孫寶軍

(內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué) 計(jì)算機(jī)信息管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

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考慮區(qū)間灰數(shù)風(fēng)險(xiǎn)度的多屬性灰靶決策模型

孫寶軍

(內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué) 計(jì)算機(jī)信息管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

針對目前多屬性灰靶決策模型研究中，區(qū)間灰數(shù)比較大小公式中的只以區(qū)間大小而沒有考慮不確定性，無法度量決策者給出區(qū)間灰數(shù)風(fēng)險(xiǎn)的問題，文中提出了基于灰數(shù)集的風(fēng)險(xiǎn)度的概念，改進(jìn)了現(xiàn)有的灰靶多屬性決策模型，通過風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，得到包含風(fēng)險(xiǎn)因素的綜合評價(jià)結(jié)果。算例證明了該方法的可行性和合理性。

多屬性決策；區(qū)間灰數(shù)；風(fēng)險(xiǎn)度

灰靶決策模型是一種解決“小樣本，貧信息”的多指標(biāo)、多屬性、不確定決策問題的常用方法，該方法是灰色系統(tǒng)理論中決策問題的重點(diǎn)研究領(lǐng)域。目前已在信息檢索[1]、軍事決策[2]、信息系統(tǒng)選擇決策[3]等領(lǐng)域?；野袥Q策的主要思想是在灰靶中找到一個(gè)靶心作為最優(yōu)模式，然后將灰靶中諸決策點(diǎn)與靶心點(diǎn)進(jìn)行比較，從而確定相對最優(yōu)的對策[4]。

目前，關(guān)于灰靶決策模型的理論方面，眾多研究者從模型優(yōu)化方面進(jìn)行了相關(guān)研究[5-10]：文獻(xiàn)[5]通過比較指標(biāo)集中各指標(biāo)值與靶心連線所圍成圖形(蛛網(wǎng))的面積大小來對決策方案之優(yōu)劣進(jìn)行評價(jià)，文獻(xiàn)[6]提出一種新的綜合靶心距,并以綜合靶心距最小化準(zhǔn)則為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建非線性優(yōu)化模型來求解最優(yōu)的目標(biāo)權(quán)重。文獻(xiàn)[7]在處理指標(biāo)類型中引入了強(qiáng)“獎(jiǎng)優(yōu)罰劣”變換算子，建立了強(qiáng)“獎(jiǎng)優(yōu)罰劣”變換算子的加權(quán)灰靶決策模型；文獻(xiàn)[8]提出了一種新的多目標(biāo)加權(quán)灰靶決策模型，該模型充分考慮了目標(biāo)效果值中靶和脫靶兩種不同情形，提高了綜合效果測度。文獻(xiàn)[9～10]基于TOPSIS決策的思想，將正、負(fù)靶心等一系列新理論引入了模型并建立了正負(fù)靶心灰靶決策模型。

本文認(rèn)為，現(xiàn)有的灰靶決策模型中，缺少對決策方案的風(fēng)險(xiǎn)的度量，灰靶模型決策過程中，待評價(jià)方案的準(zhǔn)則指標(biāo)一般都是用灰數(shù)表示的，在灰數(shù)的比較計(jì)算中，區(qū)間大小作為度量尺度的一個(gè)重要因素，區(qū)間大的灰數(shù)在計(jì)算中往往會(huì)獲得比較大的數(shù)值。但是根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)理論，灰數(shù)區(qū)間大意味著指標(biāo)的波動(dòng)幅度、不確定性增大。雖然目前眾多學(xué)者引入了前景理論[11-12]，在決策過程中考慮決策者心理行為，但是獲得前景價(jià)值只能反應(yīng)決策者或者是專家對指標(biāo)屬性值的態(tài)度，在對待評價(jià)方案的優(yōu)劣比較過程中，灰數(shù)的比較仍然發(fā)揮比較大的作用，所以評價(jià)的結(jié)論中缺少對風(fēng)險(xiǎn)的綜合度量。針對這個(gè)問題，本文提出了一種基于灰數(shù)集的風(fēng)險(xiǎn)度的概念，用于評價(jià)其所包含的風(fēng)險(xiǎn)，并將風(fēng)險(xiǎn)度的概念應(yīng)用到灰靶決策模型。

