王創(chuàng)業(yè)，王洪麒

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 礦業(yè)研究院，內(nèi)蒙古 包頭 014000)

基于改進(jìn)Harris函數(shù)的砂巖損傷本構(gòu)模型研究

王創(chuàng)業(yè)，王洪麒

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 礦業(yè)研究院，內(nèi)蒙古 包頭 014000)

巖石損傷量在巖石損傷的過(guò)程中是個(gè)動(dòng)態(tài)變化量，通過(guò)改進(jìn)Harris函數(shù)，建立了在三維應(yīng)力作用下巖石損傷本構(gòu)模型，并通過(guò)砂巖的三軸試驗(yàn)確定了模型參數(shù)，定性分析了圍壓、臨界損傷值、峰值應(yīng)變?nèi)唛g的關(guān)系。研究結(jié)果表明：①基于改進(jìn)的Harris函數(shù)所建立的砂巖損傷本構(gòu)模型曲線與實(shí)測(cè)曲線擬合較好，有良好的適用性；②同一種巖石在不同圍壓下，臨界損傷值不是固定值，它從側(cè)面反映出巖石自身的力學(xué)性能與巖石所處的三維應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)；③圍壓增大，臨界損傷值也相應(yīng)地增大，證明圍壓對(duì)巖石的破壞有抑制作用。分析結(jié)果對(duì)研究三維應(yīng)力狀態(tài)下巖石的損傷破壞機(jī)理有一定借鑒意義。

巖石損傷；本構(gòu)模型；改進(jìn)Harris函數(shù)；臨界損傷值；圍壓

1 研究背景

巖石作為一種非均質(zhì)的天然材料，在各種外界載荷和環(huán)境的長(zhǎng)期作用下，內(nèi)部產(chǎn)生了大量的微裂紋。這些大小不等的微裂紋及裂隙的存在，大大改變了巖石的力學(xué)性質(zhì)。在外界荷載作用下，這些裂隙將擴(kuò)展、貫通，進(jìn)而使巖石發(fā)生破壞。巖石破壞的過(guò)程就是內(nèi)部巖石損傷不斷積累的過(guò)程，因此，損傷力學(xué)是研究巖石破裂過(guò)程的有效方法。自Krajcinovic等[1-2]將連續(xù)損傷理論與統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論有機(jī)結(jié)合提出損傷模型以來(lái)，人們對(duì)巖石破裂損傷過(guò)程本構(gòu)關(guān)系有了快速的認(rèn)識(shí)。許多學(xué)者均在這方面進(jìn)行了研究，如曹文貴等[3-5]認(rèn)為，巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布，以此可建立巖石損傷本構(gòu)模型，但Weibull統(tǒng)計(jì)理論不適于準(zhǔn)脆性材料[6]。牛傳星等[7]對(duì)溫度循環(huán)周期作用下巖石損傷特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，尤明慶[8]認(rèn)為巖石微元強(qiáng)度服從正態(tài)分布，以此來(lái)建立巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。但在正態(tài)分布模型中，巖石強(qiáng)度和參數(shù)有可能出現(xiàn)負(fù)值，這與事實(shí)不符。因此，本文首先在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，假定巖石微元強(qiáng)度概率密度服從改進(jìn)的Harris函數(shù)，由此建立了基于改進(jìn)Harris分布的巖石損傷本構(gòu)模型；其次通過(guò)砂巖試驗(yàn)曲線對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證；最后針對(duì)模型曲線，討論并定性分析了臨界損傷值、峰值應(yīng)變、圍壓三者之間的關(guān)系。

2 巖石損傷本構(gòu)模型的建立

2.1 損傷量的確定

根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等價(jià)性假說(shuō)，巖石損傷本構(gòu)模型的基本關(guān)系式可表達(dá)為[1]

(1)

式中：E，ε，σ分別為無(wú)損傷巖石的彈性模量、應(yīng)變量和應(yīng)力；D為巖石的損傷量。由此可以看出，建立巖石損傷本構(gòu)關(guān)系的關(guān)鍵在于損傷量D的確定。

眾所周知，Harris函數(shù)是一種著名的衰減型函數(shù)模型，其表達(dá)式為

(2)

式中：f為自變量；S為因變量；a，b為>0的模型參數(shù)。

由式(2)可以看出，當(dāng)f=0時(shí)，S=1；當(dāng)f→∞時(shí)，S→0。而由巖石損傷理論可知，式(2)所描述的函數(shù)變化規(guī)律與巖石損傷量的變化規(guī)律正好相反。因此，對(duì)式(2)進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)后見(jiàn)式(3)。

(3)

式中：F為巖石微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量；a，b為模型參數(shù)。當(dāng)F越大時(shí)，巖石損傷量D越接近于1，巖石的損傷就越大；當(dāng)F→0時(shí)，巖石損傷D→0，此時(shí)的巖石材料接近于無(wú)損材料。

