邵文俊+趙帥+李健+劉云鳳+李京微+野金花

摘 要：金融市場(chǎng)不斷發(fā)展，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)不斷完善，數(shù)量方法在金融投資中得以充分的運(yùn)用。從風(fēng)險(xiǎn)度量方式以及模型選擇兩方面，介紹基于MV模型等的幾種最優(yōu)組合，并在模型選擇問(wèn)題上對(duì)模型的相容性風(fēng)險(xiǎn)做出闡述。旨在解決投資者選取和評(píng)價(jià)模型的困難，為投資者的投資決策提供參考方案。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)組合；風(fēng)險(xiǎn)度量；模型選擇；鞅方法

中圖分類號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2016）30-0072-03

前言

投資組合理論是證券投資學(xué)中最重要、最復(fù)雜和最有應(yīng)用價(jià)值的部分。它研究并且回答在面臨各種相互關(guān)聯(lián)、確定的特別是不確定結(jié)果的條件下，理性投資者應(yīng)該怎樣做出最佳投資選擇，把一定數(shù)量的資金按合適的比例，分散投放在多種不同資產(chǎn)上，以實(shí)現(xiàn)投資者效用極大化的目標(biāo)。隨著概率論和隨機(jī)過(guò)程等近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用，利用隨機(jī)分析投資與消費(fèi)問(wèn)題已成為金融學(xué)中定量研究的熱門領(lǐng)域之一。投資組合理論[1]的產(chǎn)生使得數(shù)理金融學(xué)作為金融學(xué)的一個(gè)獨(dú)立的分支迅速發(fā)展起來(lái)。但圍繞投資組合理論，過(guò)去的一系列研究存在許多不足，如：均值—方差投資組合理論單純地考慮一個(gè)確定的投資時(shí)域，并且考慮的市場(chǎng)環(huán)境比較簡(jiǎn)單；投資消費(fèi)理論考慮的是一類單一的消費(fèi)品，投資對(duì)象僅限于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和風(fēng)險(xiǎn)證券。而目前市場(chǎng)上消費(fèi)品與投資對(duì)象日益豐富，原來(lái)的投資理論的一些結(jié)論不能滿足實(shí)際的需求。

因此，如何建立更為完善的投資組合模型，一些算法不能夠很簡(jiǎn)便地使計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算和模擬，且導(dǎo)致結(jié)果不夠準(zhǔn)確，尋找簡(jiǎn)便且準(zhǔn)確的算法，需要不斷地去研究。本項(xiàng)目基于模型選擇，根據(jù)投資組合理論與投資消費(fèi)理論，在均值—方差模型的框架下，首先研究確定時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇，然后研究隨機(jī)時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇[2]次拓展研究特殊消費(fèi)的最優(yōu)投資消費(fèi)決策及含期權(quán)的最優(yōu)投資消費(fèi)模型，最后應(yīng)用于分析實(shí)際數(shù)據(jù)并尋求最優(yōu)的證券組合。

一、主要模型

（一）單階段M-V投資組合模型

在金融市場(chǎng)，風(fēng)險(xiǎn)投資有兩個(gè)決策目標(biāo)，一個(gè)是收益率高低，另一個(gè)是風(fēng)險(xiǎn)大小，二者相互矛盾和制約。在理論上，最大風(fēng)險(xiǎn)最小的投資方案是不存在的，只能在收益和風(fēng)險(xiǎn)之間做出理性的權(quán)衡然后構(gòu)造最優(yōu)組合模型，確定最優(yōu)投資比例，如理性投資者希望在風(fēng)險(xiǎn)最小的前提下實(shí)現(xiàn)較為滿意的收益水平。此時(shí)建立馬科維茨（Markowitz）模型，根據(jù)馬科維茨（Markowitz）的假設(shè)，多數(shù)投資者均為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，在風(fēng)險(xiǎn)投資決策中，首先考慮最小風(fēng)險(xiǎn)這一目標(biāo)，其次考慮收益水平。由此，以組合投資的方差最小為決策目標(biāo)，構(gòu)造最小風(fēng)險(xiǎn)組合投資模型[3]。

minσ2（r）=WT∑Ws.t.ETW=1

這是一個(gè)二次規(guī)劃間題，構(gòu)造Lagrange函數(shù)L（W）=WT∑W+λ（ETW-1），令=0，=0，有：

2∑W+λE=0ETW-1=0

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，解得λ=，最優(yōu)投資比例系數(shù)向量為W=，組合投資風(fēng)險(xiǎn)值為：

