趙曰強(qiáng), 麥 強(qiáng), 許慶彥

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.中國(guó)航天科工防御技術(shù)研究院,北京 100854; 3. 清華大學(xué)材料學(xué)院, 北京 100084)

?

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可信度建模

趙曰強(qiáng)1,2, 麥 強(qiáng)1, 許慶彥3

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.中國(guó)航天科工防御技術(shù)研究院,北京 100854; 3. 清華大學(xué)材料學(xué)院, 北京 100084)

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能通常采用ADC(availability,dependability,capability)模型來(lái)評(píng)定。隨著裝備的發(fā)展和對(duì)抗復(fù)雜性的提升,系統(tǒng)可信度的建模和分析計(jì)算越發(fā)關(guān)鍵。通過(guò)分析裝備本身的功能組成結(jié)構(gòu),分析系統(tǒng)所有可能的狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,來(lái)建立可信度的求解模型。并用算例進(jìn)一步驗(yàn)證了模型,證明了模型的適用性。

防空導(dǎo)彈; 系統(tǒng)效能; ADC模型; 可信度模型

0 引 言

由于防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)組成復(fù)雜,在系統(tǒng)效能分析和模型建立時(shí)要對(duì)導(dǎo)彈系統(tǒng)、探測(cè)制導(dǎo)系統(tǒng)、發(fā)射系統(tǒng)、指控系統(tǒng)、支援保障系統(tǒng)的工作狀態(tài)進(jìn)行綜合分析與描述,單指標(biāo)模型有很大的局限。為了準(zhǔn)確地評(píng)定防空導(dǎo)彈武器的系統(tǒng)效能,需要把影響作戰(zhàn)效能的各種因素進(jìn)行全面、系統(tǒng)的分析,將各單項(xiàng)效能進(jìn)行綜合,構(gòu)成一個(gè)能概括武器系統(tǒng)效能各個(gè)分量的綜合解析表達(dá)式,從而對(duì)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)進(jìn)行全面分析。而ADC(availability,dependability,capability)模型是用系統(tǒng)可用性向量A、可信度矩陣D、固有能力矩陣C的乘積表示系統(tǒng)效能,即

E=ADC=(ai)1×n·(dij)n×n·(cjk)n×m=(ei)1×m

(1)

式中,A=(ai)1×n表示系統(tǒng)在開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)時(shí)處于不同狀態(tài)的概率,其任一元素ai表示系統(tǒng)在開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)時(shí)處于狀態(tài)i的概率;D=(dij)n×n描述系統(tǒng)在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中完成規(guī)定功能的概率,其中元素dij表示在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中系統(tǒng)由i狀態(tài)轉(zhuǎn)入j狀態(tài)的概率;C=(cjk)n×m表示系統(tǒng)在可用、可信條件下達(dá)到任務(wù)目標(biāo)的概率,其中元素cjk表示系統(tǒng)在有效狀態(tài)j中的第k個(gè)能力描述指標(biāo)。

上述三要素在效能中呈現(xiàn)鏈狀邏輯,即可用性、可信度和固有能力中任一項(xiàng)為零時(shí),系統(tǒng)效能為零。

可信度(dependability)也就是武器系統(tǒng)在開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)時(shí)刻處于某一狀態(tài),而執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中的某時(shí)刻轉(zhuǎn)移為另一種狀態(tài)的概率?？尚哦染仃囀窍到y(tǒng)使用過(guò)程中,處于可工作狀態(tài)的度量,是系統(tǒng)在使用過(guò)程中完成規(guī)定任務(wù)或具備規(guī)定性能的量度?？捎眯悦枋龅氖菓?zhàn)備狀態(tài),而可信度描述的是戰(zhàn)斗狀態(tài)。

