摘 要：提出一種基于單頻域段重構(gòu)小波變換的電力系統(tǒng)諧波檢測方法。首先分析了Mallat快速離散小波變換算法，并且指出其注重總體抗混疊和信號(hào)重建，卻忽略了對(duì)分解分量中的頻率混疊進(jìn)行抑制，在電力系統(tǒng)諧波檢測中產(chǎn)生嚴(yán)重的頻率混疊現(xiàn)象，然后給出了單頻域段重構(gòu)小波變換算法。仿真計(jì)算結(jié)果表明該方法可以有效地抑制頻率混疊，能夠較精確地提取諧波頻率，為電力系統(tǒng)諧波檢測提供了一種有效手段。

關(guān)鍵詞：小波變換；電力系統(tǒng)；諧波檢測；單頻域段重構(gòu)；頻率混疊

1 概述

小波理論是20世紀(jì)數(shù)學(xué)界調(diào)和分析函數(shù)領(lǐng)域最大的成果，它不但可以提取信號(hào)的頻域信息，同時(shí)可以提取信號(hào)的時(shí)域信息，即可以提取信號(hào)的時(shí)頻特性，在間諧波和突變諧波檢測方面具有特殊的優(yōu)越性，所以近年來較多學(xué)者致力于研究怎樣將小波變換技術(shù)應(yīng)用到電網(wǎng)諧波檢測領(lǐng)域，提高電網(wǎng)的安全、可靠運(yùn)行度。但是目前幾乎全部小波函數(shù)在進(jìn)行電氣信號(hào)分析時(shí)，都存在頻率混疊現(xiàn)象，雖然很多文獻(xiàn)上顯示小波變換在諧波檢測方面比普通的諧波檢測技術(shù)具有優(yōu)勢(shì)，但由于多數(shù)方法未采用抗頻率混疊措施，在諧波檢測可靠性和精度方面難于滿足工程需要。文章運(yùn)用的小波變換單頻域段重構(gòu)算法在解決普通的小波變換方法產(chǎn)生嚴(yán)重頻率混疊現(xiàn)象方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)越性。

2 Mallat快速離散小波變換

S.Msllat在多分辨分析的基礎(chǔ)上提出了采用離散小波進(jìn)行信號(hào)分析的快速算法，簡稱Mallat算法。該算法利用分解小波濾波器H、G將電氣信號(hào)進(jìn)行分解，然后再利用重構(gòu)小波濾波器h、g對(duì)分解的電氣信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無損檢測。Mallat分解算法如式（1）。

式中，t為離散時(shí)間序列號(hào)，t=1、2、3、…、

N；y（t）為原始信號(hào)；i為小波變換分解的層數(shù)，i=1、2、3、…、J，其中I=log2N；H，G為時(shí)域中的分解小波濾波器；Ai為信號(hào)y（t）第i層低頻率部分的小波系數(shù)；Di為信號(hào)y（t）第i層高頻率部分的小波系數(shù)。

從濾波方面進(jìn)行分析，Mallat算法首先將信號(hào)y（t）分解到若干頻域段的濾波過程，假設(shè)以頻率fs對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行采樣，I表示小波分解的深度，則Mallat算法將信號(hào)分解的各頻域段頻率范圍如表1所示。

由表1中的頻率劃分規(guī)律可知，Mallat算法中的各高頻頻域段的采樣頻率與其中的最高頻率相等，而且各高頻頻域段信號(hào)中的所有頻率都大于頻域段采樣頻率的0.5倍，違反了采樣定理，因此如果原始信號(hào)中含有該頻域段的頻率成分，按照Mallat算法必將產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，這一結(jié)論在接下來的算例仿真結(jié)果中得以證實(shí)。所以普通的Mallat算法產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的頻率混疊，若直接將Mallat算法用來進(jìn)行電網(wǎng)諧波檢測，其檢測精度不能達(dá)到工程要求。

3 單頻域段重構(gòu)小波變換

雖然對(duì)于原始信號(hào)Mallat小波變換方法可以很精確地進(jìn)行重構(gòu)，但是利用Mallat小波變換求得的小波系數(shù)，按照頻率成分分析，各層的高頻頻域段信號(hào)存在頻率混疊的現(xiàn)象，所以在提取電網(wǎng)的若干頻率成分的諧波時(shí)需要消除Mallat小波變換存在的頻率混疊問題。

