趙明華，吳岳武，鄭 玥

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

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變荷載下雙層不排水樁復(fù)合地基一維固結(jié)分析

趙明華，吳岳武，鄭 玥

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

假定弱排水樁復(fù)合地基中的樁體不排水，同時(shí)考慮地基土的成層性與荷載隨時(shí)間任意變化兩個(gè)條件，導(dǎo)出了變荷載下雙層不排水樁復(fù)合地基的一維固結(jié)控制方程，得到了此類地基中超靜孔隙水壓力的一般解析解，并給出了瞬時(shí)加載和單級(jí)等速加載兩種常見情況下超靜孔隙水壓力和固結(jié)度的解答；然后，通過將本文解退化為經(jīng)典解和與算例分析兩種途徑驗(yàn)證了本文解析解的合理性；最后，利用編程計(jì)算分析了雙層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)規(guī)律。結(jié)果表明：隨著樁徑比的減小、樁體剛度的增大和加荷速率的增大，固結(jié)速率會(huì)增大；kv2/kv1越大，E2/E1越大，h2/h1越小，則固結(jié)越快；分別按平均孔壓和按沉降定義的雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)度會(huì)有差別，差別大小與各層土體的壓縮模量有關(guān)。

道路工程; 復(fù)合地基；不排水樁；固結(jié)；雙層；變荷載

0 引言

采用弱排水樁作為豎向增強(qiáng)體的復(fù)合地基法是軟土地基處理中的主要方法之一，例如水泥土攪拌樁復(fù)合地基和灰土樁復(fù)合地基等，已被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中。與粗砂、碎石等散體材料不同，水泥土、灰土等屬于膠凝材料，膠凝材料的滲透性很小，在設(shè)計(jì)計(jì)算中一般予以忽略。研究表明[1]，水泥土攪拌樁的滲透系數(shù)可達(dá)到10-8～10-9cm/s數(shù)量級(jí)，通常比樁周軟土的滲透系數(shù)低1～3個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，在分析弱排水樁復(fù)合地基的固結(jié)問題時(shí)，可簡(jiǎn)化地將水泥土攪拌樁、灰土樁等膠凝材料樁視為不排水樁，即不考慮樁的滲透性，以期獲得解析解。

目前，關(guān)于砂樁、碎石樁等散體材料樁復(fù)合地基的固結(jié)理論已有較深入的研究，獲得了能夠考慮變荷載、地基成層和涂抹作用、樁未打穿以及半透水邊界等較為復(fù)雜條件下的固結(jié)解析解[2-5]。但迄今為止，不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)理論研究則較少。楊濤等[6-8]將真實(shí)的非均質(zhì)復(fù)合土體替代為等價(jià)均質(zhì)復(fù)合土體，采用復(fù)合模量法對(duì)變荷載下不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)問題進(jìn)行了研究，但此方法缺少嚴(yán)格的理論推導(dǎo)；盧萌盟等[9]證明了不排水樁復(fù)合地基只會(huì)產(chǎn)生豎向滲流，獲得了瞬時(shí)加載和單級(jí)加載兩種情況下的單層不排水端承樁復(fù)合地基的一維固結(jié)解析解，但此理論沒有給出其他加載條件下的解析解；楊濤等[10]研究了當(dāng)軟土地基較厚時(shí)復(fù)合地基分為上層加固區(qū)與下臥層的情況，給出了瞬時(shí)加載條件下不排水懸浮樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算的解析公式，隨后，龔曉南等[11]導(dǎo)出了線性加載條件下不排水懸浮樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算的簡(jiǎn)化公式，發(fā)展了不排水樁復(fù)合地基固結(jié)理論。目前已提出的不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算模型，考慮了荷載線性施加和樁體懸浮，但沒有考慮地基土的成層性，而實(shí)際工程中，常會(huì)遇到樁體穿越成層軟土地基而嵌入持力層的情況,這便涉及成層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)度計(jì)算問題。在計(jì)算成層地基的固結(jié)度時(shí)，常將成層的非均質(zhì)地基替代為均質(zhì)地基，再利用太沙基一維固結(jié)公式計(jì)算，然而，采用這種加權(quán)平均的簡(jiǎn)化計(jì)算方法一般難以得到合理結(jié)果[12]，因此，在建立固結(jié)計(jì)算模型時(shí)應(yīng)考慮地基土的成層性。成層地基的固結(jié)理論研究歷來受國(guó)內(nèi)外巖土工程界所關(guān)注，經(jīng)過眾多學(xué)者多年研究，目前已有較多有關(guān)成層天然地基、成層砂井地基和成層散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)理論的有益成果[12-15]，但迄今尚缺少關(guān)于成層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)問題的解析解。另外，實(shí)際工程中復(fù)合地基上部荷載并不是瞬時(shí)施加，有必要根據(jù)實(shí)際工程的加載曲線，在復(fù)合地基固結(jié)分析中考慮施工荷載隨時(shí)間任意變化條件。

