王憲杰，黃佳偉，王淑云

(1．煙臺大學數(shù)學與信息科學學院，山東 煙臺 264005；2.煙臺大學經(jīng)濟管理學院，山東 煙臺 264005)

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一類具有生存/危險特征的生鮮品價格策略研究

王憲杰1，黃佳偉1，王淑云2

(1．煙臺大學數(shù)學與信息科學學院，山東 煙臺 264005；2.煙臺大學經(jīng)濟管理學院，山東 煙臺 264005)

研究了一個周期內(nèi)零售商對一種易變質(zhì)生鮮品的訂購和價格決策問題。引入價格轉折點概念，變質(zhì)率具有三參數(shù)生存/危險特征的Weibull分布，需求率依賴于變質(zhì)率和價格，建立利潤最大化的目標函數(shù)，將求解最優(yōu)價格的問題轉化為帶有控制的Bolza問題，得到最優(yōu)價格表達式。通過算例，研究了價格敏感度和價格轉折點變化對利潤的影響，進一步給出了靈敏度分析和價格彈性分析；對于生鮮品，隨著時間的推移，銷售價格越來越低；對銷售價格敏感的顧客，銷售量隨著價格轉折點的滯后而降低，但在整個銷售階段的1/2到3/5附近進行價格調(diào)整有助于增加利潤。

易變質(zhì)生鮮品；價格轉折點；生存/危險特征

1 引言

近年來，隨著生活節(jié)奏的加快和商品時效性的加強，冷鏈品的庫存研究日益受到重視。早在1963年，Ghare和Schrsder[1]研究了關于易過時品在固定需求下的庫存模型，并給出了生鮮品庫存模型：dI(t)/dt=-θI(t)-D(t)，為今后的生鮮品庫存策略研究奠定了基礎。但實際中，需求率往往是變化的，尤其是對生鮮食品而言。Dave和Patel[2]，Sachan[3]假設需求率是隨時間和變質(zhì)率變化的線性函數(shù)，研究了在有限補貨期內(nèi)如何得到最優(yōu)補貨量的問題，并在瞬時補貨的前提下找到了最優(yōu)補貨量。劉玲和陳淮莉[4]為生鮮品廠商通過雙渠道銷售生鮮產(chǎn)品提供了理論支撐，并針對具體的實例給出了最優(yōu)的銷售價格和最優(yōu)的產(chǎn)量。上述研究中假設條件相對嚴格，缺乏動態(tài)性。如今隨著生活節(jié)奏的加快，無論線上還是線下的銷售都受價格變化的影響很大。因此，考慮價格對供應鏈整體的影響時，價格波動就尤為重要。

Shah[5]針對變質(zhì)率問題，提出了兩參數(shù)Weibull分布函數(shù)并將其應用于生鮮品的庫存模型，使生鮮品變質(zhì)率研究更加精確，但由于假設商品入庫后即刻變質(zhì)，而忽視了生鮮品變質(zhì)發(fā)生的滯后性。王道平等[6]在變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布情形下，研究了生鮮品的庫存優(yōu)化問題。Yang Huiling[7]建立了變質(zhì)率服從三參數(shù)Weibull分布的兩倉庫易腐產(chǎn)品庫存模型，模型中允許部分延遲交貨且考慮通貨膨脹對庫存的影響，證明了最佳庫存策略的存在性和唯一性。螃蟹等鮮活產(chǎn)品在進入零售后的一段時間內(nèi)不會發(fā)生顯著變質(zhì)，且保質(zhì)期具有不確定性。因此，引入一種具有變質(zhì)始點的三參數(shù)生存/危險Weibull分布函數(shù)來擬合生鮮品的變質(zhì)率。Weibull分布作為刻畫生存/危險特征的一種有效分布函數(shù)，廣泛應用于易腐品的變質(zhì)及銷售壽命等數(shù)學模型中[5-8]。