σ2（r）=

可以證明，最小風(fēng)險(xiǎn)組合投資的風(fēng)險(xiǎn)值滿足條件σ2（r）≤σn，i=1，2，…，m。這表明，組合投資風(fēng)險(xiǎn)小于單項(xiàng)投資風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合，達(dá)到了投資風(fēng)險(xiǎn)之間的相互吸收。并且，組合投資的收益率滿足條件μ（rt）≤μ（r）≤μ（rt），最小風(fēng)險(xiǎn)組合投資模型在最小風(fēng)險(xiǎn)條件下實(shí)現(xiàn)了比較滿意的收益水平。

（二）多階段M-V投資組合模型

多階段模型是單階段模型的推廣，也可以說(shuō)是由每個(gè)階段的投資組合構(gòu)成的投資組合組。設(shè)第n個(gè)資產(chǎn)在此階段的隨即收益率為ω，即是投資者在此階段的第一個(gè)資產(chǎn)到第n個(gè)資產(chǎn)的投資比例，也即是投資者在此階段投資結(jié)束時(shí)的財(cái)富量，則多階段的模型如下：

minVar（Wt）

s.t.E（WT）>μtWT=Wt-1[∑n i=1xitrit+（1-∑n i=1xit）r0t] t=1，2，…，T

其中，μ為給定的期終期望收益。

（三）鞅表示定理

一個(gè)平方可積鞅隨機(jī)微分方程為：

dX（t）=B（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dV X（0）=τ

其中，V為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)。

二、最優(yōu)投資組合理論

（一）最優(yōu)投資組合的含義

最優(yōu)投資組合，是指某投資者在可以得到的各種可能的投資組合中，唯一可獲得最大效用期望值的投資組合，有效集的上凸性和無(wú)差異曲線的下凸性決定了最優(yōu)投資組合的唯一性。

（二）確定時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇

股票價(jià)格服從跳躍擴(kuò)散過(guò)程的均值—方差模型，股票價(jià)格在一個(gè)時(shí)域內(nèi)很有可能會(huì)發(fā)生許多突發(fā)狀況，因此在很多情況下人們用跳躍擴(kuò)散過(guò)程來(lái)描述。因此，建立一個(gè)關(guān)于擴(kuò)散過(guò)程的最優(yōu)模型：

dpi=pi（t）[bi（t）dt+∑i j=1ωij（t）dwj（t）+∑m k=1 pi（0）=pi

在實(shí)際生活中，對(duì)于消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，一般情況下他們的固定消費(fèi)基本上是不變的，這與他們的收入有很大的關(guān)系。由此確定的函數(shù)關(guān)系數(shù)我們稱之為固定消費(fèi)模式，假定市場(chǎng)是一個(gè)隨時(shí)間連續(xù)變化的體系，一般用1個(gè)完備的概率濾波空間（Ω，？祝，{？祝t} t≥0，P）來(lái)描述，在這個(gè)空間上有1個(gè)n-1維的Brown運(yùn)動(dòng)w（t）=（W1（t），W2（t）…Wn（t））T，{？祝t} t≥0是W（t）的自然濾波，設(shè)市場(chǎng)上可提供的資產(chǎn)為n+1個(gè)，其中1個(gè)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，價(jià)格P0（t）滿足方程P0（t）=P0（t）r（t）dt，r（t）為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，其余n個(gè)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i個(gè)資產(chǎn)的價(jià)格Pi（t）滿足下面的隨機(jī)微分方程：

dPi（t）=Pi（t）[bi（t）dt+σij（t）dWj（t）]，i=1，2，…n

假定投資者進(jìn)入市場(chǎng)后在有限時(shí)域[0，T]內(nèi)連續(xù)進(jìn)行交易，那么由It？觝公式，他的財(cái)富過(guò)程x（t）滿足：

dx（t）=r（t）x（t）+（bi（t）-r（t））？仔i（t）dt+？滓ij（t）？仔i（t）dWj（t）x（0）=x

其中，？仔it表示在t時(shí)刻在資產(chǎn)i上的投資量。令？仔（t）=（？仔1（t），？仔2（t），…，？仔n（t））T，稱？仔（·）為一個(gè)投資組合。所有允許投資組合的集合記為？撰（x）。投資者的目的是在集？撰（x）中選擇最優(yōu)投資組合使得最終財(cái)富的期望最大與差最小之間實(shí)現(xiàn)合理的權(quán)衡，一般連續(xù)時(shí)間M-V模型可建立為：