為此，本文擬在前人的研究基礎(chǔ)上，假定弱排水樁復(fù)合地基中的樁體不排水，同時(shí)考慮變荷載和地基土的成層性，研究了變荷載下雙層地基中不排水樁復(fù)合地基(簡(jiǎn)稱雙層不排水樁復(fù)合地基)的固結(jié)問題，在證明此類雙層地基系統(tǒng)正交公式的基礎(chǔ)上，獲得了其解析解答，并通過將本文解退化為經(jīng)典解和算例分析兩種途徑驗(yàn)證了本文解析解的正確性，以期為施工時(shí)間控制和工后沉降控制提供一些指導(dǎo)。

1 固結(jié)模型的建立與分析

1.1 計(jì)算模型

圖1為變荷載下雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)模型。其中，hi，kri(r)，kvi和Ei分別為土層i(i=1、2，分別表示上、下層)的厚度、徑向滲透系數(shù)、豎向滲透系數(shù)和復(fù)合壓縮模量，Ec為樁體壓縮模量，H為雙層地基總厚度，rc，rs和re分別為樁體、擾動(dòng)區(qū)和影響區(qū)半徑；q(t)為大面積均布荷載，可隨時(shí)間任意變化。其排水條件為地基頂面透水，底面不透水。

圖1 雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)模型Fig.1 Consolidation model of double-layered compositefoundation with impervious pile

本文采用如下假定：

(1)等應(yīng)變條件成立，即樁體與土體均受側(cè)向約束，并且任意深度處豎向變形相等；

(2)土體完全飽和，土體中水的滲流規(guī)律服從達(dá)西定律；

(3)復(fù)合地基中的樁體不排水；

(4)所加荷載隨時(shí)間任意變化；

(5)在任意時(shí)刻兩層交界處的豎向滲透速率和孔隙水壓力處相等。

1.2 固結(jié)方程

對(duì)上述模型，由平衡條件、等應(yīng)變假設(shè)和樁體不排水假設(shè)可得

(1)

(2)

由式(1)和(2)可得:

(3)

土體內(nèi)徑豎向滲流的固結(jié)方程為[9]

(4)

式中，usi為土體內(nèi)任一點(diǎn)處的超靜孔隙水壓力；γw為水的重度。

其邊界條件、連續(xù)條件和初始條件分別為

邊界條件:

(5)

(6)

連續(xù)條件:

(7)

初始條件:

(8)

式中，σ0為土體內(nèi)的初始孔壓。

利用邊界條件式(5)，參考文獻(xiàn)[9]，可推導(dǎo)得到變荷載下雙層不排水樁復(fù)合地基的一維固結(jié)控制方程為

(9)

1.3 方程求解

首先，定義無量綱參數(shù)如下：

[10]，設(shè)式(9)的解形式如下：

(10)

(11)

式中，βm,μ,λm,Am,Bm和Cm均為待定系數(shù)；Tm(t)項(xiàng)由式(9)中的R(t)項(xiàng)引起，為時(shí)間t的待定函數(shù)。

式(10)、(11)顯然滿足邊界條件式(6)，將式(10)、(11)代入連續(xù)條件式(7)可得

(12)

式(12)也可以轉(zhuǎn)化為

μasin(μcλm)sin(λm)-cos(λm)cos(μcλm)=0，

(13)

式(13)即為確定特征值λm的特征方程。式(13)為超越方程，不能直接求解，可采用二分法編程求解。

再將式(10)、(11)代入式(9)，可得

(14)

以及待定系數(shù)Cm應(yīng)滿足方程

(15)

類似于成層散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)理論中的正交證明[15]，可證明雙層不排水樁復(fù)合地基的正交關(guān)系式在形式上與雙層散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)理論的一致(證明略)：