馮穎等[9]研究了隨機需求下易變質(zhì)產(chǎn)品的訂購和定價策略，給出易變質(zhì)產(chǎn)品最優(yōu)訂購與定價策略的求解方法，但在處理需求率的隨機變化時，缺少變質(zhì)程度對需求率的影響。陳曉旭等[10]針對第三方物流參與的三級冷鏈系統(tǒng)庫存問題進行研究，對比了分散決策與集中決策下系統(tǒng)利潤，發(fā)現(xiàn)僅僅依賴集中決策的方式無法真正實現(xiàn)供應鏈系統(tǒng)的協(xié)調(diào)。熊峰等[12]針對生鮮農(nóng)產(chǎn)品供應鏈中產(chǎn)品價格、盟員關系不穩(wěn)定的現(xiàn)象進行了研究，并對傳統(tǒng)的關系契約進行了改進，保障了供應鏈系統(tǒng)的利潤，但沒有考慮價格變化對需求的影響。Roy和Chaudhuri[12]把需求函數(shù)進一步擴展到依賴于價格和庫存量的多元函數(shù)，對于生鮮品而言，變質(zhì)程度對需求率的影響比庫存量的影響更大。慕銀平和劉利明[13]分析了在供應鏈系統(tǒng)中，當市場價格大幅波動時，企業(yè)通過價格柔性策略來保障供應鏈系統(tǒng)各主體的利潤。李琳和范體軍[14]研究了農(nóng)產(chǎn)品實時價值損耗信息下零售商的定價與訂購策略，其結果顯示靈活的定價策略有助于零售商獲取更大的市場需求量及更大的收益。王憲杰[15]在不允許缺貨的庫存模型中，將總費用對采購量與采購周期的局部彈性應用到庫存管理彈性控制[16]。

生鮮海產(chǎn)品是一類特殊的易變質(zhì)產(chǎn)品，與牛奶、罐頭等具有固定生命周期的易變質(zhì)品不同，更具有隨機的生命周期，并且會受到銷售情況的影響。所以，實際銷售中，往往會根據(jù)產(chǎn)品的新鮮度，做出價格調(diào)整，何時進行價格調(diào)整以獲得最優(yōu)利潤就顯得非常重要。吳忠和等[17]研究了針對生鮮品供應鏈對突發(fā)事件的系統(tǒng)協(xié)調(diào)問題，研究表明在零售商期望成本的范圍內(nèi)，價格和生產(chǎn)計劃具有一定的魯棒性，適當?shù)臄_動是可以接受的。段永瑞[18]研究了需求依賴于價格的兩類顧客定價和訂購聯(lián)合決策問題，討論了區(qū)別定價對利潤的影響。上述論文中，模型中雖然考慮了變質(zhì)率，通常將其假設為常數(shù)且分別考慮需求和變質(zhì)對庫存管理的影響，缺少它們之間的相互作用與影響。

在考慮變質(zhì)庫存模型同時，本文進一步把對生鮮品需求的擾動具體到變質(zhì)率和價格，通過價格轉折點的變化，以動態(tài)定價實現(xiàn)利潤最大化。以生鮮海產(chǎn)品為例，建立價格受變質(zhì)率影響且需求受價格影響的庫存模型，變質(zhì)率具有生存/危險特征及動態(tài)性，引入價格轉折點的概念并通過價格調(diào)整協(xié)調(diào)系統(tǒng)利潤。在算例分析中運用了價格彈性的相關理論，使所得結論更具實用性。

2 模型建立

2.1 問題描述

隨著時間的推移，生鮮品變質(zhì)的程度會逐漸加重，這將對生鮮品的品相和質(zhì)量產(chǎn)生顯著影響，進而會導致需求率的變化。因此我們將變質(zhì)率用具有生存/危險特征的三參數(shù)Weibull函數(shù)來表示，需求率依賴于變質(zhì)率和價格。在不影響食用的情況下，零售商會擇機采取降價策略以提高銷售量來保證足夠的利潤。鑒于此，本文以一個周期T為例，采用周期盤點的(T，Q)庫存策略，以利潤最大化為目標，建立庫存模型，進一步利用帶有控制輸入的Bolza問題求解方法，求解出最優(yōu)價格策略。

2.2 模型假設

1)零售商處的顧客需求率是連續(xù)的、依賴于價格的函數(shù)；

2)系統(tǒng)不允許缺貨，不考慮提前期；

3)生鮮品入庫后經(jīng)過一段時間才發(fā)生變質(zhì)(不同的生鮮品發(fā)生變質(zhì)的始點不同)；

4)變質(zhì)率為時間的函數(shù)，本文中引入Weibull生存/危險函數(shù)體現(xiàn)時變變質(zhì)率；

5)在固定的周期內(nèi)，只考慮一種生鮮品；

6)持有成本是針對完好生鮮品(即未發(fā)生變質(zhì)的生鮮品)的庫存成本；

7)當變質(zhì)程度達到θ1水平時，零售商采取降價措施，此時生鮮品仍具有使用價值；當變質(zhì)程度達到θ2水平時，產(chǎn)品完全失去使用價值。

2.3 參數(shù)表示

d(p,t) 依賴于價格的需求函數(shù)d(p,t)=(a-bp(t))；

a,b a表示最大的需求率，b表示顧客對價格的敏感程度；

p(t) 生鮮品的單位價格，本文分了兩個階段，分別用p1、p2表示；

θ 指變質(zhì)的程度，本文中的兩個臨界值分別用θ1、θ2表示；

t 生鮮品在庫存中存在的時間，t>0；

f(t) 生鮮品的三參數(shù)密度函數(shù)，f(t)=αβ(t-γ)β-1e-α(t-γ)β，其中α尺度參數(shù)(α>0)，β形狀參數(shù)(1<β<2),γ位置參數(shù)(γ>0)；