1 問題解決的方法和原理

1.1 問題描述

設(shè)對于某灰數(shù)多屬性決策問題，由n個(gè)決策方案構(gòu)成了決策方案集為A={a1,a2,…,an}，m個(gè)評價(jià)準(zhǔn)則或?qū)傩詷?gòu)成了指標(biāo)集C={c1,c2,…,cm}，M={M1,M2,…,Mt}由t個(gè)決策者組成的決策群體。決策者M(jìn)k對方案ai對指標(biāo)cj的評價(jià)值為區(qū)間灰數(shù)的形式xij(k)(?)∈[xijL(k)，xijU(k)]，其中(1≤i≤n,1≤j≤m, 1≤k≤t)。因此，決策者M(jìn)k的評價(jià)組成決策矩陣X(k)=(xij(k)(?))n×m，各決策者存在權(quán)威性差異，權(quán)重向量記為A={a1,a2,…,at}，各指標(biāo)屬性cj的權(quán)重向量為W={ω1,…,ωi,…ωn}，確定最優(yōu)方案集。

1.2 灰數(shù)相關(guān)理論

在灰數(shù)系統(tǒng)理論中，白數(shù)代表信息完全已知，黑數(shù)代表信息完全未知的情況，而灰數(shù)表示信息的精確值未知，但是其的范圍已知，一般用符號(hào)?表示。既有下界a又有上界b灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù) , 記為[a，b]。

定義1[12]設(shè)灰數(shù)?∈[a，b] (a

當(dāng)論域μ(Ω)=1，有g(shù)o(?)=μ(?)。如果限定論域Ω在區(qū)間[0,1]，則μ(?)就是區(qū)間[0,1]上的長度。

定義2[13]設(shè)兩個(gè)灰數(shù)?1∈[a1，b1] (a1

(1)

D(?1,?2)是兩個(gè)灰數(shù)?1和?2之間的相離度。

1.3 區(qū)間灰數(shù)的大小比較規(guī)則的不足

從以上灰數(shù)的比較公式看，其中都包含了灰數(shù)區(qū)間大小的因素la和lb。例如，?1∈[7,10]，?2∈[3,15]，3個(gè)公式計(jì)算的結(jié)果都是?1

定義3 灰數(shù)集E內(nèi)的灰數(shù)?i∈[aL，aU](aL

(2)

風(fēng)險(xiǎn)度的概念反映了描述同一對象的各個(gè)灰數(shù)，距離其聚集中心的偏離程度，風(fēng)險(xiǎn)度越大表示其偏離中心的距離就越大，相應(yīng)的不確定成份就越多。

例1 設(shè)E={?1∈[1,2],?2∈[1.5,3],?3∈[1.2,1.7]}，論域Ω=[1,3]，W={0.5,0.3,0.2}，求集合內(nèi)每個(gè)灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)度。

由例1可知該灰數(shù)集的核為?N=[1.19,2.24]。則D(?1,?N)=0.216，D(?2,?N)=0.58，D(?3,?N)=0.382，E(?N)=(1.19+2.24)/2=1.715?；覕?shù)?1、?2和?3的風(fēng)險(xiǎn)度R1=0.216/1.715=0.126；R2=0.58/1.715=0.338；R1=0.382/1.715=0.223。

2 考慮風(fēng)險(xiǎn)的多屬性群決策模型

2.1 核矩陣和風(fēng)險(xiǎn)度矩陣的確定方法

如果在決策模型中考慮決策指標(biāo)的屬性值風(fēng)險(xiǎn)度，首先需要對專家的意見進(jìn)行聚集運(yùn)算，以獲得專家給出意見集的核，之后根據(jù)每個(gè)屬性的灰數(shù)集的核確定其風(fēng)險(xiǎn)度，進(jìn)而計(jì)算整個(gè)方案的風(fēng)險(xiǎn)度，具體過程如下：

(1) 利用文獻(xiàn)[15]中的方法，依次求出方案ai在指標(biāo)cj下，由t個(gè)專家評價(jià)值構(gòu)成灰數(shù)集的核

k=1,2,…,t(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)

(3)

(2) 對于指標(biāo)集cj∈C的，根據(jù)式(2)可以定義方案ai的風(fēng)險(xiǎn)度公式為

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n

(4)

(3) 每個(gè)方案的風(fēng)險(xiǎn)度計(jì)算公式為

(5)

則稱Core=(?ij)n×m=(cij(?))n×m為決策問題的核矩陣，稱Risk=(rij)n×m為決策問題的風(fēng)險(xiǎn)度矩陣，矩陣Core表示對多位專家偏好的聚集，矩陣Risk表示專家給出的指標(biāo)值所體現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)成份。

