馬 琳，鄧文彬，張廣泰

（1.新疆大學 建筑工程學院，新疆 烏魯木齊 830046）

抗差估計在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

馬 琳1，鄧文彬1，張廣泰1

（1.新疆大學 建筑工程學院，新疆 烏魯木齊 830046）

對抗差估計及其迭代初值進行了研究分析，并且針對不同估計方法所得到的迭代初值，利用Matlab對其進行模擬數(shù)據(jù)實驗，對其“抗差性”進行比較，結(jié)合模擬結(jié)果選取“抗差性”較好的迭代初值進行下一步的抗差估計。最后利用某變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，同時采用最小二乘法和抗差估計兩種方法進行比較，驗證了抗差估計對粗差的“抗干擾性”。

抗差估計；M估計；變形監(jiān)測；迭代初值；ρ函數(shù)

在變形監(jiān)測工作中，不論采用何種精密測量儀器或測量方法，都有可能出現(xiàn)粗差[1,2]。粗差的出現(xiàn)，會使數(shù)據(jù)處理分析結(jié)果出現(xiàn)偏差，進而給后期的監(jiān)測工作帶來一定的困擾。在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，由于所測變形值很小，與觀測中的誤差極易混淆，這就要求在對數(shù)據(jù)進行處理分析時，盡可能避免或減小粗差對整體數(shù)據(jù)解算的干擾，以免影響對變形的正確分析[3]。

抗差估計與傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法相比，可以在數(shù)據(jù)中有粗差存在的情況下，減少粗差影響，從而得到具有“抗干擾性”的解算結(jié)果。本文以某工程項目的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對其進行抗差估計分析，驗證其對粗差的“抗干擾性”。

1 抗差估計

抗差估計是指在有粗差存在的情況下，選擇合適的估計方法，盡可能降低粗差對未知量估值的影響，得出最優(yōu)估值[1]?？共罟烙嫽旧峡煞譃?大類：M估計、L估計和R估計。本文中所用到的是M估計。

M估計是經(jīng)典的極大似然估計的推廣，稱為廣義極大似然型估計。

在對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理分析時，常采用線性回歸法，若將抗差M估計與線性回歸法結(jié)合在一起，可以有效抵抗粗差的干擾。

令φ（Vi）/Vi=Wi（權(quán)因子）為等價權(quán)元素，則有，將誤差方程帶入式（5），則有：

對式（6）的求解采用選權(quán)迭代法，選擇合適的迭代初值解算參數(shù)第一次估值，由其解算出誤差，進而確定新的等價權(quán)，得到下一次的參數(shù)估值，以此類推，直至前后兩次解的差值符合一定的限差要求，即得到最終的參數(shù)估值[1,2,4]。

2 迭代初值以及ρ函數(shù)

抗差M估計的關(guān)鍵是選擇合適的迭代初值和ρ函數(shù)。

2.1 迭代初值

2.1.1 最小二乘估計

目前一般都是采用最小二乘估計值來作為迭代初值，最小二乘估計的原理是最小化殘差平方總和，即但由于最小二乘估計對粗差具有均衡作用，且對粗差不敏感，往往會降低抗差估計的抗差性[5,6]。

2.1.2 一次范數(shù)最小估計的線性規(guī)劃算法

線性規(guī)劃是研究線性約束條件下線性目標函數(shù)的極值問題的數(shù)學理論和方法，其數(shù)學模型為：

把X、V均視為待求參數(shù)，由于線性規(guī)劃要求所有參數(shù)均為非負，而X、V可正可負，故設(shè)：

X+與X-、V+與V-互不獨立，且不能同時存在非零解，則得到數(shù)學模型為：

即，

求解式（11），則可以得到X的估值[4]。

2.1.3 最小中位數(shù)平方

最小中位數(shù)平方的原理是最小化殘差平方的中位數(shù)，即Median（）= min。最小中位數(shù)平方估值可以利用重復(fù)抽樣算法來求解，其基本步驟為：從n個誤差方程中隨機抽取一個容量為p+1的子樣本，其中p為自變量的維數(shù)，解算參數(shù)X，并計算p+1組的殘差及其平方的中位數(shù)，選擇殘差平方中位數(shù)最小值所對應(yīng)的參數(shù)估值為最終的抗差估值[7-9]。

2.2ρ函數(shù)

