王益棟，徐永福，奚 悅

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

顆粒材料破碎能耗分形理論研究

王益棟，徐永福，奚 悅

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

大理巖顆粒材料破碎具有分形特征，為了研究顆粒壓縮破碎的分形特征，結合大量的單顆粒破碎試驗，得出了顆粒破碎粒徑分布圖，將顆粒破碎的形態(tài)特征分為3類，指出破碎形態(tài)與顆粒形狀的關系。同時根據試驗結果，確立了顆粒破碎時的變形與粒徑的關系，并以此為依據，首次建立了顆粒破碎能耗與分形維數的關系?；趬嚎s破碎的試驗結果得出分形維數，試驗選取的顆粒破碎的分形維數D為2.48。所有的結論都建立在試驗的基礎上，所用假設經過試驗結果的驗證，與試驗結果十分吻合。

顆粒破碎；分形模型；分形維數；破碎能耗；顆粒形狀

1 研究現狀

近年來隨著大型工業(yè)與民用建筑建設的興起與大型土石壩的興建，堆石料被廣泛應用于水利、港口、交通等巖土工程的建設中。堆石料具有許多優(yōu)良的工程特性，如壓實性能好、透水性強、填筑密度大、抗剪強度高、沉陷變形小和承載力高等[1]。巖石顆粒本身含有微裂縫，顆粒在荷載作用下產生彈性變形，隨著荷載增大，顆粒內部的微裂縫開始擴展，產生塑性變形，最后擴展的裂縫貫穿整個顆粒發(fā)生顆粒破碎[2]。尤其在高壓縮強度下，很容易產生顆粒破碎現象，引起結構改變，影響力學性質[1]。因此，開展顆粒破碎變化規(guī)律的試驗研究對相關工程實踐有指導意義。

McDowell等[2]提出土顆粒的破壞壓力符合Weibull統(tǒng)計學分布，在劍橋模型中引入破碎耗能，采用顆粒破碎描述土體硬化；劉崇權等[3]研究了鈣質砂在三軸試驗條件下的破碎現象，提出顆粒破碎是一個外界對砂樣做功轉化為砂的內能的過程。遲世春等[4]提出考慮顆粒破碎耗能修正Rowe本構模型的顆粒破碎彈塑性本構模型。顆粒破碎本質上是顆粒變形能向表面能轉換的過程。上述對于顆粒破碎無論是本質描述還是本構方程的研究都涉及顆粒破碎能耗，但都沒有涉及分形理論。

Mandelbrot[5]于20世紀70年代提出了分形理論。分形研究的對象是自然界和非線性系統(tǒng)中出現的不光滑和不規(guī)則的幾何形體，其維數的變化是連續(xù)的。人們可以對具有某些分形特性的對象建立近似的分形模型，然后應用分形作為工具，對這些對象進行分析和研究。國內外很多學者的研究已經證實了顆粒破碎具有分形特征[6-7]。徐永福等[8]、趙明華等[9]、劉松玉等[10]、田堪良等[11]、顏敬[12]分別從理論和試驗的角度，運用分形理論對常見的工程材料進行了研究，結果表明材料的分形維數D介于2～3之間。Mandelbrot[5]建立了二維空間顆粒分布的分形模型；Tyler 等[13]建立了三維空間粒徑分布的分形模型，假設不同粒徑的土壤顆粒具有相同的密度，以顆粒質量代替顆粒體積，推導出以質量表示分形維數的公式。本文首次將單顆粒破碎試驗與分形理論相結合，以上述分形模型為基礎，研究顆粒破碎的形態(tài)特征和分形特性。

本文通過顆粒壓縮破碎試驗，描述了顆粒形態(tài)對破壞方式的影響，測得了選取的材料破碎的分形維數。通過試驗得出了顆粒破碎時的變形量與顆粒粒徑的關系，并依此建立了分形維數與顆粒破碎能耗的聯系，從而通過分形理論描述顆粒破碎能耗。

2 分形模型

分形幾何是描述一些奇異的、不光滑的集合，例如Cantor集、Koch曲線、Sierpinski墊片和海綿等，他們具有嚴格自相似性，并且用歐氏幾何無法度量和描述。Mandelbrot[5]正式建立了分形理論，主要用于表征自然界的許多復雜與不連續(xù)的圖形和過程，它不會因為系統(tǒng)的放大或縮小而變化。大量的巖石顆粒破碎實踐證明，不僅顆粒本身的粒度分布具有自相似性，而且顆粒微觀形貌本身具有自相似性和標度不變性。將分形理論引入顆粒破碎過程的研究中，目的就在于利用分形的觀點對顆粒破碎過程這樣一個不連續(xù)、突變、不可逆、非線性、離散的系統(tǒng)進行分析，找尋其內在規(guī)律，建立起聯系宏微觀超細粉碎理論的橋梁。依據分形理論，可用孔徑di的篩子篩分試樣，將篩下的物料總數計為M1(di)，篩網上物料總數計為M2(di)，試樣總質量計為MT，則三維空間中，大于某一特征尺度di的顆粒數(di>di+1)隨著i的增加逐漸減小，其構成的體積為

