史建芳

(忻州師范學(xué)院 五寨分院,山西 忻州 036200)

利用初等函數(shù)求解BISHOP法

史建芳

(忻州師范學(xué)院 五寨分院,山西 忻州 036200)

BISHOP法求解邊坡問題是被廣泛使用的一種方法，但是傳統(tǒng)的BISHOP法是連加數(shù)學(xué)模型，在施工工程中計算量較大、計算精度降低,不利于工程實際中的使用。初等函數(shù)是分析學(xué)中最為常見的函數(shù)，工程人員使用較為簡單的設(shè)備便可以計算。針對傳統(tǒng)BISHOP法的連加數(shù)學(xué)模型，利用微分工具將其轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的形式，并根據(jù)初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，探究BISHOP法邊坡問題的數(shù)理關(guān)系，從而有效地避免傳統(tǒng)BISHOP法浩繁的計算量和函數(shù)發(fā)散的風(fēng)險。

初等函數(shù)；連加數(shù)學(xué)模型；積分形式；BISHOP法

BISHOP法是邊坡分析中的經(jīng)典算法[1]，相較于Fellenius法、Janbu法、Sarma法、Morgenstern & Price法、Spencer法。BISHOP法的計算精度更高、計算思路更加清晰，被認(rèn)為是計算邊坡問題的最優(yōu)方法，也代表了邊坡問題最小安全系數(shù)的正確解。

但是，傳統(tǒng)BISHOP法是連加數(shù)學(xué)模型，在計算的時候，需要對邊坡進行分塊，然后逐次累加，在累加的基礎(chǔ)上，再進行滑弧的遍歷。如此一來，計算量便十分浩繁[2]。同時，由于分塊對于精度有著不可忽視的影響，導(dǎo)致傳統(tǒng)BISHOP法在精度上不能精確。相關(guān)研究學(xué)者試圖利用初等函數(shù)對傳統(tǒng)的BISHOP法進行改進，這些改進是建立在新的假設(shè)的基礎(chǔ)上，由于這些新的假設(shè)并不符合工程實際，其計算方法也較為復(fù)雜，導(dǎo)致改進后的BISHOP法計算復(fù)雜度反而增加，降低了計算效率[3]。

本文針對傳統(tǒng)意義上的BISHOP法，利用數(shù)學(xué)上的微分工具，將傳統(tǒng)BISHOP法的連加數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為用初等函數(shù)表示的積分?jǐn)?shù)學(xué)模型。對初等函數(shù)進行分析，探究BISHOP法邊坡問題數(shù)理上的相關(guān)隱含規(guī)律[4]。

1 傳統(tǒng)BISHOP法的數(shù)學(xué)模型

1.1 傳統(tǒng)BISHOP法數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

圖1是傳統(tǒng)BISHOP法的土條分塊示意圖，其中，每一個土條的編號為i；i號土條下端滑弧的長度為li；i號土條的重量為Wi；i號土條下端滑弧中點的法線與圓心的夾角為θi，θi可為正也可以為負(fù)；滑弧所在的圓心為點O；滑弧的半徑為R；為作用在土條滑弧上的抗剪力；為作用在土條滑弧上的有效法向反力；uili為孔隙水壓力；Ei為土條左側(cè)側(cè)的法向力；Ei+1為土條右側(cè)側(cè)的法向力。

圖1 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

在土條的豎直方向，有

(1)

抗剪力為

(2)

可以表示為

(3)

其中

(4)

因為對圓心存在力矩平衡，故而

R.