(16)

利用式(15)和正交關(guān)系式(16)可得

(17)

最后由初始條件式(8)有

(18)

用確定Cm的同樣方法可得

(19)

現(xiàn)已求出所有待定系數(shù)，可寫出滿足一切求解條件的變荷載下雙層不排水樁復(fù)合地基的一般解答為:

(20)

代入荷載條件后，即可求得雙層不排水樁復(fù)合地基在不同加載條件下的固結(jié)解答。限于篇幅，本文僅給出瞬時(shí)加載和單級(jí)等速加載兩種常見情況下的解答，以供參考。

(1)瞬時(shí)加載情況下的解答

圖2為本文研究的兩種情況下的荷載施加曲線。如果荷載為瞬時(shí)施加時(shí)，σ0=n2qu/(n2-1), q(t)=qu, R(t)=0，由一般解答式(20)，可得瞬時(shí)加載情況下雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解為

(21)

(2)單級(jí)等速加載情況下的解答

如圖2(b)所示，如果荷載為單級(jí)等速施加，則初始孔壓σ0=0,且

(22)

將式(22)代入一般解答式(20)，可得單級(jí)等速加載情況下雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解為：

加載階段(0≤t≤tc)：

(23)

竣工后(t≥tc)：

(24)

如果令tc→0，式(23)和式(24)即退化為瞬時(shí)加載情況下的固結(jié)解表達(dá)式(21)。

圖2 荷載施加曲線Fig.2 Curves of loading

1.4 固結(jié)度計(jì)算

地基的平均固結(jié)度可按沉降定義和按平均孔壓定義[16]，當(dāng)?shù)鼗鶠殡p層時(shí)，其計(jì)算公式分別為

(25)

由式(1)、(2)可得

(26)

當(dāng)t→∞時(shí)，由式(26)可得土體內(nèi)最終平均總應(yīng)力為

(27)

將式(26)、(27)代入式(25)，可得

(1)瞬時(shí)加載情況下的平均固結(jié)度

將式(21)分別代入式(28)、(29)，可得瞬時(shí)加載情況下雙層不排水樁復(fù)合地基的平均固結(jié)度為

(30)

(31)

(2)單級(jí)等速加載情況下的平均固結(jié)度

將式(23)、(24)分別代入式(28)、(29)，可得單等速加載情況下雙層不排水樁復(fù)合地基的的平均固結(jié)度為

(32)

(33)

最后，對(duì)固結(jié)度解析解表達(dá)式(30)～(32)和(33)進(jìn)行了討論：

(1)當(dāng)?shù)鼗鶠閱螌犹烊坏鼗鶗r(shí)有

a=b=d=1,c=0，且n→∞，

(34)

則

(35)

將式(34)代入式(13)可以求得

(36)

最后，將式(35)、(36)代入式(30)、(31)可求得

(37)

因此，本文解可退化為經(jīng)典的太沙基一維固結(jié)解。

(2) 同理，當(dāng)?shù)鼗鶠殡p層天然地基時(shí)，即當(dāng)d=1,n→∞時(shí)，本文解可退化為雙層天然地基固結(jié)解[12]。

(3) 同理，當(dāng)?shù)鼗鶠閱螌硬慌潘畼稄?fù)合地基時(shí)，即當(dāng)a=b=d=1且c=0時(shí)，本文解可退化為單層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解[9]。

2 算例驗(yàn)證

楊濤等[6-8]將非均質(zhì)復(fù)合地基替代為等價(jià)均質(zhì)復(fù)合土體，采用復(fù)合模量法研究了不同加載條件下單層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)問題。該法采用提出的復(fù)合模量公式計(jì)算等價(jià)均質(zhì)復(fù)合土體的模量后，再運(yùn)用太沙基一維固結(jié)公式計(jì)算均質(zhì)復(fù)合土體的固結(jié)度，其解答與有限元解具有較好的一致性。本文擬將獲得的雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解析解與文獻(xiàn)[6-7]的解答進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，以期反映本文解析解的合理性。

由于目前鮮有關(guān)于雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)問題的研究成果，在利用本文方法計(jì)算文獻(xiàn)[6、7]中單層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)度時(shí)，人為地將單層地基劃成雙層地基，并且上、下層地基土參數(shù)均相同，即a=b=d=1，h1，h2可任意取值并滿足H=h1+h2。