F(t) f(t)的分布函數(shù)，F(xiàn)(t)=1-e-α(t-γ)β；

R(t) 生鮮品的生存函數(shù)， R(t)=P(T>t)=1-F(t)；

I(t) t時刻的庫存水平，t>0；

T 整個的補貨間隔期；

Q 期初補貨量；

S 訂購成本；

h 零售商的單位庫存持有成本；

c1零售商的單位訂購成本；

c2零售商的單位變質(zhì)成本。

2.4 數(shù)學模型

將一個補貨周期作為研究周期，稱為第一個周期，同時模型適應于任意周期，在第一個周期上建立庫存時間坐標系。在初始時刻假定系統(tǒng)的庫存水平為Q(即整個系統(tǒng)的補貨量為Q)，在需求率和變質(zhì)率的雙重作用下庫存水平逐漸下降。在t1時刻，由于變質(zhì)率對生鮮品的品相影響，所以采取降價措施，稱時刻t1為價格轉折點。在t2時刻，變質(zhì)率已經(jīng)影響了生鮮品的質(zhì)量，剩余庫存為變質(zhì)損失，庫存水平變化如圖1所示。假設不存在缺貨且在周期末T時刻，庫存水平降到零。至此，一個周期結束。

圖1 庫存水平隨時間變化趨勢

我們以價格轉折點為分界點，將一個補貨周期分為[0,t1]和[t1,T]兩個階段，則庫存水平分別滿足：

(1)

(2)

求解微分方程式(1)、(2)得：

(3)

(4)

由于價格轉折點處I1(t)=I2(t)，利用泰勒展開得：

(5)

根據(jù)系統(tǒng)收益、庫存成本、采購成本和變質(zhì)成本的定義及計算方法，結合式(3)、式(4)和式(5)得：

在[0,T]時間內(nèi)，總收益為：

(6)

總庫存成本為：

(7)

總采購成本為：

OD=Qc1,

(8)

總變質(zhì)成本為：

(9)

所以，總利潤為：

(10)

鑒于價格函數(shù)p(t)的連續(xù)性，由式(1)、式(2)、式(6)及令CO=OD+SC+S，得到利潤最大化的最優(yōu)控制問題：

(11)

(12)

在整個補貨周期T中，隨著時間的推移，生鮮品的變質(zhì)程度會逐漸增大，因此，不僅失去使用價值，還要支付額外處理費用。當變質(zhì)程度達到θ2水平時，產(chǎn)品完全失去使用價值，這個時間點 t2是固定的。因此銷售周期在T≤t2前提下，T越短愈好。

假設2：銷售價格p(t)不低于生鮮品的進價c1，因此將p(t)≡c1代入價格轉折點式(5)得：

(13)

對于式(11)、式(12)描述的具有約束條件的變分問題，為了避免討論δI(t)通過狀態(tài)方程受δp(t)的限制問題，引入待定乘子函數(shù)λ(t)，構造如下的哈密爾頓函數(shù)：

(P1)的哈密爾頓函數(shù)為：

H(t,I,p,λ)=p(t)d(p(t))-hI(t)+λ(t)[-θ(t)I(t)-d(p(t))]

(14)

則取得極值的必要條件為狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程滿足：

(15)

(16)

令p*(t)為最優(yōu)銷售價格，則p*(t)滿足：

(17)

3 模型求解

令：t1=xT,則：

(18)

NP(p1,p2)關于p1和p2的一階偏導數(shù)分別為：

(19)

(20)

NP(p1,p2)關于p1和p2的Hessian矩陣為：

(21)

(22)

(23)

(24)

不同的生鮮品利潤目標NP(p1,p2,x)不同，再此無需給出抽象目標函數(shù)的價格轉折點。當利潤目標確定后，容易給出價格轉折點的x解析表達式，下面通過算例分析x,p1,p2變化對利潤函數(shù)NP(p1,p2,x)的影響。

4 算例分析

為了更好地說明數(shù)學模型的理論指導性，本文通過具體算例進行分析和計算，所涉及的參數(shù)值如下[12]：周期T=30，a=400，采購成本c1=100，生鮮品的單位庫存持有成本h=20，生鮮品的單位變質(zhì)成本c2=40，訂購成本S=10，尺度參數(shù)α=0.01，形狀參數(shù)β=1.5，位置參數(shù)γ=2，變質(zhì)率的臨界值θ2=0.08。