(5)

聯(lián)立式(2)、式(3)、式(4)、式(5)，得到

(6)

令ΔXi均為0，有

(7)

因為

ui=γhiB,

(8)

式(7)可以寫成

(9)

式中：γ為重度[5]。

1.2 傳統(tǒng)BISHOP法數(shù)學(xué)模型的缺點

傳統(tǒng)連加數(shù)學(xué)模型是基于土條劃分的，土條劃分的情況必然會對最終結(jié)果造成影響[6]。以文獻[15]為例：均質(zhì)土坡的坡高H=50m，重度γ=20kN/m3，坡比tanα=1∶3.25，內(nèi)摩擦角tanφ=0.2，黏聚力c=60kPa。先根據(jù)不同的分條數(shù)量N，分別進行最小安全系數(shù)Ks的求解，繪制圖形如圖2所示。

圖2 分條數(shù)量N對最小安全系數(shù)的影響

根據(jù)圖2，當(dāng)N=3時，Ks≈1.705；當(dāng)N=45時，Ks≈1.365，誤差高達25%。說明傳統(tǒng)BISHOP的連加數(shù)學(xué)模型對土條劃分條數(shù)N有著很強的依賴性[7]。

2 基于初等函數(shù)的BISHOP積分形式求解

圖3中，H是坡高；O是坐標(biāo)原點，坡腳在其右上方處，水平距離為1.5H，豎直距離為H；O′是滑弧的圓心，R為滑弧的半徑；α為坡角；區(qū)域D為坡底、坡面和坡頂與滑弧所圍成區(qū)域；黑色條帶部分為土條；i是土條的編號；θi是第i號土條的底面中點的法線與鉛垂線的夾角，若θi位于鉛垂線的左邊則為負(fù)；若θi位于鉛垂線的右邊則為正[8]。

圖3 計算坐標(biāo)系

圖4中，dσ是微分單元，θ是dσ的底部中點的法線與鉛垂線的夾角。根據(jù)圖4，可以將滑弧的方程寫作：

(x-x0)2+(y-y0)2=R2.

(10)

對于θ，有

(11)

圖4 土坡微分形式

所以，θ的正弦和余弦可以表示為

(12)

所以，

(13)

其中：f(x)是坡面函數(shù)：

(14)

∑Wisinθi可寫作

∑Wisinθi=

x.

(15)

x.

(16)

x.

(17)

聯(lián)立式(13)、式(14)、式(15)、式(16)、式(17)，得到BISHOP法的積分形式

(18)

其中，

(19)

x.

(20)

將式(18)寫成顯函數(shù)的形式

其中，

(22)

至此，利用初等函數(shù)建立了安全系數(shù)K的表達式。

3 結(jié)果分析

3.1 計算精度

參考[9]的算例：一均質(zhì)土坡，坡高H=50m，重度γ=19.62kN/m3，內(nèi)摩擦角tanφ=0.2 ，黏聚力c=58.86kPa。坡比取1∶2.25，1∶2.50，1∶2.75，1∶3.00及1∶3.25共5種情形，分別使用瑞典法、傳統(tǒng)BISHOP方法(傳統(tǒng)連加數(shù)學(xué)模型)、基于初等函數(shù)的BISHOP法(積分?jǐn)?shù)學(xué)模型)進行計算，結(jié)果列于表1。

表1 不同坡比下的安全系數(shù)

通過表1可以看出：邊坡安全系數(shù)的半解析BISHOP法是傳統(tǒng)BISHOP法的下限解，半解析BISHOP法所得安全系數(shù)為傳統(tǒng)BISHOP法所得安全系數(shù)的96%～99%。無論是半解析BISHOP法還是傳統(tǒng)BISHOP法，其所得安全系數(shù)均比瑞典法所得安全系數(shù)要大，這與實際是相符的。

3.2 計算效率

某均質(zhì)土坡如圖 2 所示，其中，坡高H=19m；坡角α=45°；重度γ=19.62kN/m3；黏聚力c=40kPa；摩擦角φ=18°。通過計算分別得出強度折減法、傳統(tǒng)BISHOP法、半解析BISHOP方法計算邊坡最小安全系數(shù)Ks和計算時間(見表2)。

表2 不同計算方法所得到的安全系數(shù)與計算耗時

根據(jù)表2，半解析BISHOP法所得結(jié)果非常合理且比強度折減法和傳統(tǒng)BISHOP法都精確[12-14]。此外，傳統(tǒng)BISHOP法計算量浩大，計算耗時約為強度折減法的1.5倍。但半解析BISHOP法因其算法簡明，故對計算機內(nèi)存、CPU的占用率以及耗時極少。半解析BISHOP法的耗時約為強度折減法的5%，約為1.3%。

