范志毅 / 上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

彎曲內(nèi)力圖教學(xué)方法探討

范志毅 / 上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

材料力學(xué)中彎曲內(nèi)力是重要的內(nèi)容。通過(guò)繪制彎曲內(nèi)力圖可以確定梁的危險(xiǎn)截面，是對(duì)彎曲梁進(jìn)行強(qiáng)度校核的關(guān)鍵。學(xué)生在求解彎曲內(nèi)力時(shí)，常常會(huì)遇到不少問(wèn)題。簡(jiǎn)易法繪制彎曲內(nèi)力圖簡(jiǎn)單且容易操作，需要有一些方法和技巧，如何在教學(xué)中教會(huì)學(xué)生靈活應(yīng)用，提出了一些想法進(jìn)行探討。

彎曲內(nèi)力；剪力；彎矩

一、引言

材料力學(xué)中求桿件內(nèi)力，是最基本的內(nèi)容。內(nèi)力的求解主要包含三種：軸向拉壓桿軸力、扭轉(zhuǎn)軸的扭矩、彎曲梁的剪力和彎矩。其中梁的剪力和彎矩的求解較復(fù)雜些。繪制剪力圖和彎矩圖有兩個(gè)方法，第一是根據(jù)剪力方程和彎矩方程來(lái)繪制剪力圖和彎矩圖；第二是只需求出關(guān)鍵截面的內(nèi)力，根據(jù)總結(jié)的規(guī)律繪制內(nèi)力圖，也稱(chēng)為簡(jiǎn)易法。由于簡(jiǎn)易法繪制內(nèi)力圖簡(jiǎn)單，基本上在教學(xué)過(guò)程中會(huì)用較多的課時(shí)教授簡(jiǎn)易法。熟練掌握簡(jiǎn)易法，就能快速簡(jiǎn)便地繪制內(nèi)力圖，但教學(xué)的過(guò)程中不少學(xué)生還是不能很好地掌握。通過(guò)教學(xué)中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)簡(jiǎn)易法的教學(xué)提出了一些想法。

二、如何在教學(xué)中引入簡(jiǎn)易法

做截面列剪力方程和彎矩方程繪制內(nèi)力圖雖然比較繁瑣，卻是引入簡(jiǎn)易法的基礎(chǔ)。在教學(xué)過(guò)程中要首先要詳細(xì)講解該方法。在該方法的基礎(chǔ)上引入簡(jiǎn)易法，很自然，也容易接受。

講解根據(jù)內(nèi)力方程繪制內(nèi)力圖時(shí)，首先要強(qiáng)調(diào)步驟，使學(xué)生有明確的繪制內(nèi)力圖思路。該方法首先要對(duì)梁進(jìn)行分段，這一步驟和簡(jiǎn)易法一致。分段點(diǎn)是：桿的端點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)。在講解的過(guò)程中，由于反復(fù)使用，學(xué)生的腦中會(huì)有比較深的印象；分段后，在每一段內(nèi)任做一截面，將桿件一分為二，任取一局部，假設(shè)截面上的內(nèi)力，根據(jù)局部的受力圖列平衡方程求解內(nèi)力方程；最后根據(jù)內(nèi)力方程，繪制內(nèi)力圖。

為了總結(jié)不同載荷作用下內(nèi)力圖的形狀及特點(diǎn)，在講解根據(jù)內(nèi)力方程繪制內(nèi)力圖時(shí)，要選擇合適的例題。例題最好不要太復(fù)雜，就采用單跨的梁，如：簡(jiǎn)支梁、懸臂梁。載荷也比較簡(jiǎn)單，比如只有均勻分布載荷，繪制內(nèi)力圖（如圖1）。通過(guò)該例題繪制梁AB梁的內(nèi)力圖，可以知道均勻分布載荷作用的一段，剪力圖是斜直線，彎矩圖是拋物線。除了強(qiáng)調(diào)拋物線開(kāi)口向下，還要明確繪制拋物線的幾個(gè)點(diǎn)。如果拋物線有極值點(diǎn)，繪制拋物線就需要三個(gè)點(diǎn)。這一段的兩個(gè)端點(diǎn)和極值點(diǎn)的彎矩值，繪制成彎矩圖，極值點(diǎn)為最高或最低點(diǎn)。如圖1中的彎矩圖，繪制AB段的彎矩圖需要端點(diǎn)A、端點(diǎn)B和極值點(diǎn)C點(diǎn)的彎矩值連接而成。