在進(jìn)行防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能評(píng)估時(shí),對(duì)固有能力的研究比較多,但可信度經(jīng)常忽略或被過(guò)度簡(jiǎn)化。因可信度與武器系統(tǒng)的可靠性、維修性及人員等因素有關(guān),包含諸多定量的、定性的和模糊的因素,目前尚無(wú)簡(jiǎn)便、有效、定量的計(jì)算和評(píng)估方法。這個(gè)問(wèn)題逐步引起裝備承制和使用部門(mén)的重視,本文就是開(kāi)展這方面研究。

1 系統(tǒng)可信度的量度

若假設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài),在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中的t時(shí)刻,每一種狀態(tài)都可能轉(zhuǎn)變?yōu)檫@n種狀態(tài)中的任意一種狀態(tài),則可信度可以用n×n的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)表示,稱為可信度矩陣D(t)=(dij(t))n×n。即

(2)

式中,dij(t)為系統(tǒng)從Si狀態(tài)開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)后,在執(zhí)行過(guò)程中的t時(shí)刻處于Sj狀態(tài)(有效狀態(tài))的概率。

矩陣D(t)中每個(gè)元素都有dij(t)∈[0,1],每行元素和為1,即

(3)

矩陣D(t)中的元素dij(t)按照元素右下角的編號(hào)越大則故障越多越嚴(yán)重的規(guī)則排序,系統(tǒng)在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能有以下3種情況。

(1)i>j時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)變壞。出現(xiàn)這種情況的原因有兩種:一是系統(tǒng)自身變壞;二是沒(méi)修好或沒(méi)修。

(2)i=j時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)變化。出現(xiàn)這種情況的原因有兩種:一是系統(tǒng)性能自身無(wú)變化;二是沒(méi)修好或沒(méi)修。

(3)i

將在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中故障可修復(fù)的系統(tǒng)稱為可修復(fù)系統(tǒng),故障不能修復(fù)的系統(tǒng)稱為不可修復(fù)系統(tǒng)。

如果武器系統(tǒng)在執(zhí)行任務(wù)的過(guò)程中不能修理,則系統(tǒng)在開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)時(shí)出現(xiàn)的故障始終存在,所以可信度矩陣中與這些單元或部件對(duì)應(yīng)的元素都為零。按照元素右下角的編號(hào)越大故障越多越嚴(yán)重的規(guī)則,因而可信度矩陣為一個(gè)上三角矩陣,即為

(4)

需要明確,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P中的元素(pij)n×n是描述系統(tǒng)在任意時(shí)刻由Si狀態(tài)經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率,是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的量,是用故障率λ和維修率μ來(lái)表達(dá)的?？尚哦染仃嘍中的元素(dij)n×n是描述系統(tǒng)在開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)時(shí)刻處于Si狀態(tài),在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中的t時(shí)刻,轉(zhuǎn)移到Sj狀態(tài)的概率,其是一個(gè)與時(shí)間t有關(guān)的量,是用故障率λ、維修率μ、可靠度R(t)和維修度M(t)來(lái)表示,若不考慮工程中的維修，可用可靠度R(t)來(lái)表示,可靠度的計(jì)算是基礎(chǔ)。

2 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可信度模型

2.1 對(duì)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的建模條件

在應(yīng)用Markov過(guò)程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)建立系統(tǒng)可信度矩陣計(jì)算模型之前,為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,本文對(duì)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)特作如下描述和約定:

(1) 某防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)假設(shè)有n種狀態(tài),并約定系統(tǒng)狀態(tài)依照其各狀態(tài)功能逐漸降低來(lái)排序。武器系統(tǒng)各單元全可用、系統(tǒng)正常工作、功能最強(qiáng)的狀態(tài)記為S1，武器系統(tǒng)故障、不能工作記為Sn，則武器系統(tǒng)處于狀態(tài)Si(1

(2) 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的各單元的故障出現(xiàn)和修理時(shí)間均服從指數(shù)分布,即故障率λ和修復(fù)率μ是常數(shù)。

