葉　里，黃禮琳，孔令一，盧強(qiáng)華，高英俊

(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西高校新能源材料及相關(guān)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西南寧　530004)

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晶體彈性行為的晶體相場模擬*

葉里，黃禮琳，孔令一，盧強(qiáng)華，高英俊**

(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西高校新能源材料及相關(guān)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西南寧530004)

(Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Novel Energy Materials and Related Technology,School of Physical Science and Technology,Guangxi University,Nanning,Guangxi,530004,China)

摘要：【目的】研究晶體相場模型中的彈性相互作用過程?！痉椒ā客ㄟ^連續(xù)的密度場，采用晶體相場模型提取和跟蹤每個(gè)原子在時(shí)間演化過程中的位置，再通過求解PFC方程，并運(yùn)用原子的位移來構(gòu)建晶體的彈性能。最后通過調(diào)優(yōu)波動(dòng)參量和阻尼參數(shù)β，獲得晶體的彈性及粘彈性行為特征?！窘Y(jié)果】當(dāng)β=0.9時(shí)，在力F的作用下，晶體響應(yīng)是有彈性的。位置距離越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變越大，位移變化與原子對(duì)應(yīng)位置大致成正比，具有彈性關(guān)系；當(dāng)β=9時(shí)，在力F的作用下，位移變化與原子對(duì)應(yīng)位置服從粘彈性響應(yīng)關(guān)系。通過調(diào)優(yōu)波動(dòng)參量和阻尼參數(shù)，獲得晶體的彈性及粘彈性行為特征?！窘Y(jié)論】改變阻尼參數(shù)β后，可以采用晶體相場模型模擬晶體的彈性及粘彈性行為。

關(guān)鍵詞：晶體相場模擬實(shí)驗(yàn)位移彈性

0　引言

【研究意義】納米晶體材料是近年材料學(xué)方面的研究熱點(diǎn)，它具有良好的形變特性，因此其形變機(jī)理引起了人們的廣泛重視[1]。要深入研究材料的變形及其特性與機(jī)理，需要把宏觀分析與微納觀分析結(jié)合起來，在更深的層次上找到其變形機(jī)制[2]?，F(xiàn)在，對(duì)材料變形的研究早已深入到微納觀層次。納米級(jí)微裂紋的形核與擴(kuò)展在金屬材料微觀缺陷中普遍存在，并嚴(yán)重降低了金屬材料的使用壽命[3]，因此，研究納米級(jí)裂紋的萌生和擴(kuò)展對(duì)預(yù)防材料的斷裂，提高材料的使用壽命具有重要意義[4]。【前人研究進(jìn)展】近幾年，基于密度泛函理論建立的晶體相場方法(PFC)[5]，能很好地用于描述晶界和位錯(cuò)在擴(kuò)散時(shí)間尺度下的運(yùn)動(dòng)特征[6]，可以用于模擬納米級(jí)的微觀結(jié)構(gòu)和演化過程[6-8]，并用于研究晶體彈性及粘彈性行為?！颈狙芯壳腥朦c(diǎn)】在當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)測量條件下，對(duì)材料的納米級(jí)行為很難原位觀測[9]，因此，發(fā)揮計(jì)算模擬實(shí)驗(yàn)的優(yōu)勢，應(yīng)用其研究微納米尺度的結(jié)構(gòu)就顯得極為迫切和重要[10-12]。【擬解決的關(guān)鍵問題】應(yīng)用PFC方法模擬材料彈塑性變形，揭示該過程的原子位移運(yùn)動(dòng)特征，研究材料的微結(jié)構(gòu)和彈性及粘彈性行為特征。

1　PFC模型與方法

1.1PFC模型

PFC模型系統(tǒng)無量綱的自由能函數(shù)可以寫成[8]

(1)

式中，ρ為局域原子密度；r為與溫度有關(guān)的唯象參數(shù)；2為拉普拉斯算子。在單模近似下，可以求得式子(1)的一個(gè)穩(wěn)定特解

(2)

1.2動(dòng)力學(xué)方程

采用保守場Cahn-Hilliard動(dòng)力學(xué)方程[13]描述原子密度隨時(shí)間的演化。該方程具體表示如下：

(3)

式中，ρ為局域原子密度，r為與溫度有關(guān)的唯象參數(shù)，表征體系的過冷度。2為拉普拉斯算子，t為時(shí)間變量。α是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的參量，β是一個(gè)可調(diào)的阻尼參數(shù)。

1.3數(shù)值計(jì)算方法

對(duì)無量綱動(dòng)力學(xué)演化方程(3)采用二次半隱式傅里葉偽譜方法[14]求解，其離散形式為

(4)