2.2 風(fēng)險(xiǎn)度靶心的確定方法

對于Core的第j列，將min{(cijL+cijU)/2}，1≤i≤n所在的位置記為-ij，該位置上對應(yīng)的屬性值記為-cj=[-cijL,-cijU]。記-c={-c1,-c2,…,-cm}={[-ci1L,-ci1U], [-ci2L,-ci2U],…, [-cimL,-cimU]}為群灰靶決策核矩陣最劣效果向量，稱為核負(fù)靶心。

分別稱+εi和-εi為方案ai的正負(fù)核靶心距，其計(jì)算公式為

(6)

(7)

定義

(8)

為方案ai的偏離靶心度。其中，0≤si≤1，且si越大，對應(yīng)的方案越貼近核正靶心，同時(shí)遠(yuǎn)離核負(fù)靶心。

對于矩陣Risk的第j列，將min{rij}，1≤i≤n，所在的位置記為+R(ij)，該位置上對應(yīng)的矩陣Core屬性值記為+Rrj=[cijL,cijU]。記+r={+Rr1,+Rr2,…,+Rrm}={[ci1L,ci1U], [ci2L,ci2U],…,[cimL,cimU]}為灰靶群決策風(fēng)險(xiǎn)最小效果向量，稱為風(fēng)險(xiǎn)正靶心。

對于矩陣Risk的第j列，將max{rij}，1≤i≤n所在的位置記為-R(ij)，該位置上對應(yīng)的屬性值記為-Rrj=[rijL,rijU]。記-r={-Rr1,-Rr2,…,-Rrm}={[ci1L,ci1U], [ci2L,ci2U],…,[cimL,cimU]}為灰靶群決策風(fēng)險(xiǎn)最大效果向量，稱為風(fēng)險(xiǎn)負(fù)靶心。

分別稱+τi和-τi為方案ai的正負(fù)風(fēng)險(xiǎn)靶心距，其計(jì)算公式為

(9)

(10)

定義

(11)

為方案ai的風(fēng)險(xiǎn)偏離靶心度。其中，0≤γi≤1，且γi越大，對應(yīng)的方案越貼近風(fēng)險(xiǎn)正靶心，同時(shí)遠(yuǎn)離核負(fù)靶心，所包含的風(fēng)險(xiǎn)越小。

綜合式(8)和式(11)，本文給出了考慮了風(fēng)險(xiǎn)的綜合評價(jià)公式，既能包含傳統(tǒng)的灰靶決策模型中的方案貼近最優(yōu)效果向量，又能考慮方案的風(fēng)險(xiǎn)成份，綜合公式為

βi=μ·si+(1-μ)·γi

(12)

在式(12)中，μ為風(fēng)險(xiǎn)偏好因子，μ=0時(shí)公式退化為傳統(tǒng)的灰靶群決策模型。本文提出的群決策模型βi來對方案進(jìn)行排序，當(dāng)μ=0時(shí)，βi越大，對應(yīng)的方案越優(yōu)。當(dāng)μ=1時(shí)，βi越大，對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)越大。

2.3 具體決策步驟

綜合以上理論知識(shí)，本文提出一種考慮風(fēng)險(xiǎn)的改進(jìn)多屬性灰靶決策模型，步驟如下：

步驟1 由決策專家給出灰數(shù)形式的決策矩陣，構(gòu)建規(guī)范化的灰數(shù)決策矩陣，對于“效益型”指標(biāo)和“成本型”指標(biāo)按文獻(xiàn)[13]中規(guī)范化公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

步驟2 構(gòu)建專家決策矩陣的核矩陣Core和風(fēng)險(xiǎn)度矩陣Risk；

步驟3 按照式(6)和式(7)計(jì)算每個(gè)方案的正負(fù)核靶心，并根據(jù)式(8)計(jì)算每個(gè)方案的偏離靶心度;

步驟4 按照式(9)和式(10)計(jì)算每個(gè)方案的正負(fù)風(fēng)險(xiǎn)靶心，并根據(jù)式(11)計(jì)算每個(gè)方案的風(fēng)險(xiǎn)靶心度;

步驟5 選擇風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)μ，根據(jù)式(12)計(jì)算每個(gè)方案的綜合偏離靶心度，并對決策問題的方案進(jìn)行排序。

3 算例分析

為便于比較，本文選擇了文獻(xiàn)[13]中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，模型在Matlab R2012b中調(diào)試通過。某地區(qū)根據(jù)前幾年投資的幾個(gè)大項(xiàng)目，決定進(jìn)行再投資，考察的指標(biāo)包括：產(chǎn)值C1、凈現(xiàn)值率C2、成本率C3、利稅率C4和生態(tài)效益C5。有關(guān)部門提出了4個(gè)方案，由3位決策者就各個(gè)方案以區(qū)間灰數(shù)的形式給出評估值。