本文的參數(shù)與文獻(xiàn)[6-7]的參數(shù)取值相同，如表1所示。其中，當(dāng)荷載為大面積瞬時(shí)施加時(shí)，q0=100 kPa；當(dāng)荷載為單級(jí)等速施加時(shí)，tc=12 d，荷載為大面積4 m厚填土。邊界條件為地基頂面透水，底面不透水。

表1 算例參數(shù)取值一覽表Tab.1 List of parameter values in calculation example

圖3給出了瞬時(shí)加載時(shí)不同樁土模量比情況下的兩種方法獲得的復(fù)合地基固結(jié)度隨時(shí)間變化的比較曲線。圖3表明，本文解析解與文獻(xiàn)[6]解有很好的一致性。

圖3 瞬時(shí)加載時(shí)復(fù)合地基固結(jié)度比較Fig.3 Comparison of consolidation degrees of compositefoundation under instantaneous loading

圖4給出了單級(jí)等速加載情況下本文方法和文獻(xiàn)[7]的復(fù)合模量法獲得的低透水樁復(fù)合地基固結(jié)度隨時(shí)間變化的比較曲線。圖4表明，單級(jí)等速加載條件下，本文方法獲得的固結(jié)度與文獻(xiàn)[7]的復(fù)合模量法獲得的固結(jié)度也具有很好的一致性。

圖4 單級(jí)加載時(shí)復(fù)合地基固結(jié)度比較Fig.4 Comparison of consolidation degrees of compositefoundation under single-stage loading

文獻(xiàn)[6-7]中基于等價(jià)均質(zhì)土體的復(fù)合模量法可以認(rèn)為是一種經(jīng)驗(yàn)方法，而本文解析解有嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，更能反映固結(jié)的本質(zhì)規(guī)律。另外，本文計(jì)算模型不僅可以計(jì)算雙層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)問題，也可以計(jì)算單層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)問題與雙層天然地基的固結(jié)問題，因此，本文方法更具普遍適用性。

3 參數(shù)分析

本文通過編程計(jì)算，探討了雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)的一般規(guī)律。由本文解析解可以看出，雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算主要取決以下無量綱參數(shù):a=kv2/kv1,c=h2/h1,Y1=Ec/E1,Y2=Ec/E2,n和加載時(shí)間t，本文對(duì)以上參數(shù)進(jìn)行了探討。此外，還將分別按沉降和按平均孔壓定義的固結(jié)度曲線進(jìn)行了比較。各圖計(jì)算參數(shù)的取值見表2，表中，tc=0代表荷載瞬時(shí)施加，E1=3 MPa，h1=10 m，k1=10-6cm/s，圖5～圖9中的總平均固結(jié)度均按平均孔壓定義。

表2 各圖計(jì)算參數(shù)取值一覽表Tab.2 List of parameter values in each figure

圖5 樁徑比對(duì)固結(jié)過程的影響 Fig.5 Influence of pile-diameter ratio on consolidationprocess

圖6 樁土模量比對(duì)固結(jié)過程的影響Fig.6 Influence of pile-soil modulus ratio on consolidationprocess

圖5、圖6分別反映了樁徑比n和樁土模量比Y1,Y2對(duì)固結(jié)過程的影響。由圖5、圖6可得，根據(jù)本文給出的計(jì)算模型，在復(fù)合地基設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍內(nèi)(通常n≤7)，隨著樁徑比的減小，固結(jié)速率會(huì)增大；樁、土模量的增大和樁土模量比的增大會(huì)加快固結(jié)速率；其他條件相同時(shí)，雙層不排水樁復(fù)合地基在雙層土是上軟下硬時(shí)固結(jié)更快，而當(dāng)雙層土是上硬下軟時(shí)固結(jié)更慢。

圖7給出了不同加荷歷時(shí)下復(fù)合地基固結(jié)度隨時(shí)間變化曲線。圖中，加荷歷時(shí)越短，表示加荷速率越大，tc=0代表瞬時(shí)加荷的情況。從圖7中可以看出復(fù)合地基固結(jié)速率與加荷速率有關(guān)，復(fù)合地基的固結(jié)速率隨加荷速率的增大而增大，而瞬時(shí)加荷情況下復(fù)合地基固結(jié)速率最大，這反映了本文考慮施工荷載為變荷載是有必要的。