抗差M估計的對粗差的“抗干擾性”主要取決于迭代計算時所選取的ρ函數(shù)。一般情況下，ρ函數(shù)應(yīng)盡量滿足以下條件：

1）對稱函數(shù)，即ρ（-v）= ρ（v）。

2）ρ（0）=0；ρ（v）在（-∞，0）區(qū)間上非增；ρ（v）在（0，-∞）區(qū)間上非降。

3）ρ（v）在（-∞，∞）區(qū)間上處處連續(xù)。

IGG法屬于有淘汰區(qū)的M估計，權(quán)因子之間變化較平緩，同時這種估計方案充分考慮了測量數(shù)據(jù)的實際情況，是一種適合處理測量數(shù)據(jù)的抗差方案[1,10]。本文采用IGG法，其ρ函數(shù)及權(quán)函數(shù)為：

式中，u為標準化殘差（ui= vi/σ）；ρ（u）為ρ函數(shù)；w （u）為權(quán)函數(shù)；b、c為調(diào)和系數(shù)，選取時可以參考有關(guān)文獻推薦值[11]；d為常數(shù)；k為很小的數(shù)，避免u為0時出現(xiàn)計算問題[12]。

3 數(shù)據(jù)處理及分析

3.1 數(shù)據(jù)實驗與分析

針對上文提到的3種迭代初值的計算方法，采用線性回歸模型，利用Matlab進行模擬比較，選取較為合適的迭代初值。

采用模型yi= a1+a2xi+ε，令a1=5.0，a2=-2.9，模擬自變量x服從正態(tài)分布N （2，22），ε服從正態(tài)分布N（0，0.22），針對模型計算系數(shù)a1、a2，對于粗差，模擬分布yi～N（-3，0.52），j為粗差個數(shù)，實驗數(shù)據(jù)為100個，粗差為30個，其模擬結(jié)果見表1。

表1 3種不同迭代初值計算結(jié)果比較

從表1可以看出，3種迭代初值計算方法中，最小二乘法對粗差的抗干擾能力比較弱，其余兩種方法均可以較好地抵抗粗差。本文采用最小中位數(shù)平方估值作為迭代初值，進行下一步抗差估計。

3.2 變形觀測數(shù)據(jù)的處理及分析

本文選取某工程的變形觀測數(shù)據(jù)，對其進行抗差線性回歸分析，原始數(shù)據(jù)如表2。

表2 原始數(shù)據(jù)

利用Matlab畫出散點圖，依據(jù)散點圖選用指數(shù)模型y=a×eb/x對其進行抗差線性回歸分析。由于指數(shù)模型本身不是線性模型，故先將指數(shù)模型線性化：y=a×eb/x?（lny）=（lna）+b×（1/x），然后利用后面線性化后的模型進行數(shù)據(jù)處理與分析。

若在第4、8、12、16天的下沉量上各加入2、5、7、9 mm的粗差，采用常用的最小二乘法對其進行線性回歸，同時采用以最小中位數(shù)平方估值作為迭代初值，以IGG法作為權(quán)函數(shù)的抗差估計與其進行對比，結(jié)果如圖1所示。

圖1 最小二乘法與抗差估計繪制的擬合結(jié)果圖

從圖1可以直接看出，在有粗差存在的情況下，采用的最小二乘法所繪制出來的擬合圖已經(jīng)完全偏離了真實數(shù)據(jù)，偏向有粗差的數(shù)據(jù)；而抗差估計計算繪制出來的擬合圖則沒有受到粗差數(shù)據(jù)的影響，正確預(yù)測出了變形數(shù)據(jù)的趨勢。從表3中的各項指標數(shù)據(jù)中也可以看出，最小二乘法的解算結(jié)果沒有抗差估計的解算結(jié)果好。

表3 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

4 結(jié) 語

常用的最小二乘法在有粗差存在的情況下，所得的估值有一定的偏差，而抗差估計則可以在有粗差存在的情況下，仍然對其進行無偏估計。所以將抗差估計應(yīng)用在變形監(jiān)測的數(shù)據(jù)處理中，不但可以對其進行分析預(yù)測，還可以使其在有粗差的情況下，避免粗差對分析預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生干擾。但是在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，影響因素往往有多個，而本文中所用到的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)只有一個影響因素，若將抗差估計應(yīng)用在有多個影響因素的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，則抗差估計的結(jié)果可能會更好，這還有待進一步的驗證研究。

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P258

B

1672-4623（2016）01-0089-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.01.026

馬琳，碩士，主要研究方向為大地測量、工程測量。

2014-12-31。

項目來源：國家自然科學基金資助項目（51368056）；武漢大學精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局重點實驗室開放基金資助項目（PF2012-20）；新疆大學校院聯(lián)合基金資助項目（XY110135）。