熊文全,胡家興
(1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院,重慶 400015)
抗差自適應Kalman濾波模型的可行性分析
熊文全1,胡家興1
(1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院,重慶 400015)
將抗差估計原理引入到經(jīng)典Kalman濾波(CKF)方法中,即抗差自適應Kalman濾波(RAKF),在抑制觀測粗差及狀態(tài)擾動方面,存在明顯的優(yōu)勢。通過大壩變形監(jiān)測實例說明,在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中RAKF比CKF解算結(jié)果更可靠有效。RAKF在抑制狀態(tài)預報粗差及觀測粗差方面的優(yōu)勢是顯而易見的,是一種可行的有效估值方法。
CKF;RAKF;自適應因子;可行性
Kalman濾波在測量數(shù)據(jù)處理,特別是在工程變形和地殼變形、動態(tài)數(shù)據(jù)處理與GPS定位定軌等方面的應用廣泛[1]。CKF是一種高效濾波,但容易受觀測樣本和參數(shù)預報值質(zhì)量的影響,抗差Kalman濾波能有效解決各種因觀測值或參數(shù)預報值的質(zhì)量問題而引起的參數(shù)解不可靠問題,可有效減小觀測值隨機噪聲;但其可靠性必須以重復迭代計算為代價[2-3]。而自適應Kalman濾波可以較好地減小狀態(tài)預報值的隨機誤差[4-5]。將二者的優(yōu)勢結(jié)合起來,采用RAKF,從理論上可以得到更加可靠的結(jié)果。
本文首先介紹了RAKF的基本原理,再通過實例說明了它在抑制觀測粗差及狀態(tài)擾動方面存在的明顯優(yōu)勢,并在數(shù)據(jù)濾波估計方面比CKF值更可靠有效。當系統(tǒng)狀態(tài)預報值或觀測值存在粗差,或二者同時存在時,RAKF能有效抑制它們所帶來的不良影響。
式中,LK為觀測向量;AK為設計矩陣;VK為殘差向量,其協(xié)方差矩陣為QK;XK為狀態(tài)參數(shù)向量;XK-1為K-1歷元的狀態(tài)向量,其估計值為K-1,K-1的殘差向量為;WK-1為狀態(tài)方程誤差向量,相應協(xié)方差陣為QWK-1;ΦK,K-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。假設在K時刻增加新觀測LK,K-1歷元的狀態(tài)XK-1的濾波值為K-1,相應觀測誤差方程和狀態(tài)誤差方程分別為:
抗差自適應濾波的基本原則為:
式中,αK為自適應因子;為觀測量L的抗K差等價權(quán),它是觀測向量權(quán)矩陣的自適應估值;PXK為的權(quán)矩陣[6]。則抗差自適應濾波的解為:
則上述抗差自適應濾波解可表示成式(7)的形式。其中增益矩陣和濾波方差分別為:
可知,當α=1,RAKF就是經(jīng)典的抗差Kalman濾波。
對于其預測值的精度可采用式(10)進行[1,6]:
自適應因子α由觀測信息與狀態(tài)預測信息不符值確定,具有實時自適應功能。它作用于預測狀態(tài)向量K的協(xié)方差矩陣,主要對狀態(tài)不符值或狀態(tài)擾動進行自適應修正,以達到抵抗狀態(tài)誤差的擾動效果[7-9]。自適應因子一般取值在0至1之間。因此假設K時刻狀態(tài)參數(shù)的真值為XK,則與一步預測值K之差為[8,10]:
但是,一般狀態(tài)參數(shù)的真值是無法知道的,因此這里取由K時刻觀測值直接求解出的抗差解近似代替其真值,其中為抗差等價權(quán)。則式(14)可寫成:
當抗差解與一步預測值相同時,Y為零,即近似認為系統(tǒng)不存在擾動或系統(tǒng)擾動很小,其對濾波值精度影響可忽略不計。當Y值越小,即由觀測值求出的抗差解與一步預測值越接近,從數(shù)學期望的角度來說,一步預測值的期望值更加接近由觀測值直接求出的抗差解。
因此,可以采用M估計中的Huber函數(shù)來確定自適應因子的取值,其具體公式如下:
式中,c一般取1.5~2。當Y值越大,其對應的自適應因子越小,從而降低其所對應的狀態(tài)參數(shù)權(quán)值,達到抵抗系統(tǒng)可能存在的粗差的目的,并抑制狀態(tài)預報誤差對濾波值的影響。
某大壩上布設了5個水平變形監(jiān)測點,2012年初對其進行了近一個月的連續(xù)水平變形監(jiān)測,觀測值為等時間間隔(1 d)?,F(xiàn)將其中一點(P4點)28期的水平徑向原始觀測值列于表1[11],對此進行CKF處理和RAKF處理,其中狀態(tài)參數(shù)的初始值由前兩期的觀測結(jié)果確定,從第2期開始進行濾波處理。
1)大壩動態(tài)變形監(jiān)測系統(tǒng)的Kalman濾波數(shù)學模型的建立。由于在構(gòu)筑物的變形監(jiān)測中,系統(tǒng)一般是定常的,且動力模型噪聲WK和觀察噪聲V 一般都是平穩(wěn)隨機序列,故ΦK.K-1、AK、QWK-1和QK都是常陣。
設觀測點的狀態(tài)向量為XK=[X,λ]T,其中X為徑向觀測值;λ為觀測點的徑向變動速率,由式(1)、(2)得狀態(tài)方程和觀測方程,其轉(zhuǎn)移矩陣及系數(shù)矩陣分別為:
3)Kalman濾波分析。CKF與RAKF進行預報及濾波后預報殘差、濾波殘差及其相應精度見圖1。
表1 P4點28期水平徑向原始觀測值/mm
圖1 無粗差時RAKF與CKF預報及濾波比較