圖7 加荷速率對(duì)固結(jié)過程的影響 Fig.7 Influence of loading rate on consolidation process

圖8、圖9分別反映了滲透率之比和層高比對(duì)固結(jié)速率的影響。由圖8、圖9可得，kv2/kv1越大，固結(jié)越快；由圖9可知，層高比越小，固結(jié)越快?？傊?，kv2/kv1越大，h2/h1越小，E2/E1越大，則雙層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率越快。

圖8 上下土層滲透率之比對(duì)固結(jié)速率的影響Fig.8 Influence of ratio of soil layers’ permeability onconsolidation rate

圖10對(duì)分別按平均孔壓和按沉降定義得到的固結(jié)度曲線進(jìn)行了比較。此圖表明，對(duì)于所給計(jì)算參數(shù)，按兩種不同定義分別得到的固結(jié)度會(huì)有差別，由式(25)可知，差別大小與各層土體的壓縮模量有關(guān)，僅當(dāng)各層土體的壓縮模量相等時(shí)，按兩種不同定義分別得到的固結(jié)度才會(huì)相等，而對(duì)于單層不排水樁復(fù)合地基，則不存在這種差別，圖10從側(cè)面反映了考慮地基土的成層性是有必要的。因此，在計(jì)算成層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)問題時(shí)，應(yīng)對(duì)固結(jié)度的定義予以區(qū)別。

圖9 層高比對(duì)固結(jié)速率的影響Fig.9 Influence of soil height ratio on consolidation rate

圖10 分別按平均孔壓和按沉降定義的固結(jié)曲線的比較Fig.10 Comparison of consolidation curves defined by average pore pressure and settlement respectively

4 結(jié)論

(1)本文的計(jì)算模型同時(shí)考慮了地基土的成層性和施工荷載隨時(shí)間任意變化兩個(gè)條件，不僅適用于變荷載下雙層不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)計(jì)算問題，而且在一定條件下可以方便地轉(zhuǎn)化為單層不排水樁復(fù)合地基和雙層天然地基的固結(jié)計(jì)算問題，因此具有普遍適用性。

(2) 參數(shù)分析結(jié)果表明：隨著樁徑比的減小和樁體剛度的增大，固結(jié)速率會(huì)增大；加荷速率越大，固結(jié)速率則越大，在瞬時(shí)加載情況下固結(jié)速率達(dá)到最大；kv2/kv1越大，E2/E1越大，h2/h1越小，則固結(jié)越快。

(3)分別按平均孔壓定義和按沉降定義得到的雙層不排水樁復(fù)合地基固結(jié)度會(huì)有一定程度的差別，差別大小與各層土體的壓縮模量有關(guān)，僅當(dāng)各層土體的壓縮模量相等時(shí)，按兩種不同定義分別得到的固結(jié)度才會(huì)相等。

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Analysis of 1D Consolidation of Double-layered Composite Foundation with Impervious Pile under Time-dependent Loading

ZHAO Ming-hua，WU Yue-wu，ZHENG Yue

(School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha Hunan 410082, China)

Assuming that the weak drainage piles are undrained in composite foundation, considering both layered soils and time-dependent loading, we derived the 1D consolidation control equations of double-layered composite foundation with impervious pile under time-dependent loading, and obtained the general analytical solutions of the excess pore water pressure of such foundation. Then, we gave the analytical solutions of the excess pore water pressure and the consolidation degree in the common cases of instantaneous loading and single-stage constant loading respectively. After that, we verified the reasonableness of the analytical solution through the ways of numerical example and the degradation of the solutions in this article to classical solutions. Finally, we investigated the consolidation rule of double-layered composite foundation with impervious pile by programming computation. The result shows that (1) the consolidation rate will increase when the pile stiffness increases and loading rate increases while the pile diameter ratio decreases; (2) whenkv2/kv1is greater,h2/h1is smaller andE2/E1is greater, the consolidation rate is greater; (3) the consolidation degrees are different when defined by average excess pore water pressure and settlement respectively, and the size of difference is related to the soil’s compression modulus of each layer.

road engineering; composite foundation；impervious pile；consolidation；double-layer；time-dependent loading

2016-06-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51478178)

趙明華(1956- )，男，湖南洞口人，教授，博士生導(dǎo)師.(mhzhaohd@21cn.com)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.11.007

TU

A

1002-0268(2016)11-0042-08