劉 益 王 平 高穎慧

(國防科學技術(shù)大學電子科學與工程學院 湖南 長沙 410073)

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基于高斯混合PHD濾波的多目標狀態(tài)提取方法

劉 益 王 平 高穎慧

(國防科學技術(shù)大學電子科學與工程學院 湖南 長沙 410073)

高斯混合概率假設(shè)密度濾波(GM-PHD)方法可有效解決線性高斯模型下的多目標跟蹤問題，在估計目標個數(shù)的同時提取多目標狀態(tài)。但當雜波濃度過高、目標過于密集時，GM-PHD的狀態(tài)提取精度有所下降。針對GM-PHD濾波算法在復(fù)雜環(huán)境下性能下降的問題，提出一種改進的GM-PHD濾波多目標狀態(tài)提取方法，通過修正高斯分量更新權(quán)值，強化合并規(guī)則，降低密集目標和雜波造成的干擾。仿真實驗表明該方法能在不同雜波環(huán)境下提高多目標狀態(tài)估計的準確度。

概率假設(shè)密度 高斯混合 多目標跟蹤 狀態(tài)提取

0 引 言

多目標跟蹤旨在分析量測以獲取個數(shù)時變的目標位置和速度等狀態(tài)信息，量測包含真實目標量測和由于雜波、噪聲引起的虛警量測。由于無法預(yù)先獲知目標個數(shù)，傳統(tǒng)的基于數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的多目標跟蹤方法在跟蹤多目標時適應(yīng)性不強[1-4]。Mahler基于嚴格的隨機有限集數(shù)學理論[5]，提出概率假設(shè)密度[6](PHD)濾波方法，通過遞推多目標PHD，估計目標個數(shù)和位置，避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題。但PHD方法中存在高維積分，難以得到解析解。高斯混合概率假設(shè)密度濾波(GM-PHD)可對PHD濾波具體實現(xiàn)[7]。多目標PHD由一組高斯序列和，即所謂混合高斯近似表示。通過預(yù)測、更新步驟遞推高斯混合函數(shù)中每一高斯分量的權(quán)值、均值和協(xié)方差，間接遞推多目標的后驗PHD。根據(jù)高斯分量信息估計多目標狀態(tài)，當目標過于密集，噪聲、雜波等干擾較嚴重時，估計精度會降低。為解決此問題，提出一種改進的基于高斯混合概率假設(shè)密度濾波的多目標狀態(tài)提取方法，以滿足較為復(fù)雜場景下的多目標狀態(tài)提取要求。

1 高斯混合概率假設(shè)密度濾波

1.1 隨機有限集與PHD濾波

隨機集即為一個隨機變量的集合，是指取值為集合的隨機元，是概率論中隨機向量的推廣。當隨機集的取值是有限值時就成為隨機有限集(RFS)。多目標跟蹤系統(tǒng)中，目標個數(shù)是一隨時間變化的離散隨機變量，因而將多目標集表示為隨機有限集時，集合中隨機變量的個數(shù)本身就是一個隨機變量，導(dǎo)致多目標的狀態(tài)空間和量測空間的維數(shù)也會隨著時間變化。多目標的狀態(tài)空間和量測空間分別以Es、Eo表示，則k時刻多目標狀態(tài)集Xk和量測集Zk為：

Xk={xk,1,…,xk,Mk}?Es

Zk={zk,1,…,zk,Nk}?Eo

(1)

其中Mk、Nk分別表示k時刻的目標個數(shù)和量測個數(shù)，其中量測來自于真實目標和虛警。

以隨機有限集Ξk和Σk分別對多目標的狀態(tài)和量測建模。假設(shè)Xk-1是RFSΞk-1在k-1時刻的具體實現(xiàn)，則k時刻多目標的狀態(tài)以隨機集表示為：

Ξk=Sk(Xk-1)∪Bk(Xk-1)∪Γk

(2)

其中，Sk(Xk-1)表示k時刻繼續(xù)存活目標的RFS，Bk(Xk-1)代表由k-1時刻的目標狀態(tài)Xk-1衍生出的目標的RFS，Γk代表在k時刻自然產(chǎn)生的目標的RFS。多目標的量測以隨機有限集可表示為：