1.4樣品制備與應(yīng)變施加

圖1初始樣品的二維圖

Fig.1Two dimensional diagram of initial sample

圖2沿x軸方向施加拉應(yīng)變的示意圖

Fig.2Schematic diagram of tensile strain applied along x axis

表1不同的樣品模擬參數(shù)

Table 1Simulation parameters of different samples

樣品Samplerρ0ΔtαβA-0.40.310.001150.9B-0.40.310.001159

2　結(jié)果與分析

2.1彈性模擬樣品

由圖3可見：1)當(dāng)t=120 000時(shí)，對(duì)應(yīng)圖3a，大約2/3處位移為0，從右往左，位移慢慢增加，應(yīng)變隨之增加，位移從0變化到4，最大位移為4，對(duì)應(yīng)圖4中曲線1。2)當(dāng)t=140 000，對(duì)應(yīng)圖3b，位移從0增到5，最大位移為5，對(duì)應(yīng)圖4中曲線2。3)當(dāng)t=160 000時(shí)，對(duì)應(yīng)圖3c，位移從0變化到6，最大位移為6，對(duì)應(yīng)圖4中曲線3。由圖4可知：位移隨原子位置增加而減小。綜上所述，當(dāng)β=0.9時(shí)，隨著力F的施加，位置變化小，位移變化也小，位置變化大，位移也相應(yīng)變大，位置越遠(yuǎn)，應(yīng)變越大，位移和位置成正比關(guān)系，形成彈性響應(yīng)關(guān)系，晶體響應(yīng)是有彈性的。

圖3彈性模擬樣品不同時(shí)刻原子位置與相對(duì)應(yīng)的位移

Fig.3Atomic position and relative displacement at different moments of elastic sample

圖4不同時(shí)刻的原子位置和位移關(guān)系曲線

Fig.4The atomic positions and displacement curves at different times

2.2粘彈性模擬樣品

由圖5可見：1)當(dāng)t=120 000時(shí)，從右到左，位移緩慢增加，位移從0變化到3，最大位移為3，對(duì)應(yīng)圖6中曲線1。2)當(dāng)t=140 000，對(duì)應(yīng)圖5b，位移從0增到4，最大位移為4，對(duì)應(yīng)圖6中曲線2。3)當(dāng)t=160 000時(shí)，對(duì)應(yīng)圖5c，位移從0變化到7，最大位移為7，對(duì)應(yīng)圖6中曲線3。由圖6可知，位移隨原子位置增加而減小，但在位置3處，出現(xiàn)轉(zhuǎn)折變化。綜上所述，當(dāng)β=9時(shí)，隨著力F的施加，剛開始時(shí)，位置變化小，位移變化也小且?guī)缀醪蛔?，?dāng)該變量達(dá)到一定程度，位移有一個(gè)躍遷的過程，位移變化相應(yīng)也大，曲線類似于折線。β從0.9增加到9導(dǎo)致晶體出現(xiàn)粘彈性行為，形成粘彈性響應(yīng)關(guān)系。

圖5粘彈性模擬樣品不同時(shí)刻原子位置與相對(duì)應(yīng)的位移

Fig.5Atomic position and relative displacement at different moments of viscoelastic sample

圖6不同時(shí)刻的原子位置和位移關(guān)系曲線

Fig.6The atomic positions and displacement curves at different times

3　結(jié)論

應(yīng)用PFC模型模擬研究材料彈塑性變形，得到如下結(jié)論：1)當(dāng)β=0.9時(shí)，在力F的作用下，此時(shí)晶體響應(yīng)是有彈性的。位置距離越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變越大，位移變化與原子對(duì)應(yīng)位置大致成正比，具有彈性關(guān)系；2)當(dāng)β=9時(shí)，在力F的作用下，位移變化與原子對(duì)應(yīng)位置關(guān)系不服從彈性關(guān)系而是服從粘彈性響應(yīng)關(guān)系。表明改變阻尼參數(shù)β后，可以采用晶體相場模型模擬晶體的彈性及粘彈性行為。

參考文獻(xiàn):

[1]秦河林,陳建靈,黃世葉,等.外應(yīng)力作用下小角晶界的斜排位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)研究[J].廣西科學(xué),2015,22(5):506-510,516. QIN H L,CHEN J L,HUANG S Y,et al.Inclined dislocation motion of low angle grain boundaries under shear force exerting[J].Guangxi Sciences,2015,22(5):506-510,516.

[2]邵宇飛,王紹青.基于準(zhǔn)連續(xù)介質(zhì)方法模擬納米多晶體Ni中裂紋的擴(kuò)展[J].物理學(xué)報(bào),2010,59(10):7258-7265. SHAO Y F,WANG S Q.Quasicontinuum simulation of crack propagation in nanocrystalline Ni[J].Acta Physica Sinica,2010,59(10):7258-7265.