2.2 巖石損傷方程的建立及微元強(qiáng)度的確定

將式(3)代入式(1)得

(4)

式(4)為單軸壓縮下巖石材料的損傷本構(gòu)模型，三軸巖石的情形就必須考慮主應(yīng)力σ2和σ3的作用。因此可得到三軸壓力下巖石材料的損傷本構(gòu)方程，即

(5)

式中μ為巖石材料的泊松比。

由假三軸實(shí)驗(yàn)的實(shí)際條件可得σ2=σ3，據(jù)此把式(5)變換可得

(6)

曹文貴等[9]以Mohr-Coulomb準(zhǔn)則建立巖石微元強(qiáng)度，更加符合工程實(shí)際，在Mohr-Coulomb準(zhǔn)則中， 巖石微元強(qiáng)度可表示為

(7)

式中φ為巖石的內(nèi)摩擦角。

2.3 臨界損傷值的定義

從式(3)可以看出，當(dāng)損傷量D=1時(shí)，巖石完全失去承載力，實(shí)際上，巖石破壞時(shí)D還遠(yuǎn)<1。因此，這里定義：當(dāng)巖石受壓達(dá)到破壞時(shí),抗壓強(qiáng)度σc對(duì)應(yīng)損傷量為臨界損傷值Dc。

2.4 模型參數(shù)的確定

對(duì)式(6)進(jìn)行變形，可得

(8)

y=bx+A 。

(9)

用實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[10]，根據(jù)式(9)進(jìn)行擬合，即可得到模型參數(shù)及模型曲線，分別見(jiàn)表1及圖1。

表1 不同圍壓下模型參數(shù)計(jì)算結(jié)果

Table 1 Calculation results of model parameters under different confining pressures

圍壓σ3/MPaAb圍壓σ3/MPaAb51．01760．37151．02230．48101．10180．39201．02460．52

圖1 砂巖在不同圍壓下試驗(yàn)曲線與模型曲線的比較Fig.1 Comparison between test curves and model curves under different confining pressures

由圖1看出，利用本文建立的砂巖損傷本構(gòu)模型曲線與試驗(yàn)曲線有良好的一致性，特別是在峰前，模型曲線和試驗(yàn)曲線有較好的吻合性，可以很好地模擬砂巖破裂過(guò)程的應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系，說(shuō)明該模型是合理的。由此可見(jiàn)，本文推導(dǎo)出的砂石損傷本構(gòu)模型有以下特點(diǎn)：①在峰值應(yīng)力前，能充分反映巖石彈性特性與強(qiáng)度隨應(yīng)力狀態(tài)變化的特征；②選用合適的微元強(qiáng)度表達(dá)式，能夠得到符合實(shí)際的砂巖損傷本構(gòu)模型。

3 圍壓、峰值應(yīng)變、臨界損傷值三者之間關(guān)系分析與探討

3.1 臨界損傷值與圍壓的關(guān)系

由式(3)、式(6)可以計(jì)算出，在不同圍壓下的臨界損傷值，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 砂巖的力學(xué)參數(shù)及臨界損傷值

Table 2 Mechanical parameters and critical damage values of sandstone

圍壓σ3/MPaεc/10-3σc/MPaDc57．0339．060．75108．4355．800．79159．4162．980．812010．4366．620．85

圖2 臨界損傷值與圍壓的關(guān)系Fig.2 Curve of critical damage value vs. confining pressure

εc為峰值應(yīng)力σc對(duì)應(yīng)的峰值應(yīng)變，Dc可以作為表征巖石破壞與否的參數(shù)。圖2給出了在不同圍壓下，砂巖的臨界損傷值與圍壓的關(guān)系，從圖2中可以看出，臨界損傷值與圍壓呈良好的線性關(guān)系。對(duì)其進(jìn)行線性擬合，擬合出的公式為Dc=0.006 4σ3+0.72，線性相關(guān)性系數(shù)為R2=0.977。|R|=0.988>0.950，R在α=0.05水平上顯著，σ3與Dc在α=0.05水平上線性關(guān)系顯著，由此可見(jiàn)擬合效果良好。進(jìn)一步分析可知，當(dāng)圍壓為0 MPa時(shí)，臨界損傷值為0.72。因此，砂巖單軸壓縮下的臨界損傷值為0.72。當(dāng)圍壓增大，砂巖的臨界損傷值與抗壓強(qiáng)度相應(yīng)增大；隨著圍壓繼續(xù)增大，砂巖臨界損傷值有可能趨近于某一個(gè)固定值(由于4組試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，尚不能確定臨界損傷值何時(shí)趨于穩(wěn)定并且趨于何值)，說(shuō)明圍壓對(duì)臨界損傷值與抗壓強(qiáng)度有貢獻(xiàn)。