(3) 出現(xiàn)故障的單元經(jīng)修復(fù)后,其再發(fā)生故障的分布與原系統(tǒng)狀態(tài)相同。

(4) 系統(tǒng)的各組成只有正常和故障兩種狀態(tài)。

(5) 在極短的時(shí)間Δt內(nèi),系統(tǒng)中只能有一個(gè)單元出現(xiàn)故障或被修復(fù)。

2.2 系統(tǒng)的功能組成結(jié)構(gòu)。

考察目前世界的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng),按邏輯組成可分為如圖1所示的3種結(jié)構(gòu)。圖1中,C為指揮控制車;R為制導(dǎo)雷達(dá)車;S為搜索指揮車;Fi(i=1,2,…,n)為導(dǎo)彈發(fā)射車,n≥3(I),n≥2(II); Ii(i=1,2,…,m)為跟蹤照射車,m≥3;FUi(i=1,2,…,n)為制導(dǎo)發(fā)射車,n≥3; Mi(i=1,2,…,k)為導(dǎo)彈,k為單車(架)載彈量。

以C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)為例,邏輯組成符合結(jié)構(gòu)I,由1輛C車、1輛R車、6輛F車和6枚導(dǎo)彈(1枚導(dǎo)彈/車)組成,分析其邏輯結(jié)構(gòu)、計(jì)算狀態(tài)數(shù)和可用性向量。將串聯(lián)系統(tǒng)合并處理,也就是將其中的串聯(lián)系統(tǒng)合并成一個(gè)單元來(lái)考慮。這樣原系統(tǒng)14個(gè)單元就合并為7個(gè)單元,大大減少了狀態(tài)數(shù),簡(jiǎn)化了計(jì)算,又不影響計(jì)算結(jié)果。形成的系統(tǒng)邏輯結(jié)構(gòu)圖,如圖2所示。

圖1 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Structure block diagram of air defense missile weapon system

圖2 C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖(合并后)Fig.2 Structure block diagram of C-75D(SA-2) air defense missile weapon system (after merging)

再如愛(ài)國(guó)者防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)也符合結(jié)構(gòu)I,但其每輛發(fā)射車裝4枚導(dǎo)彈,4枚導(dǎo)彈并聯(lián)后和發(fā)射車串聯(lián),就又變得更復(fù)雜，如圖3所示。

2.3 確定系統(tǒng)的狀態(tài)

如果某幾個(gè)不同的狀態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)執(zhí)行任務(wù)的能力相同,則應(yīng)將這幾個(gè)狀態(tài)合并為一個(gè)狀態(tài)。

可信度也就是武器系統(tǒng)在開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)時(shí)刻處于某一狀態(tài),而執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中的某時(shí)刻轉(zhuǎn)移為另一種狀態(tài)的概率?？尚哦染仃囀窍到y(tǒng)使用過(guò)程中,處于可工作狀態(tài)的度量,是系統(tǒng)在使用過(guò)程中完成規(guī)定任務(wù)或具備規(guī)定性能的量度。

如果系統(tǒng)在工作過(guò)程中的任一時(shí)刻,出現(xiàn)n個(gè)兩兩互斥事件中一個(gè)且僅出現(xiàn)一個(gè),則稱這些事件為狀態(tài)。

圖3 愛(ài)國(guó)者防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structure block diagram of Patriot air defense missile weapon system

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)屬于復(fù)雜系統(tǒng)(含串并聯(lián)的復(fù)合系統(tǒng)),一個(gè)火力單元有多個(gè)目標(biāo)通道,一個(gè)目標(biāo)通道有多個(gè)導(dǎo)彈通道,狀態(tài)非常多。

下面本文整理幾種防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)來(lái)觀察,如表1所示。

表1 幾種防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)

仍以C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)為例,來(lái)說(shuō)明防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移。如表2所示。由表2可以看出,C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器共有7種狀態(tài),狀態(tài)1～6,系統(tǒng)處于可用狀態(tài),狀態(tài)7為故障狀態(tài)。