V2(di)=Cυ[1-(di/λi)3-D] 。

(1)

式中：D表示分形維數；Cυ，λi為與顆粒的形狀、大小相關的常數。

顆粒在各粒徑下的密度應該都是相同的，所以大于某一粒徑di的顆粒的質量可表示為

M2(di)=ρV2(di)=ρCυ[1-(di/λi)3-D] 。

(2)

全部顆粒的質量表示為

MT=ρCυ[1-(0/λi)3-D]=ρCυ。

(3)

假定顆粒試樣的最大粒徑為dmax，則λi=dmax，代入式(2)可得

(4)

兩邊取對數，即

(5)

根據式(5)，顆粒篩下累計質量與顆粒尺寸在雙對數坐標內是線性關系，且直線的斜率α為3-D，因此，顆粒分布的分形維數有如下關系，即

D=3-α 。

(6)

圖1 試驗裝置Fig.1 Schematic diagram of particle-crushing apparatus

3 顆粒破碎試驗

3.1 試驗設備與試驗材料

圖1為單顆粒破碎試

驗的儀器的示意圖，試驗機的量程為50 kN，精度為0.01 kN。

試驗材料選用大理巖漢白玉顆粒材料，其主要化學成分是碳酸鈣(CaCO3)，含有少量的碳酸鎂(MgCO3)、二氧化硅(SiO2)、氧化鋁(Al2O3)、氧化鐵(Fe2O3)和其他雜質。試驗材料顆粒并不是完全規(guī)則的球形，很難用“直徑”的概念去描述，因此，引入“特征直徑”d來描述顆粒的大小，定義特征直徑d=(d1d2d3)1/3，其中d1,d2,d3分別是顆?；ハ啻怪钡?個方向的最大長度。試驗選取了600顆顆粒，特征直徑范圍在6.0～32.0 mm。

對單顆粒破碎后的顆粒進行篩分試驗，以計算顆粒破碎的分形維數。篩分試驗選取的一組篩子孔徑分別為0.1,0.5,1.0,2.0,5.0 mm。

3.2 試驗目的與試驗方法

單顆粒破碎試驗的目的是分析顆粒破碎形態(tài)，得出顆粒破碎的基本力學特征。篩分試驗可根據分形模型計算分形維數。

試驗開始前先將記錄好特征直徑的單顆粒放入試驗臺面板的中央，試驗機啟動后，將自動采集加載力和豎向壓縮位移的實時數據，試驗機下面板固定，上面板以1.0 mm/min的速率向下加載，直到顆粒完全破碎后，停止加載，記錄實驗數據并將破碎后的顆粒收集好。

3.3 試驗結果與分析

3.3.1 顆粒形態(tài)對顆粒破碎的影響

分析所有的單顆粒破碎試驗結果，顆粒破碎類型按照破碎后的顆粒數目可分為3類(如圖2所示)：第1類，受壓的顆粒突然破碎，伴隨著較強的聲響，破碎后形成2～3個顆粒；第2類，顆粒的首次破碎不如第1類顆粒那么強烈，但是會發(fā)生多次破碎，破碎后形成幾顆小顆粒；第3類的破碎類似碾壓式的破碎，顆粒破碎后形成很多顆細小的顆粒。形成上述3類顆粒破碎類型的原因與顆粒形狀有關。

圖2 顆粒破碎類型Fig.2 Types of particle-crushing

為描述顆粒破碎形態(tài)與顆粒形狀的關系，把顆粒粒徑按照一定的規(guī)則進行處理，表示在圖3中。每個顆粒3個方向的直徑按照從大到小的規(guī)則排列，有d1>d2>d3。x軸表示的是d3/d2，y軸表示的是d3/d1。所有的顆粒分布在以x=1，y=1為圓心的1/4圓內，顆粒位置越靠近圓心，則表明顆粒形狀越接近球形；越遠離圓心，顆粒越畸形。圖3中陰影Ⅰ區(qū)，是形狀較規(guī)則的顆粒，這里的顆粒破壞后大多形成幾個顆粒，如圖2所示，這是因為較規(guī)則的顆粒受壓后容易從顆粒中央劈裂成兩半，這一類破碎雖是整體的破碎，但不夠徹底。陰影Ⅲ區(qū)表示的顆粒3個方向的粒徑數值差異較大，也就是較畸形的顆粒，這類顆粒形狀往往或扁或長，它們在受壓時顆粒表面與加載面板的接觸面積較大，因而顆粒會形成多個局部的破裂，破碎成較多細小的顆粒。陰影Ⅱ區(qū)則作為上述2種破碎形態(tài)的過渡區(qū)。