Σk=Ek(Xk)∪Ck(Xk)

(3)

其中Ek(Xk)表示產(chǎn)生于Xk的觀測值的RFS，Ck(Xk)代表雜波或誤警生成的RFS。

根據(jù)多目標Bayes濾波理論，可得：

(4)

其中，pk|k-1(Xk|Z1:k-1)和pk|k(Xk|Z1:k)分別表示多目標聯(lián)合先驗概率密度函數(shù)和后驗概率密度函數(shù)。

隨機有限集的PHD D(x)與隨機變量的期望類似，即PHD D(xk|Z1:k)即為多目標后驗概率密度pk|k(Xk|Z1:k)的一階矩。在多目標跟蹤系統(tǒng)中，∫sD(x)dx是出現(xiàn)在S內(nèi)的期望的目標數(shù)，而D(x)的極值給出目標的狀態(tài)估計。以PHD代替后驗概率密度以貝葉斯濾波方式遞推，便得到PHD的預(yù)測和更新方程如式(5)、式(6)所示[6]:

Dk|k-1(x)=∫pS,k(ζ)fk|k-1(x|ζ)Dk-1(ζ)dζ+∫βk|k-1(x|ζ)Dk-1(ζ)dζ+γk(x)=∫φk|k-1(x,ζ)Dk-1(ζ)μsdζ+γk(x)

(5)

(6)

其中γk(x)表示隨機集Γk的PHD，βk|k-1(x|ζ)表示由k-1時刻狀態(tài)為ζ的目標衍生的隨機集βk|k-1(ζ)的PHD；pS,k(ζ)表示k-1時刻狀態(tài)為ζ的目標在k時刻仍然存活的概率；fk|k-1(x|ζ)表示單個目標的轉(zhuǎn)移概率密度,κk(z)=λkck(z)，λk表示Poisson雜波的平均數(shù)，ck表示雜波概率密度；pD表示檢測概率，gk(z|ξ)表示單個目標的似然函數(shù)。

PHD濾波仍然包含多重高維積分，得不到閉合形式的解析解。高斯混合PHD濾波是PHD濾波的一種簡單近似，解決了難以具體實現(xiàn)的問題。

1.2 GM-PHD濾波

(7)

其中Jk-1表示k-1時刻高斯分量的個數(shù)。N代表正態(tài)分布。假設(shè)目標的運動觀測均為線性模型。其轉(zhuǎn)移概率密度與觀測似然函數(shù)為

fk|k-1(x|ξ)=N(x;Fk-1ξ,Qk-1)gk(z|x)=N(z;Hkx,Rk)

(8)

其中Fk-1、Hk分別為線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和線性觀測矩陣，Qk-1、Rk為過程噪聲和量測噪聲協(xié)方差。

將高斯混合形式的PHDDk(x)代入PHD預(yù)測、更新方程，可得到高斯混合形式的PHD遞推形式。k時刻的預(yù)測、更新PHD以高斯混合可分別表示為：

(9)

(10)

其中：

(11)

2 改進的高斯混合PHD濾波

2.1 權(quán)值修正

(12)

代入式(11)，則第m個高斯分量由第n個量測zn更新后的權(quán)值為:

(13)

(14)

對于量測zn會出現(xiàn)以下兩種情形:

(15)

第一種情形對應(yīng)第n個量測zn由某一真實目標生成的情況。當觀測空間沒有虛警雜波量測時等號成立。第二種情形對應(yīng)第n個量測zn為虛警雜波的情況，根據(jù)其與各個高斯分量均值的似然關(guān)系，其對應(yīng)更新權(quán)值極小，表明該量測與當前預(yù)測高斯分量相關(guān)性極低。

以上兩種情形體現(xiàn)在更新矩陣W中即為第n列的權(quán)值和不大于1。其現(xiàn)實意義是一個量測至多只由一個目標生成(考慮虛警情形)。每時刻完成高斯分量權(quán)值更新后，每一列的權(quán)值和必定滿足上述性質(zhì)，這是由GM-PHD濾波的遞推特性決定的。