表2 C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的狀態(tài)表

2.4 建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

系統(tǒng)從Si狀態(tài)開(kāi)始執(zhí)行任務(wù)后,在執(zhí)行過(guò)程中處于Sj狀態(tài)(有效狀態(tài))的概率為pij,稱為pij轉(zhuǎn)移概率,pij的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖4所示。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij只取決于狀態(tài)Si和狀態(tài)Sj,而與所有以前的狀態(tài)無(wú)關(guān),這是Markov隨機(jī)過(guò)程。若假設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài),每一種狀態(tài)都可能轉(zhuǎn)變?yōu)檫@n種狀態(tài)中的任意一種狀態(tài),則共有n2個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij(i,j=1,2,…,n)。n2個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,按同一起始轉(zhuǎn)移狀態(tài)排成一行,同一結(jié)束狀態(tài)排成一列,則按狀態(tài)順序可以排成一個(gè)n階方陣,稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(pij)n×n,即

(5)

式中,pij為系統(tǒng)從Si狀態(tài)經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)移到Sj狀態(tài)的概率。

圖4 C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖Fig.4 Schematic diagram of state transition of C-75D(SA-2) air defense missile weapon system

特別地,如果系統(tǒng)不可修復(fù),則狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P是一個(gè)上三角矩陣,即

(6)

對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P進(jìn)行檢驗(yàn)。利用矩陣P的兩條重要性質(zhì),來(lái)檢驗(yàn)所建立的矩陣P的正確性。

矩陣中的元素即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij只與故障率λ和修復(fù)率μ有關(guān)。

由圖4可見(jiàn)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移非常復(fù)雜,如美國(guó)的愛(ài)國(guó)者防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng),每個(gè)火力單元有8輛發(fā)射車,每輛發(fā)射車裝4發(fā)導(dǎo)彈;而每個(gè)火力單元的配套數(shù)量?jī)?nèi),如發(fā)射車由于陣地配置、防守方位、目標(biāo)的不同,不能認(rèn)為沒(méi)有差異,因此狀態(tài)會(huì)更復(fù)雜。

2.5 建立系統(tǒng)狀態(tài)方程

現(xiàn)在考慮兩種狀態(tài)Si和Sj,當(dāng)系統(tǒng)在t時(shí)刻處于狀態(tài)Si的概率為pi(t)時(shí),根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij,可知經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間后,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率為pijΔt,記系統(tǒng)在t時(shí)刻處于各種狀態(tài)的概率為

(7)

則在t+Δt時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)Sj的概率為

Pj(t)=pi(t)pijΔt

(8)

由于t時(shí)刻系統(tǒng)可能處于n種的任一狀態(tài),經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間后每一種狀態(tài)都可能轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj,因此,在t+Δt時(shí)刻系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率為

(9)

將方程組式(9)的第1,第2,…,第n個(gè)等式兩邊分別減去p1(t)Δt,p2(t)Δt,…,pn(t)Δt后,得

(10)

令Δt→0,即得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程,其是一個(gè)一階線性常系數(shù)微分方程,用矩陣表示為

(11)

式中,U=[P′-I],P′為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P的轉(zhuǎn)置矩陣,I是與P′同階的單位矩陣;p(t)為列向量。

(12)

2.6 通過(guò)狀態(tài)方程求解可信度矩陣

在初始時(shí)刻系統(tǒng)可能處于n種狀態(tài)中的任一種,所以狀態(tài)方程式有n個(gè)初始條件:

(13)

求出狀態(tài)方程的通解后,代入n個(gè)初始條件得到n個(gè)特解,如式(13)表示。

(14)

式中,d1(t)表示系統(tǒng)在初始狀態(tài)為p01于t時(shí)刻轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率;d2(t)表示系統(tǒng)在初始狀態(tài)為p02于t時(shí)刻轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率;以此類推,dn(t)表示系統(tǒng)在初始狀態(tài)為p0n于t時(shí)刻轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率。

將這n個(gè)特解寫(xiě)成矩陣形式,即得到系統(tǒng)的可信度矩陣

(15)

