以看出，當損傷量D=1時，巖石完全失去承載力，實際上，巖石破壞時D還遠<1。因此，這里定義：當巖石受壓達到破壞時,抗壓強度σc對應損傷量為臨界損傷值Dc。

2.4 模型參數的確定

對式(6)進行變形，可得

(8)

y=bx+A 。

(9)

用實測實驗數據[10]，根據式(9)進行擬合，即可得到模型參數及模型曲線，分別見表1及圖1。

表1 不同圍壓下模型參數計算結果

Table 1 Calculation results of model parameters under different confining pressures

圍壓σ3/MPaAb圍壓σ3/MPaAb51．01760．37151．02230．48101．10180．39201．02460．52

圖1 砂巖在不同圍壓下試驗曲線與模型曲線的比較Fig.1 Comparison between test curves and model curves under different confining pressures

由圖1看出，利用本文建立的砂巖損傷本構模型曲線與試驗曲線有良好的一致性，特別是在峰前，模型曲線和試驗曲線有較好的吻合性，可以很好地模擬砂巖破裂過程的應力-應變曲線關系，說明該模型是合理的。由此可見，本文推導出的砂石損傷本構模型有以下特點：①在峰值應力前，能充分反映巖石彈性特性與強度隨應力狀態(tài)變化的特征；②選用合適的微元強度表達式，能夠得到符合實際的砂巖損傷本構模型。

3 圍壓、峰值應變、臨界損傷值三者之間關系分析與探討

3.1 臨界損傷值與圍壓的關系

由式(3)、式(6)可以計算出，在不同圍壓下的臨界損傷值，計算結果見表2。

表2 砂巖的力學參數及臨界損傷值

Table 2 Mechanical parameters and critical damage values of sandstone

圍壓σ3/MPaεc/10-3σc/MPaDc57．0339．060．75108．4355．800．79159．4162．980．812010．4366．620．85

圖2 臨界損傷值與圍壓的關系Fig.2 Curve of critical damage value vs. confining pressure

εc為峰值應力σc對應的峰值應變，Dc可以作為表征巖石破壞與否的參數。圖2給出了在不同圍壓下，砂巖的臨界損傷值與圍壓的關系，從圖2中可以看出，臨界損傷值與圍壓呈良好的線性關系。對其進行線性擬合，擬合出的公式為Dc=0.006 4σ3+0.72，線性相關性系數為R2=0.977。|R|=0.988>0.950，R在α=0.05水平上顯著，σ3與Dc在α=0.05水平上線性關系顯著，由此可見擬合效果良好。進一步分析可知，當圍壓為0 MPa時，臨界損傷值為0.72。因此，砂巖單軸壓縮下的臨界損傷值為0.72。當圍壓增大，砂巖的臨界損傷值與抗壓強度相應增大；隨著圍壓繼續(xù)增大，砂巖臨界損傷值有可能趨近于某一個固定值(由于4組試驗數據較少，尚不能確定臨界損傷值何時趨于穩(wěn)定并且趨于何值)，說明圍壓對臨界損傷值與抗壓強度有貢獻。

圖3 峰值應變與圍壓的關系Fig.3 Curve of peak strain vs. confining pressure

3.2 峰值應變與圍壓的關系

圖3是峰值應變與圍壓的關系圖，可以看出，峰值應變與圍壓有良好的線性關系，對其進行線性擬合，擬合的公式為εc=0.24σ3+6.029，線性相關性系數為R2=0.989。|R|=0.994>0.990，R在α=0.01水平上顯著，σ3與εc在α=0.01水平上線性關系顯著?？梢钥闯?，擬合效果良好。

分析可知，當圍壓為0時，巖石在單軸壓縮下的峰值應變?yōu)?.029×10-3。當圍壓增大后，相對應的峰值應變也變大。這是因為圍壓改變了砂巖的三維應力狀態(tài)

3.3 臨界損傷值與峰值應變的關系

圖4 臨界損傷值與峰值應變的關系Fig.4 Curve of critical damage value vs. peak strain

圖4反映了臨界損傷值與峰值應變εc的關系。圖4可知，臨界損傷值與峰值應變有較好的線性關系，對其進行線性擬合，擬合公式為Dc=0.000 285εc+0.55，線性相關性系數為R2=0.982，|R|=0.991>0.990，R在α=0.01水平上顯著，εc與Dc在α=0.01水平上線性關系顯著。由此可見，擬合效果良好。從臨界損傷值定義可知，峰值應力對應下的累計損傷量為臨界損傷值，所以臨界損傷值與圍壓呈正相關關系，而圍壓與峰值應變呈正相關關系，所以臨界損傷值與峰值應變呈正相關關系。

4 結 論

(1) 通過改進Harris函數，建立了巖石損傷本構方程，本文所得模型曲線較好地接近實測曲線，有良好的適用性。

(2) 同一種巖石在不同圍壓下，臨界損傷值不是固定值，它從側面反映出巖石自身的力學性能與巖巖石所處的三維應力狀態(tài)有關。由計算結果可知，在三維高應力狀態(tài)時，巖石臨界損傷值高于三維低應力狀態(tài)。所以，在用臨界損傷值來判定巖石的強度時，應考慮巖石所處的三維應力狀態(tài)。

(3) 由臨界損傷值與圍壓關系圖可以看出，圍壓增大，臨界損傷值也相應地變大，也就是圍壓對巖石的破壞有抑制作用。

(4) 由已有的實驗數據可知，當在某一區(qū)間內，臨界損傷值、圍壓、峰值應變兩兩之間呈線性關系，而三者間的準確關系尚需要大量實驗來驗證。

[1] KRAJCINOVIC D， SILVA M A G． Statistical Aspects of the Continuous Damage Theory[J].International Journal of Solids and Structures，1982，18(7)：551-562.

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(編輯：羅 娟)

Constitutive Model of Sandstone Damage Based onImproved Harris Function

WANG Chuang-ye，WANG Hong-qi

(Institute of Mining，Inner Mongolia University of Technology，Baotou 014000，China)

The damage value of rock changes dynamically in the process of rock damage. By improving the Harris function，a damage constitutive model of rock under three-dimensional stress is established，and the parameters of the model are determined through triaxial test on sandstone. The relationships among confining pressure，critical damage value，and peak strain are analyzed qualitatively. Research results show that: 1) the model curve of sandstone’s damage constitutive model based on improved Harris function is well fitted with the measured curve，and has good applicability；2) the critical damage value is not a fixed value for the same kind of rock under different confining pressures，indicating that the mechanical properties of rock are related to its three dimensional stress state；3) the critical damage value increases correspondingly when confining pressure increases, which proves that confining pressure has a restraining effect on rock damage. The analysis results have a certain reference significance for the study of damage mechanism of rock under three-dimensional stress condition.

damage of rock；constitutive model；improved Harris function；critical damage value；confining pressure

2015-09-10；

2015-12-17

國家自然科學基金項目(51464036，51564038);科技部“十二五”國家科技支撐計劃項目(2012BAC10B03)

王創(chuàng)業(yè)(1976-)，男，山西臨猗人，副教授，碩士，主要從事采礦和巖石力學方面的工作，(電話)13884264824(電子信箱)btwangcy@126.com。

王洪麒(1990-)，男，貴州遵義人，碩士研究生，主要從事采礦和巖石力學方面的工作，(電話)15184794795(電子信箱)346837829@qq.com。

10.11988/ckyyb.20150761

2016,33(12):91-93，104

TU458.4

A

1001-5485(2016)12-0091-03