再如，簡(jiǎn)支梁在載荷為集中力偶（圖2）作用下的內(nèi)力圖。剪力圖為直線，彎矩圖為斜直線，且彎矩圖在集中力偶作用點(diǎn)發(fā)生突變。可以在C截面的左右兩側(cè)各做一截面，取局部求截面的彎矩。C截面兩側(cè)彎矩的突變值為力偶矩的大小。

通過(guò)類(lèi)似的一些簡(jiǎn)單的例題，可以把各種載荷作用下，內(nèi)力圖的形狀和特點(diǎn)展示給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行比較和總結(jié)。加深學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)易法來(lái)源的理解。對(duì)于常見(jiàn)的載荷、剪力圖和彎矩圖之間的相互關(guān)系，可得出如下一些規(guī)律：

（三）還可從剪力圖確定彎矩圖中極值點(diǎn)的位置：當(dāng))(xq不為零時(shí)，如果梁在某截面上的剪力為零，則彎矩圖在相應(yīng)點(diǎn)出的切線平行于x軸，該截面上的彎矩必為極值。

（四）在集中力P作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變幅度為集中力的大小。彎矩圖在該處為尖點(diǎn)。 在集中力偶m作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于力偶矩m。剪力圖在該點(diǎn)沒(méi)有變化。

利用上述規(guī)律，可以校核剪力圖和彎矩圖的正確性。

三、應(yīng)用簡(jiǎn)易法的要點(diǎn)

簡(jiǎn)易法應(yīng)用時(shí)，常常會(huì)碰到多種載荷作用下求梁的內(nèi)力圖，如圖3是一個(gè)非常典型的彎曲內(nèi)力圖繪制題目，其上載荷包含了常見(jiàn)的三種載荷，集中力、集中力偶和均勻分布載荷。求解時(shí)有幾個(gè)要點(diǎn)：

（一）要把內(nèi)力圖和梁的受力圖上下對(duì)齊（如圖3），這樣每一段的載荷和內(nèi)力圖形狀很清晰，在繪制的過(guò)程中不容易出錯(cuò)。

（二）注意每一段分布載荷的集度)(xq，剪力)(xFs，彎矩的微分關(guān)系。在內(nèi)力圖中，就體現(xiàn)在內(nèi)力圖線形。如圖3中，CA段0)(=xq，那么剪力方程應(yīng)該是常數(shù)，為水平直線，那么彎矩方程更高一階，是一次函數(shù)，為斜直線。按照受力圖放在最上方，剪力圖第二，彎矩圖第三，它們的線形也是滿足下面的內(nèi)力圖線形要比上方圖形的高一階。解題時(shí)可以關(guān)注，來(lái)驗(yàn)證內(nèi)力圖是否正確。

（三）注意內(nèi)力圖發(fā)生突變的截面，如集中力作用截面、集中力偶作用截面。如圖3中的A截面和C截面。

如果熟練掌握簡(jiǎn)易法，那繪制梁的彎曲內(nèi)力圖就不需要太多繁瑣的計(jì)算過(guò)程，繪制時(shí)比較容易，也不易出錯(cuò)。

四、結(jié)論

簡(jiǎn)易法需要在理解的基礎(chǔ)上，通過(guò)一些練習(xí)才能熟練掌握。在講解該方法時(shí)，要讓學(xué)生在課堂上做一些練習(xí)，做完練習(xí)及時(shí)地講解，可以加深印象。可以讓學(xué)生做一些找出內(nèi)力圖錯(cuò)誤的習(xí)題，或根據(jù)內(nèi)力圖畫(huà)受力圖的習(xí)題，不僅可以提升課堂的趣味性，而且可以突出重點(diǎn)，如內(nèi)力圖會(huì)在什么情況下突變等。

[1]劉鴻文．材料力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2011．

[2]單輝祖．材料力學(xué)教程[M]．北京：高等教育出版社，2004．

范志毅（1978-），女，福建人，固體力學(xué)，講師。