為了將復(fù)雜問(wèn)題合理簡(jiǎn)化,根據(jù)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)執(zhí)行任務(wù)的特點(diǎn),由于其屬于快速反應(yīng)系統(tǒng),每個(gè)作戰(zhàn)過(guò)程時(shí)間很短,射擊中來(lái)不及對(duì)失效部件進(jìn)行修復(fù),也就可以不考慮在執(zhí)行任務(wù)的過(guò)程中的修理,即其可信度矩陣的某些元素為零。因?yàn)樵陂_(kāi)始執(zhí)行任務(wù)后(或執(zhí)行任務(wù)時(shí))處于故障狀態(tài)的單元不可能再開(kāi)始工作,所以其中這些單元對(duì)應(yīng)的元素都等于零。而且,狀態(tài)序號(hào)越大(時(shí)間越靠后)故障越多,這時(shí)可信矩陣為一個(gè)三角矩陣。如果系統(tǒng)是一個(gè)不可修復(fù)系統(tǒng),則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P是一個(gè)上三角矩陣,對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣是一個(gè)下三角矩陣,狀態(tài)方程和求解過(guò)程都可簡(jiǎn)化,而較容易得到可信度矩陣D，即

D=(dij)n×m,i>j時(shí)dij=0

(16)

3 算例

下面研究?jī)蓚€(gè)例子,第一個(gè)是最簡(jiǎn)單、最典型的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的模型,借此說(shuō)明計(jì)算的步驟和方法應(yīng)用,第二個(gè)繼續(xù)研究第2節(jié)討論的C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)例子,通過(guò)算例來(lái)對(duì)模型進(jìn)行豐富完善。

算例 1 某防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)A只有正常和故障兩種狀態(tài),系統(tǒng)的故障率為λ,修復(fù)率為μ。按可修復(fù)和不可修復(fù)分別計(jì)算工作中t時(shí)刻系統(tǒng)的可信度矩陣;若系統(tǒng)的MTBF=40 h,計(jì)算不可修復(fù)情況下連續(xù)工作2 h是系統(tǒng)的可信度矩陣。

下面進(jìn)行分析,將系統(tǒng)A的正常狀態(tài)記為S1,故障狀態(tài)記為S2。

(1) 如果防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)A是一個(gè)可修復(fù)系統(tǒng)。

首先來(lái)分析該系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P每一個(gè)元素的取值:

系統(tǒng)由狀態(tài)S1狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S1,即維持正常狀態(tài)不變,也就是未出故障。由于系統(tǒng)的故障率為λ,因此未出故障的概率為1-λ,故有p11=1-λ;

系統(tǒng)由狀態(tài)S1狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S2,即由正常狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楣收蠣顟B(tài)。由于系統(tǒng)的故障率為λ,故有p12=1-λ;

系統(tǒng)由狀態(tài)S2狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S1,即故障狀態(tài)經(jīng)修理后轉(zhuǎn)變?yōu)檎顟B(tài)。由于系統(tǒng)的修復(fù)率為μ,故有p21=μ;

系統(tǒng)由狀態(tài)S2狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S2,即維持故障狀態(tài)不變,也就是故障未修復(fù)。由于系統(tǒng)的修復(fù)率為μ,因此未修復(fù)的概率為1-μ,故有p22=1-μ。

于是,該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P為

(17)

利用矩陣P的兩條重要性質(zhì)對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P進(jìn)行檢驗(yàn)，建立的矩陣是正確的。

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣建立狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣U為

(18)

狀態(tài)方程為

(19)

可求得方程的通解為

(20)

該系統(tǒng)有兩種狀態(tài),因此狀態(tài)方程有兩個(gè)初始條件

(21)

將這兩個(gè)初始條件分別代入通解,得到兩個(gè)特解為

(22)

于是,工作中t時(shí)刻系統(tǒng)的可信度矩陣D(t)為

(23)

式中,t為執(zhí)行任務(wù)的持續(xù)時(shí)間;λ為故障率;μ為修復(fù)率。

(2) 如果防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)A是一個(gè)不可修復(fù)系統(tǒng),即修復(fù)率為μ=0。