[3]LOEHNERT S,PRANGE C,WRIGGERS P.Error controlled adaptive multiscale XFEM simulation of cracks[J].International Journal of Fracture,2012,178(1/2):147-156.

[4]COLOMBO D,MASSIN P.Fast and robust level set update for 3D non-planar X-FEM crack propagation modelling[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2011,200(25/26/27/28):2160-2180.

[5]ELDER K R,GRANT M.Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals[J].Physical Review E,2004,70(5):051605.

[6]劉曉驊,葉里,溫振川,等.向錯(cuò)強(qiáng)度與阻尼系數(shù)對(duì)納米晶材料小角度晶界湮沒的影響[J].廣西科學(xué),2015,22(5):511-516. LIU X H,YE L,WEN Z C,et al.Influence of disclination strength and damping coefficient on decay of low angle grain boundaries in nanocrystalline materials[J].Guangxi Sciences,2015,22(5):511-516.

[7]毛鴻,羅志榮,黃世葉,等.材料裂紋擴(kuò)展分叉機(jī)理的晶體相場法研究[J].廣西科學(xué),2015,22(5):499-505. MAO H,LUO Z R,HUANG S Y,et al.Phase-field-crystal modeling for crack propagation and branch of materials[J].Guangxi Sciences,2015,22(5):499-505.

[8]高英俊,羅志榮,鄧芊芊,等.韌性材料的微裂紋擴(kuò)展與分叉的晶體相場模擬[J].計(jì)算物理,2014,31(4):471-478. GAO Y J,LUO Z R,DENG Q Q,et al.Phase-field-crystal modeling of microcrack propagation and branching in ductile materials[J].Chinese Journal of Computational Physics,2014,31(4):471-478.

[9]ARAFIN M A,SZPUNAR J A.A new understanding of intergranular stress corrosion cracking resistance of pipeline steel through grain boundary character and crystallographic texture studies[J].Corrosion Science,2009,51(1):119-128.

[10]CADINI F,ZIO E,AVRAM D.Monte Carlo-based filtering for fatigue crack growth estimation[J].Probabilistic Engineering Mechanics,2009,24(3):367-373.

[11]劉曉波,徐慶軍,劉劍.鋁裂紋擴(kuò)展行為的分子動(dòng)力學(xué)模擬[J].中國有色金屬學(xué)報(bào),2014,24(6):1408-1413. LIU X B,XU Q J,LIU J.Molecular dynamics simulation of crack propagation behavior of aluminum[J].The Chinese Journal of Nonferrous Metals,2014,24(6):1408-1413.

[12]MA L,XIAO S F,DENG H Q,et al.Molecular dynamics simulation of fatigue crack propagation in bcc iron under cyclic loading[J].International Journal of Fatigue,2014,68:253-259.

[13]STEFANOVIC P,HAATAJA M,PROVATAS N. Phase-field crystals with elastic interactions[J].Physical Review Letters,2006,96(22):225504.

[14]BERNAL F,BACKOFEN R,VOIGT A.Elastic interactions in phase-field crystal models:Numerics and postprocessing[J].International Journal of Materials Research,2010,101(4):467-472.

(責(zé)任編輯：陸雁)

Phase-field-crystal Simulation for Elastic Behavior of Crystals

YE Li，HUANG Lilin，KONG Lingyi，LU Qianghua，GAO Yingjun

Key words：phase-field-crystal，simulation experiment，displacement，elasticity

Abstract：【Objective】Simulation experiments are conducted in phase-field-crystal (PFC) model to analyze elastic interaction.【Methods】Through the continuous density field,the phase field model is used to extract and track the position of each atom in the time evolution.The PFC method is used to solve the equation,and the atomic displacements are used to construct the crystal elastic energy.【Results】When β=0.9,the crystal response is elastic under the action of force F.The farther away from the position,the larger the strain is,and the change of displacement is roughly proportional to the position of the atom.Under the action of the force F,the change of displacement and the position of the atom correspond to the viscoelastic response when β=9.By tuning wave parameters and damping parameters,the elastic and viscoelastic behaviors of crystals are obtained.【Conclusion】After changing the damping parameter β,the phase-field-crystal model can be used to simulate the elastic and viscoelastic behaviors of crystals.

收稿日期：2016-09-03

作者簡介：葉里(1993-)，男，碩士研究生，主要從事金屬材料與模擬實(shí)驗(yàn)研究。 **通信作者：高英俊(1962-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事材料納微結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與模擬實(shí)驗(yàn)研究，E-mail：gaoyj@gxu.edu.cn。

中圖分類號(hào)：TG111

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-9164(2016)05-0474-04

*國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51161003，50661001)和廣西自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2012GXNSFDA053001)資助。

廣西科學(xué)Guangxi Sciences 2016,23(5):474～477

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版時(shí)間：2016-11-21【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20161121.018

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20161121.1546.036.html