從圖1可知,當觀測值及狀態(tài)預報值不存在粗差的前提下,CKF和RAKF濾波在進行狀態(tài)預報及濾波時,無論從預報殘差和預報精度,還是從濾波殘差和濾波精度上,RAKF總體上明顯優(yōu)于CKF。因此,RAKF濾波在進行變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與預報時,只要數(shù)學模型建立合理,濾波值與預報值都明顯優(yōu)于CKF,并能足夠滿足工程要求。
RAKF在抑制狀態(tài)預報粗差及觀測粗差對預報值和濾波值的影響方面,本文采用3種方案進行分析。
方案1:對濾波狀態(tài)初始值加入粗差,即在第1次初始值預報時,人為加入了5 mm的誤差,即X0=[92.69 mm,0.47 mm/d],對P4點的28期數(shù)據(jù)分別進行CKF和RAKF處理,得到的預報值和濾波值分別與原始觀測值作差,得到相應的殘差圖及精度見圖2。
方案2:對P4點的28期原始觀測數(shù)據(jù)中第3期和第8期分別加入3 mm和5 mm的粗差,分別進行CKF和RAKF處理,得到的預報值和濾波值分別與原始觀測值作差,得到相應的殘差圖及精度見圖3。
方案3:對濾波狀態(tài)初始值加入粗差5 mm的同時,并對P4點的28期原始觀測數(shù)據(jù)中第3期和第8期分別加入3 mm和5 mm的粗差,即方案1與方案2的疊加,然后分別進行CKF和RAKF處理,得到的預報值和濾波值分別與原始觀測值作差,得到相應的殘差圖及精度見圖4。
圖2 狀態(tài)初始預測存在粗差時RAKF 與CKF預報及濾波比較
圖3 觀測值存在粗差時RAKF 與CKF預報及濾波比較
圖4 觀測值及狀態(tài)初始值都存在粗差時RAKF與CKF預報及濾波比較
由圖2可知,當預報存在粗差時,RAKF預報結(jié)果更能反映粗差存在的點位,且預報精度優(yōu)于CKF,在抑制狀態(tài)預報粗差對濾波帶來不良影響效果方面,無論從濾波值還是精度方面,RAKF都明顯優(yōu)于CKF;由圖3、圖4可知,無論是方案2還是方案3,在預報方面,RAKF與CKF預報結(jié)果相當,在粗差點反映和預報精度上,RAKF優(yōu)于CKF,而在濾波方面,RAKF能夠很好凸顯粗差點位置,且能夠很好地抑制觀測粗差及狀態(tài)預報粗差對后期濾波的不良影響。無論是濾波結(jié)果還是精度,RAKF都總體明顯優(yōu)于CKF。
本文從RAKF基本理論出發(fā),通過某大壩變形監(jiān)測實例,在正確確定初始狀態(tài)模型值后,用CKF和RAKF同時進行了數(shù)據(jù)處理,得出的結(jié)果是當系統(tǒng)不存在粗差或不存在微小擾動時,無論是預報還是濾波及其相關精度方面,RAKF總體上明顯優(yōu)于CKF,其濾波值與預報值都能滿足工程的要求。對RAKF在抑制狀態(tài)預報粗差及觀測粗差所帶來的影響方面作了進一步的分析,從實驗數(shù)據(jù)分析來看,當系統(tǒng)存在粗差或微小擾動時,RAKF在抑制狀態(tài)預報粗差及觀測粗差對濾波值影響方面效果是顯著的,是對CKF濾波的一種改進,同時,隨著濾波時間的增長,逐漸趨于平穩(wěn)。因此,在進行變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與分析時,無論是在預報結(jié)果、濾波結(jié)果還是其精度方面,RAKF比CKF更可靠有效,是一種可行的有效估值方法。
[1] 陶本藻.Kalman濾波模型誤差的識別[J].地殼變形與地震,1999,19(4)∶15-20
[2] 楊元喜.動態(tài)系統(tǒng)的抗差Kalman濾波[J].解放軍測繪學院學報,1997,14(2)∶79-85
[3] 柴洪洲,崔岳.動態(tài)系統(tǒng)的抗差Kalman濾波及其影響函數(shù)[J].中國慣性技術(shù)學報,2002(3)∶26-29
[4] 宋迎春.動態(tài)定位中的Kalman濾波研究[D].長沙∶中南大學,2006
[5] 楊元喜,高為廣.兩種漸消濾波與自適應抗差濾波的綜合比較分析[J].武漢大學學報(信息科學版),2006,31(11)∶980-981 [6] YANG Y, HE H, XU G. Adaptively Robust Filtering for Kinematic Geodetic Positioning[J].Journal of Geodesy,2001,75(2/3)∶109-116
[7] 楊元喜,何海波,徐天河.論動態(tài)自適應濾波[J].測繪學報,2001,30(4)∶293-298
[8] 楊元喜.動態(tài)Kalman濾波模型誤差的影響[J].測繪科學,2006,31(1)∶17-19
[9] 許阿裴,歸慶明,韓松輝.Kalman濾波模型誤差的影響分析[J].大地測量與地球動力學,2008,28(1)∶101-104
[10] 聶建亮,吳福梅.Kalman濾波幾種異常檢驗法[J].地球科學與環(huán)境學報,2008,30(2)∶204-208
[11] 王利,李亞紅,劉萬林.卡爾曼濾波在大壩動態(tài)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應用[J].西安科技大學學報,2006,26(3)∶353-357
P258
B
1672-4623(2016)05-0103-03
10.3969/j.issn.1672-4623.2016.05.032
熊文全,高級工程師,主要從事控制測量、礦山測量、工程測量、變形監(jiān)測及其應用開發(fā)工作。
2015-07-09。