楊 浩

(黃河勘測規(guī)劃設(shè)計(jì)有限公司， 河南 鄭州 450003)

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三角形面積法求隧道拱頂沉降的最優(yōu)監(jiān)測精度布設(shè)方案

楊 浩

(黃河勘測規(guī)劃設(shè)計(jì)有限公司， 河南 鄭州 450003)

使用收斂計(jì)的三角形面積法對隧道拱頂進(jìn)行沉降監(jiān)測是目前較為經(jīng)濟(jì)且能實(shí)現(xiàn)高精度變形監(jiān)測的一種重要方法，為了充分發(fā)揮這種方法的優(yōu)勢，對該監(jiān)測方法進(jìn)行了全面地?cái)?shù)學(xué)分析，通過對沉降中誤差函數(shù)求極值，以發(fā)現(xiàn)其在隧道監(jiān)測斷面上布設(shè)最優(yōu)三角形的方案，在監(jiān)測設(shè)備一定的情況下，采用最優(yōu)三角形布設(shè)方案，即把三角形的底邊長布設(shè)成是腰長的1.362 5倍時(shí)，能得到最佳的監(jiān)測精度，從而指導(dǎo)監(jiān)測工作的具體實(shí)施。

三角形面積法； 隧道拱頂； 沉降監(jiān)測； 中誤差； 最優(yōu)監(jiān)測精度

0 引言

對建筑物沉降監(jiān)測的研究已有很多報(bào)道[1-3]，也開始有這方面的專門數(shù)據(jù)處理軟件支持[4]，并能夠遵循一定的法則自動判斷沉降是否發(fā)生[5]?；谌緝x的隧道拱頂沉降監(jiān)測[6-7]由于受洞室內(nèi)不利條件限制，現(xiàn)場觀測往往很困難。因此，使用收斂計(jì)的隧道拱頂沉降監(jiān)測，由于操作簡便、易實(shí)施和精度高等優(yōu)點(diǎn)，顯示出較大的優(yōu)越性。然而，對于大洞室的變形監(jiān)測來說，使用收斂計(jì)對隧道拱頂進(jìn)行沉降監(jiān)測屬于高空作業(yè)，存在人身和設(shè)備安全問題；因此，就出現(xiàn)了等效法收斂計(jì)變形監(jiān)測方法[8]，變有危險(xiǎn)的高空作業(yè)為無危險(xiǎn)的地面作業(yè)。目前，也有研究特大斷面隧道開挖中拱頂沉降通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測[9]。對于隧道拱頂?shù)谋O(jiān)測一般分2大類，一類是巖石隧道[10]，另一類是黃土隧道[11]。對于巖石隧道，一般按隨機(jī)介質(zhì)理論假設(shè)隧道斷面的變形是均勻發(fā)生的，三角形面積法的隧道拱頂沉降監(jiān)測是基于隨機(jī)介質(zhì)理論的。

使用收斂計(jì)對隧道拱頂進(jìn)行沉降監(jiān)測是目前較經(jīng)濟(jì)且容易實(shí)現(xiàn)高精度變形監(jiān)測的一種重要方法，應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮這種方法的優(yōu)勢。截至目前，使用收斂計(jì)的三角形面積法[12-13]隧道拱頂沉降變形監(jiān)測都沒有考慮所布設(shè)的三角形邊之間的關(guān)系；但是，通過深入研究發(fā)現(xiàn)，這種監(jiān)測方法所用的等腰三角形的腰和底邊之間存在著一種嚴(yán)密的數(shù)學(xué)關(guān)系，在監(jiān)測設(shè)備一定的情況下，利用這種關(guān)系布設(shè)監(jiān)測所用的三角形可以有效提高沉降監(jiān)測精度。本文將對三角形面積法求隧道拱頂沉降的精度進(jìn)行全面分析，接著對沉降量中誤差函數(shù)求極值，從而導(dǎo)出等腰三角形的腰與底邊的嚴(yán)密數(shù)學(xué)關(guān)系，最后提出最優(yōu)監(jiān)測精度的具體三角形布設(shè)方案。