圖3 顆粒形狀分布Fig.3 Distribution of particle shape

顆粒破碎形態(tài)與顆粒粒徑、形狀的關系并不是嚴格對應的，因為影響顆粒破碎的原因有很多，如顆粒的礦物成分、微觀結構、形狀大小等。

圖4 典型顆粒破碎加載力隨壓縮變形變化曲線Fig.4 Curve of load vs. displacement of typical particle-crushing

單顆粒破碎試驗可以直接得到加載力隨壓縮變形增加的變化圖，圖4所示為一典型案例。顆粒開始受壓后，加載力隨變形急劇地線性增加，達到某一峰值時，加載力驟然下降，此時顆粒破碎，后續(xù)依然會有加載力的峰值出現，表明顆粒繼續(xù)破碎。將加載力第一次到達峰值時的力定義為使顆粒破碎的破壞力。

將破壞力與顆粒特征直徑的關系表示如圖5所示，特征直徑越大的顆粒，破壞力也越大。根據試驗測得的加載力與特征直徑計算得到的顆粒的破碎應力，可以計算顆粒的生存幾率PS，定義某一指定應力σf*下，顆粒的生存幾率為

(7)

圖5 顆粒破碎試驗破壞力與特征直徑的關系Fig.5 Relationship between crushing force and representative diameter in particle-crushing test

根據破碎前顆粒的特征直徑的大小，將顆粒分為6組，顆粒的生存幾率如圖6所示，顆粒的粒徑越大，其強度越低，越容易破碎。

圖6 顆粒的生存幾率與應力強度的關系

Fig.6 Curves of survival probability of particle vs. stress strength

3.3.2 顆粒破碎分形維數的確定

根據分形理論模型，選取孔徑分別為0.1，0.5，1.0，2.0，5.0 mm的一組篩子對破碎后的顆粒進行篩分，篩分時篩子從上到下按照孔徑從大到小排列。某一孔徑下所有顆粒的的質量累計記為該孔徑篩下累計質量M1(di)。表1表示的是完全破碎后的篩分試驗結果，完全破碎后，顆粒粒徑全部<5.0 mm。

表1 完全破碎篩分數據

Table 1 Mass screening data by complete particle-crushing

孔徑/mm篩下累計質量總質量孔徑/mm篩下累計質量總質量0．10．12752．00．57230．50．27875．01．00001．00．3966

圖7 破碎顆粒累計質量與粒徑的關系分布Fig.7 Cumulative mass vs. particle size of crushed particle

根據式(5)的形式，將完全破碎的顆粒粒徑-質量分布圖表示如圖7。以lg(di/dmax)為橫坐標，以lg[M1(di)/MT]為縱坐標，圖中各點具有明顯的線性關系，經擬合，計算出直線的斜率α=0.52。根據式(6)，試驗中顆粒破碎的分形維數D=3-α，也就是D=2.48。這與前人的結論“對于粗粒料而言，若粒度分布符合分形特性，則其粒度的分形維數介于2～3之間”相符。從物理意義上去解釋，我們認為平面空間是二維的，而立體空間是三維的，破碎后的顆粒相當于三維的空間中填充實體顆粒并存在許多孔隙，因此實體顆粒在空間中一定是大于二維的平面空間且小于三維的立體空間。

4 分形維數與破碎能量的關系

大量的單顆粒壓縮破碎試驗結果表明，顆粒破碎時的變形δf與初始特征直徑d存在線性關系,如圖8所示。將試驗數據結果擬合，是一條過原點，且斜率為0.023 4的直線,即

δf=0.023 4d 。

(8)

式中δf為加載的位移，也是垂直于加載方向的粒子變形。

圖8 粒徑與破碎變形的關系Fig.8 Relationship between particle size and crushing deformation

加載力在顆粒破碎的過程中對顆粒所做的功可以表示為

(9)

結合式(8)、式 (9)，加載力對粒子所做的功可近似表示為

(10)

由式(8)可知破碎時的加載位移δf∝d，則式(10)可表示為

(11)

Wang等[14]推導了顆粒破碎強度σ與破碎分形維數D的關系為

σ∝dD-3。

(12)

因此，

Ff∝σ·d2∝dD-1,

(13)

Ef∝dD。

(14)

通過式(14)可知，加載力對粒子所做的功與顆粒特征直徑的D次方成正比，在對數坐標系中，可以表示成斜率為D的直線，即lgEf=Dlgd+C，這樣就建立了分形維數與顆粒破碎能耗的關系。