圖3 峰值應(yīng)變與圍壓的關(guān)系Fig.3 Curve of peak strain vs. confining pressure

3.2 峰值應(yīng)變與圍壓的關(guān)系

圖3是峰值應(yīng)變與圍壓的關(guān)系圖，可以看出，峰值應(yīng)變與圍壓有良好的線性關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行線性擬合，擬合的公式為εc=0.24σ3+6.029，線性相關(guān)性系數(shù)為R2=0.989。|R|=0.994>0.990，R在α=0.01水平上顯著，σ3與εc在α=0.01水平上線性關(guān)系顯著?？梢钥闯觯瑪M合效果良好。

分析可知，當(dāng)圍壓為0時(shí)，巖石在單軸壓縮下的峰值應(yīng)變?yōu)?.029×10-3。當(dāng)圍壓增大后，相對(duì)應(yīng)的峰值應(yīng)變也變大。這是因?yàn)閲鷫焊淖兞松皫r的三維應(yīng)力狀態(tài)

3.3 臨界損傷值與峰值應(yīng)變的關(guān)系

圖4 臨界損傷值與峰值應(yīng)變的關(guān)系Fig.4 Curve of critical damage value vs. peak strain

圖4反映了臨界損傷值與峰值應(yīng)變?chǔ)與的關(guān)系。圖4可知，臨界損傷值與峰值應(yīng)變有較好的線性關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行線性擬合，擬合公式為Dc=0.000 285εc+0.55，線性相關(guān)性系數(shù)為R2=0.982，|R|=0.991>0.990，R在α=0.01水平上顯著，εc與Dc在α=0.01水平上線性關(guān)系顯著。由此可見(jiàn)，擬合效果良好。從臨界損傷值定義可知，峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)下的累計(jì)損傷量為臨界損傷值，所以臨界損傷值與圍壓呈正相關(guān)關(guān)系，而圍壓與峰值應(yīng)變呈正相關(guān)關(guān)系，所以臨界損傷值與峰值應(yīng)變呈正相關(guān)關(guān)系。

4 結(jié) 論

(1) 通過(guò)改進(jìn)Harris函數(shù)，建立了巖石損傷本構(gòu)方程，本文所得模型曲線較好地接近實(shí)測(cè)曲線，有良好的適用性。

(2) 同一種巖石在不同圍壓下，臨界損傷值不是固定值，它從側(cè)面反映出巖石自身的力學(xué)性能與巖巖石所處的三維應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。由計(jì)算結(jié)果可知，在三維高應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，巖石臨界損傷值高于三維低應(yīng)力狀態(tài)。所以，在用臨界損傷值來(lái)判定巖石的強(qiáng)度時(shí)，應(yīng)考慮巖石所處的三維應(yīng)力狀態(tài)。

(3) 由臨界損傷值與圍壓關(guān)系圖可以看出，圍壓增大，臨界損傷值也相應(yīng)地變大，也就是圍壓對(duì)巖石的破壞有抑制作用。

(4) 由已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，當(dāng)在某一區(qū)間內(nèi)，臨界損傷值、圍壓、峰值應(yīng)變兩兩之間呈線性關(guān)系，而三者間的準(zhǔn)確關(guān)系尚需要大量實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。

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(編輯：羅 娟)

Constitutive Model of Sandstone Damage Based onImproved Harris Function

WANG Chuang-ye，WANG Hong-qi

(Institute of Mining，Inner Mongolia University of Technology，Baotou 014000，China)

The damage value of rock changes dynamically in the process of rock damage. By improving the Harris function，a damage constitutive model of rock under three-dimensional stress is established，and the parameters of the model are determined through triaxial test on sandstone. The relationships among confining pressure，critical damage value，and peak strain are analyzed qualitatively. Research results show that: 1) the model curve of sandstone’s damage constitutive model based on improved Harris function is well fitted with the measured curve，and has good applicability；2) the critical damage value is not a fixed value for the same kind of rock under different confining pressures，indicating that the mechanical properties of rock are related to its three dimensional stress state；3) the critical damage value increases correspondingly when confining pressure increases, which proves that confining pressure has a restraining effect on rock damage. The analysis results have a certain reference significance for the study of damage mechanism of rock under three-dimensional stress condition.

damage of rock；constitutive model；improved Harris function；critical damage value；confining pressure

2015-09-10；

2015-12-17

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51464036，51564038);科技部“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAC10B03)

王創(chuàng)業(yè)(1976-)，男，山西臨猗人，副教授，碩士，主要從事采礦和巖石力學(xué)方面的工作，(電話)13884264824(電子信箱)btwangcy@126.com。

王洪麒(1990-)，男，貴州遵義人，碩士研究生，主要從事采礦和巖石力學(xué)方面的工作，(電話)15184794795(電子信箱)346837829@qq.com。

10.11988/ckyyb.20150761

2016,33(12):91-93，104

TU458.4

A

1001-5485(2016)12-0091-03