文獻(xiàn)[13]對于決策者的權(quán)重和屬性的權(quán)重都以區(qū)間灰數(shù)的形式給出，為說明風(fēng)險(xiǎn)度對決策結(jié)果的影響，本文假設(shè)權(quán)重信息都是已知，并且考慮到?jīng)Q策者對于某一個(gè)屬性的權(quán)重難以量化到如[0.243,0.249]的區(qū)間內(nèi)，簡化其權(quán)重部分，屬性權(quán)重取第一個(gè)決策者的權(quán)重向量中各個(gè)區(qū)間灰數(shù)的核，決策者權(quán)重取權(quán)威權(quán)重向量中各個(gè)區(qū)間灰數(shù)的核。得到W=[0.227, 0.246, 0.184,0.209,0.134]；A=[0.263,0.334 5,0.402 5]。

則決策過程如下：分別計(jì)算核矩陣Core和風(fēng)險(xiǎn)度矩陣Risk

分別找到正負(fù)核靶心和正負(fù)風(fēng)險(xiǎn)靶心

+c={[0.592,0.683]，[0.413,0.619]，[0.467,0.668]，[0.408,0.769]，[0.533,0.678] }

-c={[0.336,0.405]，[0.383,0.561]，[0.36,0.525]，[0.292,0.637]，[0.341,0.459] }

+r={[0.592,0.683]，[0.383,0.561]，[0.36,0.525]，[0.392,0.724]，[0.504,0.386] }

-r={[0.336,0.405]，[0.413,0.618]，[0.348,0.476]，[0.309,0.603]，[0.335,0.453] }

求解距離正負(fù)核心和風(fēng)險(xiǎn)靶心的靶心度

S={0.644，0.281，0.630，0.292}；γ={0.405，0.610，0.577，0.542}

選擇風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，計(jì)算各個(gè)方案的綜合靶心度，對方案進(jìn)行排序，選取μ=0.5時(shí)，得到綜合靶心度β={0.525，0.445，0.604，0.417}。方案的排列結(jié)果為a3>a1>a2>a4。

結(jié)果分析：同文獻(xiàn)[13]的結(jié)果a3>a1>a4>a2相比，基本一致，但本文提出的決策方法有兩個(gè)優(yōu)勢:一是通過聚集運(yùn)算，簡化了文獻(xiàn)[13]中的多次矩陣的運(yùn)算;二是在模型中能夠反映方案所包含的風(fēng)險(xiǎn)成份，通過風(fēng)險(xiǎn)度的概念，體現(xiàn)不同風(fēng)險(xiǎn)偏好決策者的決策過程。

4 結(jié)束語

針對目前多屬性灰靶決策模型的不足，本文主要做了以下工作：為了度量灰數(shù)群決策問題方案所包含的風(fēng)險(xiǎn)成份，本文基于現(xiàn)有的研究成果，提出了關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度的概念，給出了灰數(shù)群決策問題的風(fēng)險(xiǎn)度概念。根據(jù)給出的風(fēng)險(xiǎn)度的概念，在灰靶決策模型中，提出了風(fēng)險(xiǎn)正靶心和風(fēng)險(xiǎn)負(fù)靶心的概念，并給出了計(jì)算正負(fù)風(fēng)險(xiǎn)靶心距和方案的風(fēng)險(xiǎn)靶心偏離度的計(jì)算公式。結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)靶心偏離度的計(jì)算公式，改造了多屬性灰靶決策模型，使得決策模型能反應(yīng)方案包含風(fēng)險(xiǎn)成份，最后用算例分析了該模型的正確性和合理性。

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The Multi-attribute Grey Target Decision Making Model Including the Risk Degree of Interval Grey Number

SUN Baojun

(School of Computer Information and Management, Inner Mongolia University of Finance and Economics, Hohhot 010070, China)

There are some disadvantages for the present research on the multi-attribute grey target decision making model. The interval grey numbers are compared by the interval size and the uncertainty is not considered. It cannot measure the risk of interval grey number expressed by the decision makers. This paper proposes the concept of risk degree, and improves the present grey target model. This approach can obtain the comprehensive evaluation results by means of risk preference coefficient. Numerical examples are provided to the illustrate feasibility and rationality of the proposed approach.

multi-attribute grey decision; interval grey number; degree risk

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.12.029

2016- 03- 20

內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015MS0707;2015MS0607)；內(nèi)蒙古教育廳基金資助項(xiàng)目(NJSY127)

孫寶軍(1980-)，男，副教授，博士研究生。研究方向：風(fēng)險(xiǎn)管理和智能決策。

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