單頻域段重構(gòu)小波變換算法對(duì)Mallat小波變換算法進(jìn)行了改進(jìn)，在頻率混疊問題方面可以改善Mallat小波變換存在的缺點(diǎn)。它的基本原理是：首先將原始電氣采樣信號(hào)利用Mallat算法進(jìn)行小波分解，求得各頻域段上的小波系數(shù)；而后將各頻域段上的小波系數(shù)再利用Mallat算法分別進(jìn)行重構(gòu)，并確保重構(gòu)信號(hào)的尺度與原始電氣信號(hào)一致。單頻域段重構(gòu)小波變換算法可以利用圖3的形式進(jìn)行表達(dá)。

圖3中 、 、 、 的含義為：電氣采用信號(hào)與重構(gòu)小波濾波器h、g和分解小波濾波器H、G求卷積， 表示進(jìn)行電氣信號(hào)隔點(diǎn)采樣， 表示進(jìn)行電氣信號(hào)隔點(diǎn)插零。Ai表示第i層上低頻域段的小波系數(shù)，Ai+1和Di+1分別表示第i+1層上的低頻段小波系數(shù)和高頻段小波系數(shù)，ai+1和di+1分別表示第i+1層上的低頻域段和高頻域段的重構(gòu)信號(hào)。電氣信號(hào)被單頻域段重構(gòu)小波變換分解到若干二進(jìn)劃分的頻帶上，總體來看相當(dāng)于濾波。在進(jìn)行信號(hào)分解、重構(gòu)的過程中，利用隔點(diǎn)采樣、插零的過程，將頻率混疊情況在隔點(diǎn)插零時(shí)進(jìn)行校正，從而確保求得的頻域段信號(hào)與原始信號(hào)采樣頻率相同。

4 實(shí)際計(jì)算示例及仿真結(jié)果

運(yùn)用單頻域段重構(gòu)小波變換算法進(jìn)行電網(wǎng)多頻諧波信號(hào)檢測，計(jì)算結(jié)果良好。工程仿真信號(hào)y（t）為：

式中：50Hz為基頻分量：100Hz、150Hz、250Hz分別為2次、3次和5次高倍諧波分量；25Hz、75Hz為非線性元件產(chǎn)生的間諧波，為增加難度，還引入了指數(shù)非周期衰減信號(hào)e-8t。

文章以Matlab小波工具箱的函數(shù)為基礎(chǔ)算法，首先利用普通的Mallat快速離散小波變換對(duì)該信號(hào)進(jìn)行了仿真分析，而后采用單頻域段重構(gòu)小波變換進(jìn)行仿真分析。采樣頻率為fs=1000Hz，總計(jì)進(jìn)行2048個(gè)點(diǎn)的采樣，然后采用正交小波Daubechies41（db41）對(duì)原始電氣信號(hào)進(jìn)行了3層分解，計(jì)算結(jié)果分別如圖4和圖5。

根據(jù)小波分解對(duì)信號(hào)頻帶的劃分原理可知曉波分解后各頻域段理論頻率范圍用表2表示。

分析圖4，普通的Mallat算法進(jìn)行電網(wǎng)諧波檢測時(shí)，頻率混疊現(xiàn)象較為嚴(yán)重，高頻段小波系數(shù)的變換結(jié)果和理論計(jì)算值誤差較大。分析圖5可知，利用單頻域段重構(gòu)小波變換算法進(jìn)行電網(wǎng)諧波檢測時(shí)，求得的變換結(jié)果和理論計(jì)算值基本吻合，精度滿足工程要求?？梢詫?duì)電網(wǎng)中存在的諧波、間諧波進(jìn)行精確檢測。若電網(wǎng)電壓、電流含有非周期分量，該算法對(duì)對(duì)諧波、間諧波分量的檢測精度依然較高，因此為電網(wǎng)諧波檢測提供了新的方法。

5 結(jié)束語

普通的Mallat小波算法進(jìn)行電氣信號(hào)變換時(shí)，總體上采取抗混疊措施，但在分解分量上消除混疊考慮不足，導(dǎo)致分解信號(hào)依然存在較為嚴(yán)重的頻率混疊，所以將Mallat小波算法直接用于電網(wǎng)諧波檢測，測量誤差較大。文章所利用的單頻域段重構(gòu)小波變換算法，在對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行分解、重構(gòu)的過程中，采用有效措施，在電網(wǎng)諧波檢測過程中，有效地抑制了小波變換所產(chǎn)生的頻率混疊。仿真計(jì)算結(jié)果證明了單頻域段重構(gòu)小波算法的有效性，在電網(wǎng)諧波檢測方面具有較廣闊的應(yīng)用前景。

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