圖9是顆粒破碎能耗與初始特征直徑的關系，橫坐標是顆粒破碎前的特征直徑，縱坐標是顆粒破碎的能量，均使用對數坐標表示。600個數據點分布可在對數坐標系中用直線擬合，圖中擬合的直線的斜率k=2.50，與試驗值D=2.48比較吻合。從分形維數的角度表達顆粒破碎能耗能夠重新量化顆粒破碎能量平衡方程，從而推導顆粒破碎一維壓縮變形方程。

圖9 顆粒破碎能耗與顆粒直徑的關系分布Fig.9 Relationship between particle-crushing energy consumption and particle size

5 結 論

(1) 通過單顆粒破碎試驗，分析顆粒生存幾率與顆粒粒徑的關系，總結歸納了選取的顆粒材料在破碎的時候會產生3種破壞形態(tài)，不同的破壞形態(tài)是由于顆粒的不規(guī)則性和內部結構引起的，重點分析了顆粒破碎形態(tài)與顆粒形狀的關系。

(2) 通過顆粒破碎的試驗，依據分形模型，得出試驗顆粒破碎的分形維數D=2.48。

(3) 通過試驗得出了顆粒破碎時的變形量與顆粒粒徑的關系， 依此， 將分形維數與破碎能耗建立聯系使分形理論應用于顆粒破碎的研究顯得更有意義。

[1] 蘇 明.考慮顆粒破碎的粗粒料力學特性研究綜述[J]. 長江科學院院報, 2015, 32(5):82-88.

[2] MCDOWELL G, BOLTON M. On the Micromechanics of Crushable Aggregates[J]. Geotechnique, 1998, 48(5): 667-679.

[3] 劉崇權, 汪 稔. 鈣質砂在三軸剪切中顆粒存在評價及其能量公式[J]. 工程地質學報, 1999, 7(4): 366-371.

[4] 遲世春, 賈宇峰. 土顆粒破碎耗能對羅維剪脹模型的修正[J]. 巖土工程學報, 2005, 27(11): 1266-1269.

[5] MANDELBROT B B. The Fractal Geometry of Nature[M].New York:W.H.Freeman and Company, 1983.

[6] TYLER S W, WHEATCRAFT S W. Fractal Scaling of Soil Particle-size Distributions: Analysis and Limitations[J]. Soil Science Society of America Journal, 1992, 56(2):362-369.

[7] 石修松,程展林.堆石料顆粒破碎的連續(xù)時間Markov鏈模型[J]. 長江科學院院報, 2010, 27(6):38-42.

[8] 徐永福, 林 飛. 粒狀材料的強度與變形[J]. 巖土力學, 2006, 27(3): 348-352.

[9] 趙明華, 陳炳初, 蘇永華. 紅層軟巖崩解破碎過程的分形分析及數值模擬[J]. 中南大學學報(自然科學版), 2007, 38(2): 351-356.

[10]劉松玉, 方 磊, 陳浩東. 論我國特殊土粒度分布的分形結構[J]. 巖土工程學報, 1993, 15(1): 23-30.

[11]田堪良, 張會禮. 論天然沉積砂卵石粒度分布的分形結構[J]. 西北水資源與水工程, 1996, (4): 26-31.

[12]顏 敬. 分形理論在巖體穩(wěn)定性分析中的應用[J]. 長江科學院院報, 2014, 31(7):65-69.

[13]TYLER S W, WHEATCRAFT S W. Application of Fractal Mathematics to Soil Water Retention Estimation[J]. Soil Science Society of America Journal, 1989, 53(4): 987-996.

[14]WANG Y, DAN W, XU Y,etal. Fractal and Morphological Characteristics of Single Marble Particle Crushing in Uniaxial Compression Tests[J]. Advances in Materials Science & Engineering, 2015, 2015(1):1-10.

(編輯：羅 娟)

Study on Particle Crushing Energy with Fractal Theory

WANG Yi-dong, XU Yong-fu, XI Yue

(School of Naval Architecture, Ocean and Civil Engineering,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

A large number of experimental studies have shown that marble particle crushing has fractal characteristics. The fractal model of particle crushing was described in this paper. Through crushing tests on single particle, the particle size distribution was obtained, and three patterns of particle crushing damage were described, and the relationship between crushing pattern and particle shape was presented. According to the results, the relationship between deformation when particle crushed and particle size was established. This research is the first attempt to determine the relathionship between particle crushing energy and fractal dimension through the use of fractal theory. The fractal dimensionDobtained from the test is 2.48. All conclusions are based on experiments, and all the theory and derivation are verified to be well consistent with experimental results.

particle crushing; fractal model; fractal dimension; crushing energy consumption; particle shape

2015-09-14；

2015-10-12

國家自然科學基金項目(41272318，41472251)

王益棟(1987-)，男，天津人，博士研究生，主要從事顆粒破碎等方面的科研，(電話)18116268088(電子信箱)xiaoyu001@sjtu.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20150779

2016,33(12):86-90

TU443

A

1001-5485(2016)12-0086-05