3.3 參數(shù)對于安全系數(shù)的影響

以文獻[15]為例，均質(zhì)土坡的坡高H=50m，重度γ=20kN/m3，坡比tanα=1:3.25，內(nèi)摩擦角tanφ=0.2，粘聚力c=60kPa。利用式(21)、式(22)可知，最危險滑弧的位置

(23)

1)坡高的影響。取H=40m、45m、55m、60m，其余參數(shù)不變，利用式(21)、式(22)可知最危險滑弧的位置，如表3所示。

表3 坡高的影響

其余參數(shù)不變的情況下，H越大，K越小，x0,y0,R的值越大。

2)坡角的影響。取tanα=1∶4.25、1∶3.75、1∶2.75、1∶2.25，其余參數(shù)不變，利用式(21)、式(22)可知最危險滑弧的位置,如表4所示。

其余參數(shù)不變的情況下，α越大，K,x0,y0,R越小。

3)重度的影響。取γ=18kN/m3、19kN/m3、21kN/m3、22kN/m3，其余參數(shù)不變，利用式(21)、式(22)可知最危險滑弧的位置，如表5所示。

表4 坡角的影響

表5 坡高的影響

其余參數(shù)不變的情況下，γ越大，K,x0越小，y0,R越大。

4)內(nèi)摩擦角的影響。取tanφ=0.1、0.15 、0.25、0.3，其余參數(shù)不變，利用式(21)、式(22)可知最危險滑弧的位置,如表6所示。

表6 內(nèi)摩擦角的影響

其余參數(shù)不變的情況下，φ越大，K,y0,R越大，x0的值越小。

5)粘聚力的影響。取c=50kPa、55kPa、65kPa、70kPa，其余參數(shù)不變，利用式(21)、式(22)可知最危險滑弧的位置，如表7所示。

表7 粘聚力的影響

其余參數(shù)不變的情況下，c越大，K,x0越大，y0,R的值越小。

4 結(jié) 論

利用初等函數(shù)求解BISHOP，得出以下結(jié)論：

1)基于初等函數(shù)的BISHOP積分模型的計算精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)連加數(shù)學(xué)模型；

2)基于初等函數(shù)的BISHOP積分模型的計算速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他邊坡安全系數(shù)計算方法；

3)其余參數(shù)不變的情況下，H越大，K越小，x0,y0,R的值越大；

4)其余參數(shù)不變的情況下，α越大，K，x0，y0，R越?。?/p>

5)其余參數(shù)不變的情況下，γ越大，K，x0越小，y0，R越大；

6)其余參數(shù)不變的情況下，φ越大，K，y0，R越大，x0的值越?。?/p>

7)其余參數(shù)不變的情況下，c越大，K，x0越大，y0，R的值越小。

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[責(zé)任編輯：郝麗英]

A method of BISHOP based on elementary fanctions

SHI Jianfang

(Wuzhai Sorting of Shanxi Province,Xinzhou teachers college,Xinzhou 036200,China)

BISHOP method is a kind ofwidely used method to solve the slope problem, but the traditional BISHOP method is a coupled mathematical mode, in the construction project, the computation is large and the precision of calculation is reduced, it doesn’t use into the actual project. The elementary function is the most common function in the analysis, in practical engineering, the engineering personnel can be calculated by using a relatively simple device. This paper?aimed at the coupled mathematical model of traditional BISHOP method, using differential tools to transform it into the form of elementary functions, and according to the correlation property of elementary function, explore the mathematical relation of BISHOP method of slope problems, in order to avoid large calculation of traditional BISHOP method and the risk of divergence of function.

elementary function; coupled mathematical model; integral form; BISHOP method

10.19352/j.cnki.issn1671-4679.2016.06.012

2016-07-05

史建芳(1982-)，女，講師，研究方向:初等數(shù)學(xué)函數(shù)的值域.

O174

A

1671-4679(2016)06-0049-06