引入x(x∈[0,1])，令xT=t1，通過x的變化來體現(xiàn)價格轉折點變化，如果x=0則表示立即打折銷售，即按照價格p2銷售，使用式(2)的微分方程。如果x=1則表示不進行打折銷售，即按照價格p1銷售，使用式(1)的微分方程。同時，考慮如下兩種顧客，一種是需求受價格影響比較大的顧客，稱為敏感性顧客；另一種需求受價格影響不大的顧客，稱為不敏感顧客。算例中討論x∈(0,1)，b∈[0,15]的情況。

根據(jù)上述算例，利用Matlab進行數(shù)據(jù)處理，當x與b變化時，最優(yōu)價格p1,p2的變化、補貨量以及利潤的變化趨勢，如圖2、圖3和圖4。

圖2 價格p1和p2隨敏感系數(shù)b和折扣點x的變化趨勢

由圖2知，此時p2

圖3 補貨量Q隨敏感系數(shù)b和折扣點x變化趨勢

由圖3知，對于價格不敏感的顧客，補貨量的多少與何時調(diào)整價格關系不大；相反對于價格敏感的顧客，價格的轉折點越滯后，那么補貨量是逐漸降低的。因此，在實際生產(chǎn)中，對價格敏感顧客，及時的進行價格調(diào)整可以保證足夠的銷售量。

圖4 利潤NP隨敏感系數(shù)和折扣點x的變化趨勢

由圖4知，利潤NP是關于敏感系數(shù)b的增函數(shù)，當需求量受價格影響明顯時，零售商的利潤相對越高。針對本節(jié)算例中提出的相關參數(shù)，當x在0.6附近時，進行價格調(diào)整，會獲得較高的利潤。因此，如果需求受價格影響明顯，就需要適時進行價格調(diào)整以增大收益。

5 結語

本文以利潤最大化為目標，研究了需求率依賴于變質(zhì)率和價格，變質(zhì)率為具有三參數(shù)生存/危險特征的Weibull分布的一類生鮮品庫存策略，并通過協(xié)調(diào)價格轉折點提高系統(tǒng)利潤。論文對構建的數(shù)學模型進行了求解，并通過算例給出了合適的價格轉折點時間。算例分析說明，對于生鮮品，隨著時間的推移，銷售的價格越來越低，對銷售價格敏感的顧客，銷售量隨著價格轉折點的滯后而降低，但在整個銷售階段的1/2到3/5附近調(diào)整價格有助于增加利潤，對零售商的銷售策略有較好的指導意義。

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Pricing Policy for a Class of Fresh Goods with Survival and Hazard Characteristics

WANG Xian-jie1，HUANG Jia-wei1，WANG Shu-yun2

(1.School of Mathematics and Information Sciences, Yantai University, Yantai 264005, China;2.School of Economics and Management, Yantai University,Yantai 264005, China)

In recent years, the supply chain of cold chain has become increasingly frequent and the fresh product occupies an important proportion. Fresh product is a special kind of perishable commodity, which has a random life cycle and can be influenced by sales. So, retailers tend to make price adjustments based on the freshness of the product. The time of changing price is particularly important. In the case of no effect on normal consumption, the retail will take the price strategy to ensure sufficient profit.The ordering and pricing decision problem with a class of perishable fresh goods for the retailer is studied in one cycle, and the concept of price change point is introduced. The deterioration rate is represented by the three-parameter Weibull distribution, and the demand rate is the function of deterioration rate and the price together. The function of profit maximization is established. Solving the price function can be converted to a controllable Bolza problem which will get the optimal price representation. Through the example, the effect of price sensitivity and price turning point on the profit is studied. Further the sensitivity analysis and the price elasticity are analyzed. It shows that with the time elapsed, the sale price of fresh goods is more and more low; the more sensitive of the customers on price, the backer of the price turning point meanwhilethe price adjustment in the entire sales phase of the 1/2 to the 3/5 near to help increase profits.

fresh perishable goods; price turning point; survival/hazard characteristics

2015-05-20；

2015-12-19

國家自然科學基金資助項目(71672166,71372122)；山東省研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目(SDYY13060)

簡介：王淑云(1965-)，女(漢族)，山東棲霞人，煙臺大學經(jīng)濟管理學院教授，河北工業(yè)大學經(jīng)濟管理學院博士生導師，研究方向：物流與供應鏈管理，E-mail：jgwsy@ytu.edu.cn.

F274

A

1003-207(2016)09-0133-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.09.016