1 基本方法

如圖1所示，a、b、c為3條邊的初始值；a′、b′、c′為后來的觀測值；h0為初始觀測三角形的高；h為后次觀測三角形的高； Δh為隧道拱頂沉降量。

圖1 三角形面積法求隧道拱頂沉降示意圖

Fig. 1 Sketch diagram of tunnel crown settlement calculated by means of triangle area method

隧道拱頂沉降量的計(jì)算公式為

Δh=h0-h。

(1)

(2)

式(1)和式(2)為一般三角形的沉降量計(jì)算公式。

2 精度分析

三角形邊長的初始觀測值一經(jīng)確定，在監(jiān)測過程中是固定不變的，而邊長的后次觀測值則隨著圍巖收斂的變化而改變。在實(shí)際監(jiān)測時(shí)，邊長的變化量通過后次觀測值與其初始觀測值的比較而得出。

下面將對三角形面積法求隧道拱頂沉降公式進(jìn)行誤差分析。

2.1 假設(shè)三角形邊長的初始觀測和后次觀測為同精度的情況

在這種情況下，前、后次觀測的收斂計(jì)鋼尺讀數(shù)能夠代表邊長的實(shí)際長度。邊長的實(shí)際長度是指2個(gè)監(jiān)測點(diǎn)中心的距離，現(xiàn)假設(shè)除收斂計(jì)觀測誤差外收斂計(jì)能夠準(zhǔn)確量取這個(gè)距離。

求式(2)中的第1式關(guān)于三角形a、b、c3邊的全微分[14]

同理

(3)

mΔh=λmΔl。

(4)

2.2 顧及實(shí)際邊長誤差的情況

在這種情況下，考慮作為中誤差方程各系數(shù)中邊長本身的誤差對沉降中誤差的影響，與收斂計(jì)監(jiān)測時(shí)的量距誤差無關(guān)，兩者不同。

現(xiàn)設(shè)-Δa、-Δb、-Δc是三角形3條邊的收斂計(jì)后次觀測值與初始觀測值的差，如果沉降沒有發(fā)生，它們應(yīng)該接近0。令a=a′+Δa，b=b′+Δb，c=c′+Δc，所以

因?yàn)閐Δh=dh0-dh，所以

(5)

(6)

然而，λ前已求出。對于式(6)，如果沉降沒有發(fā)生，即a=a′、b=b′、c=c′，則Δh=0，這時(shí)λ0=0，說明λ0只與沉降發(fā)生有關(guān)，當(dāng)Δh=0時(shí)，λ0=0。

具體考察1個(gè)例子。設(shè)初始觀測值為a=8.090 3 m、b=5.936 9 m、c=5.934 4 m，后次觀測值為a′=8.041 7 m、b′=5.901 3 m、c′=5.898 8 m，則沉降量為Δh=0.026 0 m，此時(shí)λ=1.024 2，λ0=0。若其他條件不變，將c和c′都減掉0.5 m，相當(dāng)于該邊存在這樣的系統(tǒng)誤差，這與監(jiān)測時(shí)的收斂計(jì)量距精度無關(guān)，只是相當(dāng)于采用的c邊長度比其實(shí)際長度短了0.5 m，可以認(rèn)為，這時(shí)邊長的m0即為±0.5 m，則沉降量為Δh=0.026 1 m?？梢姡捎赾邊長度存在0.5 m的誤差所引起的沉降誤差不超過0.1 mm，此時(shí)λ=1.032 6，λ0=0.000 7。同樣，若其他條件不變，將c和c′都減掉1.0 m，則沉降量為Δh=0.026 4 m，所引起的沉降誤差僅有0.4 mm，此時(shí)λ=1.060 5，λ0=0.001 6。

總之，這種方法對于三角形3條邊的邊長精度m0要求不高，沉降量中誤差mΔh主要由mΔl和λ造成，將λ代入式(4)得

注意此式，將mΔl前的系數(shù)λ當(dāng)作縮放器，則mΔl經(jīng)過縮放器λ將mΔl映射為mΔh。這種縮放大多數(shù)情況下是放大的，即λ一般是不小于1的正數(shù)，除非有辦法使得λ減小。因此，下面將設(shè)法求出三角形面積法求隧道拱頂沉降的最小λmin。

3 最優(yōu)監(jiān)測精度的三角形布設(shè)