min（-Ex（T），Varx（T））， s.t？仔（·）∈？撰（x）

假定投資者在時(shí)間段[0，t]內(nèi)的總消費(fèi)量為C（t），記

c（t）=為消費(fèi)率，1個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券，投資者的財(cái)富過(guò)程需要滿足如下方程：

dx（t）=[x（t）r（t）+？仔（t）T（b（t）-r（t）1n）-c（t）dt+？仔tT？滓（t）dW（t）]x（0）=x>0

有效前沿解析式：

股票價(jià)格服從市場(chǎng)系數(shù)過(guò)程的均值—方差模型，對(duì)于市場(chǎng)系數(shù)需要考慮到很多問(wèn)題，很多方法與實(shí)際都不太相符，因?yàn)槭袌?chǎng)系數(shù)是隨機(jī)變化的，導(dǎo)致很多為題的求解困難，尤其是把它推廣到隨機(jī)的情形，因此本文采用鞅方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。設(shè)投資者在時(shí)的財(cái)富為，那么滿足微分方程：

d[β（t）x（t）]=β（t）π（t）（b（t）-r（t））dt+β（t）π（t）σ（t）dt β（0）x（0）=x

（三）隨機(jī)時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇

關(guān)于離散時(shí)間市場(chǎng)狀態(tài)下隨機(jī)時(shí)域的均值—方差模型，設(shè)投資者從0時(shí)刻進(jìn)入市場(chǎng)進(jìn)行投資，其初始財(cái)富為，計(jì)劃進(jìn)行個(gè)階段的投資，市場(chǎng)上有中證券，其中1中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，中風(fēng)險(xiǎn)證券。投資者在隨機(jī)時(shí)域[0，T]內(nèi)，使最終利益的期望最大，風(fēng)險(xiǎn)最小，根據(jù)這個(gè)建立如下模型：

maxuE（γυτ-wυ2T）s.t.vt=υt-1（r0t+R0tπt） υ0=1

其中，w>0。

關(guān)于連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)狀態(tài)下隨機(jī)時(shí)域的均值—方差模型，在一個(gè)確定函數(shù)下，最優(yōu)投資策略模型為：

minπE[wx（T）2-τx（T）] s.t.π∈x

關(guān)于跳躍擴(kuò)散市場(chǎng)狀態(tài)下隨機(jī)時(shí)域的均值—方差模型，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格滿足方程，第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格滿足下面隨機(jī)微分方程：

結(jié)語(yǔ)

本文是在確定時(shí)域下分別建立了股票價(jià)格服從跳躍擴(kuò)散過(guò)程、固定消費(fèi)和市場(chǎng)系數(shù)為隨機(jī)過(guò)程這三種情況下的均值—方差模型，得到這三種情況下的投資策略庫(kù)和有效前沿方程式；在隨機(jī)時(shí)域下建立了離散時(shí)間、連續(xù)時(shí)間與跳躍時(shí)間三種市場(chǎng)狀態(tài)下的均值—方差模型，得到其解析表達(dá)式。從這幾個(gè)模型中我們可以看出，其在投資組合理論與投資消費(fèi)理論下的最優(yōu)解析式。

另外，文中給出了模型評(píng)價(jià)的方式為投資者提供了選擇，即如果在相似度比較高的模型中進(jìn)行投資活動(dòng)時(shí)，投資者可以采取偏好系數(shù)加權(quán)法，更多地考慮自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好，但相似程度低的模型則考慮最小風(fēng)險(xiǎn)模型來(lái)最小化損失，投資者可以根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好的不同，在投資模型選擇時(shí)參考本文中的幾種方法。同時(shí)，我們可以根據(jù)文中提到的模型的基本性質(zhì)來(lái)對(duì)這些模型做一個(gè)一般性的檢驗(yàn)，也即驗(yàn)證他們是否滿足這些人們普遍贊同的性質(zhì)。結(jié)合模型所滿足性質(zhì)的意義來(lái)考慮組合模型的實(shí)用性，以及對(duì)于自己的投資做出合理的決策。

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[責(zé)任編輯 陳丹丹]