(16)

體現(xiàn)在更新矩陣W中即為第m行的權(quán)值和大于1，表示第m個高斯分量(隱指一個目標)生成了多個量測。在現(xiàn)實中，考慮漏檢的影響，一個目標至多生成一個量測。因此這種更新方式會錯誤地把多個量測分配給一個目標并以較高權(quán)值進行更新，導(dǎo)致狀態(tài)估計結(jié)果錯誤或冗余。

為此對矩陣W的行權(quán)值修正，使其行權(quán)值和不大于1，即滿足一個目標至多生成一個量測的實際條件。

(17)

行權(quán)值修正操作會改變原有列權(quán)值的“歸一化”秩序。對于第一種情形，即第n個量測zn由某一真實目標生成的情況,W矩陣中第m*行n列的權(quán)值由于行權(quán)值修正操作而減小。為使第n列的權(quán)值和滿足式(14)的條件，也即使該列符合真實量測必定源于某一目標的實際條件，需要對第n(n≠n*)列進行列權(quán)值修正：

(18)

第n(n≠n*)列列權(quán)值修正過程保留因第m*行行權(quán)值修正而減小的(m*,n)處的權(quán)值，使得該列其他權(quán)值按各自比重相應(yīng)增加，提高第n個量測相對其他高斯分量(不包含第m*個分量)的似然度。因為由行權(quán)值修正過程已得知，僅第n*個量測最有可能源于第m*個高斯分量或目標。

對于第二種情形，由于量測zn本身為雜波虛警，由其更新的各個高斯分量的權(quán)值極小，可視為零。故對第m*行行權(quán)值修正時不會改變(m*,n)處零權(quán)值的性質(zhì)，對應(yīng)第n列的權(quán)值和仍然滿足式(14)，不需要進行列權(quán)值修正。故在進行列權(quán)值修正前，應(yīng)先大致判別該量測是否為虛警雜波，再決定是否修正列權(quán)值。當權(quán)值更新矩陣W中第n列的權(quán)值和高于某一閾值wth時可施行列權(quán)值修正操作。文獻[8,9]中對所有的量測均進行重歸一化處理會會導(dǎo)致資源的浪費，增加運算時間。權(quán)值修正方法流程如圖1所示。

圖1 權(quán)值修正流程圖

進行行權(quán)值與列權(quán)值修正的目的在于使更新權(quán)值滿足以下條件：一個量測至多源自一個目標，一個目標生成至多一個量測。從而提高狀態(tài)估計的精度。

2.2 高斯分量選擇性合并

每時刻更新后的高斯分量個數(shù)會爆炸式增長，因此Vo提出在高斯分量權(quán)值更新后引入剪枝操作[7]，將低于閾值T的高斯分量刪除，僅保留高權(quán)值高斯分量，用以控制高斯分量個數(shù)，減小運算量。

對于剪枝后的高斯分量采取合并的方式，將多個相互靠近即滿足如下條件的高斯分量合而為一[10]：

(19)

但當目標較為密集時，按照原有的合并規(guī)則會導(dǎo)致代表相近不同目標的多個高斯分量合并，即原本代表多個不同目標的高斯分量被合并后的一個高斯分量所代替，則由合并后的高斯分量估計出的目標狀態(tài)會丟失部分真實信息。

(20)

選擇性合并后的高斯分量的均值、權(quán)值和協(xié)方差矩陣的計算與文獻[7]一致。對合并后的高斯分量集合進行狀態(tài)提取，將權(quán)值較高的高斯分量的均值視為估計狀態(tài)，至此完成該時刻的狀態(tài)估計。將合并后的混合高斯PHD傳入下一時刻。

假設(shè)新生目標和衍生目標的概率密度均可用如下高斯混合的形式表示:

(21)

(22)

k-1時刻的PHD如式(7)所示,與式(21)、式(22)一并代入式(5)，得到如式(9)所示的預(yù)測后高斯混合形式。對于更新步驟，在原有更新權(quán)值的基礎(chǔ)上[7]采用本文提出的權(quán)值修正策略，對權(quán)值調(diào)整，使其符合現(xiàn)實情況。針對更新后的高斯分量，加強合并條件，防止錯誤合并，權(quán)值高于設(shè)定閾值(通常取0.5)的高斯分量的均值即為k時刻多目標的狀態(tài)估計。