(7)

(8)

式(8)為極小監(jiān)測中誤差條件式。

通過對邊長a重新進(jìn)行求導(dǎo)和推導(dǎo)，其結(jié)果與上述結(jié)論完全相同。以資驗(yàn)核。

由式(7)得

(9)

式(9)為等腰三角形法計(jì)算公式。代入式(4)得

當(dāng)三角形底邊長a是腰長b的1.362 5倍時(shí)，λ有最小值1.024 2，此時(shí)隧道拱頂沉降中誤差為mΔh=λminmΔl=1.024 2mΔl，這時(shí)的隧道拱頂沉降中誤差接近收斂計(jì)的量距誤差，即mΔh≈mΔl。

對于算例，因?yàn)?腰長度近似相等，所以按等腰三角形的式(7)或式(9)得到的λ值與用一般三角形法的式(3)計(jì)算得到λ值相等，均為1.024 2，說明該監(jiān)測斷面所布置的三角形符合極小監(jiān)測中誤差條件式。

2腰長度之差不要太大，比如不要超過±0.5m。在設(shè)計(jì)時(shí)，可通過計(jì)算趨近法獲得這個(gè)限值，使得由此產(chǎn)生的誤差[15]在允許的范圍內(nèi)，比如可限制由此引起的沉降量中誤差不超過±0.1mm。還可以根據(jù)監(jiān)測精度要求來確定，如果監(jiān)測精度要求不高，這個(gè)差值還可以放寬，以方便洞內(nèi)的監(jiān)測作業(yè)。

4 結(jié)論與建議

變形監(jiān)測的理論、技術(shù)在不斷發(fā)展，新的研究成果不斷涌現(xiàn)，本文通過對沉降量極小中誤差分析給出了一種三角形面積法求隧道拱頂沉降的最佳精度監(jiān)測方案。根據(jù)這一方案，在采用三角形面積法監(jiān)測隧道拱頂沉降時(shí)，應(yīng)盡可能把監(jiān)測斷面上的監(jiān)測三角形布設(shè)成等腰三角形，并且使三角形的底邊長和腰長滿足沉降量極小監(jiān)測中誤差條件公式，即把三角形的腰長布設(shè)成底邊長的0.733倍，這樣在儀器設(shè)備水平一定的情況下監(jiān)測精度可達(dá)到最佳。本方法也適合于用其他儀器設(shè)備獲取三角形邊長的隧道拱頂沉降監(jiān)測方法。

本文所述三角形面積法的隧道拱頂沉降監(jiān)測是基于隨機(jī)介質(zhì)理論的，并且用收斂計(jì)量取三角形的邊長，一般適用于對隧道圍巖收斂時(shí)的隧道拱頂沉降監(jiān)測；對于僅發(fā)生隧道拱頂沉降的監(jiān)測工作，是否也適用于三角形面積法以及應(yīng)用本文提出的沉降量極小監(jiān)測中誤差條件式布設(shè)監(jiān)測所用的三角形，還有待于繼續(xù)研究。

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Optimal Layout of Monitoring Points for Tunnel Crown Settlement by Using Triangle Area Method

YANG Hao

(YellowRiverEngineeringConsultingCo.,Ltd.,Zhengzhou450003,Henan,China)

The triangle area method for tunnel crown settlement monitoring by using convergence gauge is an economical and high-precision deformation monitoring method. The mathematical analysis is made on the triangle area method; and an optimal triangle layout of monitoring points is decided by calculating peak value of medium error function of settlement. The results show that the underside length of the triangle, equaling 1.362 5 times waist length, is the best choice which can achieve optimal monitoring precision.

triangle area method; tunnel crown; settlement monitoring; medium error; optimal monitoring precision

2015-12-18;

2016-02-19

楊浩(1957—)，男，河南孟津人，1996年畢業(yè)于鄭州解放軍總參謀部測繪學(xué)院，工程測量與地籍管理專業(yè)，本科，高級工程師，主要從事航空攝影測量與工程測量以及計(jì)算機(jī)軟件研發(fā)工作。E-mail: canyine@163.com。

10.3973/j.issn.1672-741X.2016.07.016

U 45

A

1672-741X(2016)07-0868-04