3 仿真結(jié)果及分析

設(shè)定目標在某一二維雜波區(qū)域[-1000,1000] m×[-1000,1000] m內(nèi)運動，目標的運動服從高斯線性模型為:

(23)

(24)

系統(tǒng)的觀測模型為:

(25)

表1 目標初始狀態(tài)與生存時間

圖2 目標真實狀態(tài)

圖3 量測

圖4和圖5分別給出了GM-PHD濾波算法和本文提出的改進算法的多目標狀態(tài)提取結(jié)果，實線代表目標的真實軌跡，“·”代表估計出的目標位置。從圖中可以看出，改進算法的狀態(tài)提取結(jié)果相對于原有算法的結(jié)果更為準確，估計出的目標位置要更加集中，與目標的真實軌跡貼合更加緊密。

圖4 GM-PHD狀態(tài)估計

圖5 改進算法狀態(tài)估計

為進一步分析狀態(tài)提取的精度，采用OSPA準則[11]評估算法性能。OSPA評價指標引入了截斷常數(shù)c，能夠處理兩個隨機集之間目標個數(shù)不一致時的性能評價。在本文中截斷常數(shù)c為100。圖6給出了兩種算法在20次MC仿真條件下的OSPA均值距離。距離越小表示估計結(jié)果越精確。由圖可知，改進算法的OSPA曲線大體低于GM-PHD濾波狀態(tài)提取算法，表明本文改進算法具有良好的估計精度。

圖6 OSPA距離

當每時刻的雜波虛警個數(shù)的均值為100時，由真實目標生成的量測會被大量不相干噪聲點湮沒。即在不進行權(quán)值修正的情況下，會經(jīng)常出現(xiàn)一個目標與多個量測相對應(yīng)的情況，導(dǎo)致多目標狀態(tài)估計的錯誤，為說明此問題，圖7給出了兩種算法在高濃度虛警條件下的平均OSPA距離。相比于低雜波濃度的情形(圖6)，兩種算法的OSPA距離均有明顯增大，這是由大量虛警量測導(dǎo)致的必然結(jié)果。但總體而言，改進算法的OSPA距離依然要低于GM-PHD濾波狀態(tài)提取算法，說明了在目標、虛警密集等嚴苛條件下，改進算法的性能有所提升。

圖7 OSPA距離

4 結(jié) 語

本文在原有GM-PHD濾波方法的基礎(chǔ)上，修正更新高斯分量的權(quán)值，并加強高斯分量合并規(guī)則，以減輕目標密集和虛警雜波對算法造成的影響。下一步可針對非線性非高斯模型進一步改進高斯混合PHD濾波狀態(tài)提取算法，擴展其應(yīng)用范圍。

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MULTI-TARGET STATE EXTRACTION BASED ON GAUSSIAN MIXTURE PHD FILTER

Liu Yi Wang Ping Gao Yinghui

(CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,Hunan,China)

Gaussian mixture probability hypothesis density (GM-PHD) filter can effectively solve the problem of multi-target tracking under the condition of linear Gaussian model, while estimating the number of targets it also extracts the states of multi-target. The state extraction precision of GM-PHD filter will drop down when it comes to the situation of closely spaced targets and too high clutter rate. In light of the performance degradation of GM-PHD in complex environments, we proposed an improved multi-target state extraction method of GM-PHD filter. By modifying the update weight of Gaussian component and enhancing the merging criterion it reduces the interference caused by intensive targets and clutters. Simulation experimental results showed that the propose method is able to raise the precision of multi-target state estimation in different clutter environments.

Probability hypothesis density Gaussian mixture Multi-target tracking State extraction

2015-09-19。國家自然科學基金項目(61103082)。劉益，碩士生，主研領(lǐng)域：目標跟蹤與自動目標識別。王平，研究員，高穎慧，副研究員。

TP391.4

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.11.041