于是,該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P為

(24)

建立狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣U為

(25)

狀態(tài)方程為

(26)

可求得方程的通解為

(27)

有兩個(gè)初始條件

(28)

將這兩個(gè)初始條件分別代入通解,得到兩個(gè)特解為

(29)

于是,工作中t時(shí)刻系統(tǒng)的可信度矩陣D(t)為

(30)

式中,t為執(zhí)行任務(wù)的持續(xù)時(shí)間;λ為故障率。

系統(tǒng)的可靠度為

R(t)=e-λt

(31)

則可信度矩陣D(t)可記為

(32)

(3) 設(shè)該防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)MTBF=40 h,是一個(gè)不可修復(fù)系統(tǒng),計(jì)算連續(xù)工作到2 h的可信賴矩陣。由條件可計(jì)算得

再由t=2 h,可求出工作到2 h時(shí)刻的系統(tǒng)可信度矩陣為

(33)

本例是一個(gè)最簡(jiǎn)單、最典型的也是比較實(shí)用的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可信度矩陣的計(jì)算模型,因?yàn)橄喈?dāng)數(shù)量的系統(tǒng)本身就是由多個(gè)部件串聯(lián)而成的系統(tǒng),或者可簡(jiǎn)化為由多個(gè)單元串聯(lián)而成的系統(tǒng),而這類系統(tǒng)就只有正?；蚬收蟽煞N狀態(tài),可直接參照本例進(jìn)行可信度矩陣的計(jì)算。

算例 2 C-75D(SA-2)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)由1輛C車、1輛R車、6輛F車和6枚導(dǎo)彈M(1枚導(dǎo)彈/車)組成,如圖2所示;如果C車MTBF:TC=120 h,R車MTBF:TR=55 h,F車MTBF:TF=350 h,導(dǎo)彈的可靠度RM=0.9;計(jì)算戰(zhàn)斗狀態(tài)持續(xù)t=0.25 h時(shí),過(guò)程中不修復(fù),單次射擊任務(wù)的可信度矩陣。

(1) 將串聯(lián)系統(tǒng)合并處理,這樣可靠度RC+R=RC·RR,RF+M=RF·RM。原系統(tǒng)就合并為7個(gè)單元,分別有可用和故障兩種狀態(tài),如果不考慮不同發(fā)射車和導(dǎo)彈的差異則該武器系統(tǒng)有7種狀態(tài),如表2所示，狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖4所示。那么可信度矩陣為7階方陣。

(2) 可以直接分析可信度矩陣中每一行元素的意義。

第1行表示系統(tǒng)初始狀態(tài)為S1,即指控雷達(dá)系統(tǒng)、發(fā)射車導(dǎo)彈都正常,系統(tǒng)正常,工作到t時(shí)刻,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率:

d11為指控雷達(dá)系統(tǒng)、發(fā)射車導(dǎo)彈都正常,系統(tǒng)狀態(tài)仍為S1,表示為

d12為其中1個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S2,表示為

d13為其中2個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S3,表示為

d14為其中3個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S4,表示為

d15為其中4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S5,表示為

d16為其中5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S6,表示為

d17為所有6個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都故障或指控雷達(dá)故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S7,表示為

d17=RC+R·(1-RF+M)6+(1-RC+R)

第2行表示系統(tǒng)初始狀態(tài)為S2,即系統(tǒng)中1個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,指控雷達(dá)系統(tǒng)、另外5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都正常,工作到t時(shí)刻,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率:

d21=0為其中一個(gè)故障的發(fā)射車導(dǎo)彈在工作期間不可修復(fù),系統(tǒng)狀態(tài)不能由S2轉(zhuǎn)移到S1。

d22為指控雷達(dá)系統(tǒng)正常,其中1個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)仍為S2,表示為

d23為其中2個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S3,表示為

d24為其中3個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S4,表示為

d25為其中4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S5,表示為

d26為其中5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S6,表示為

d27為所有6個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都故障或指控雷達(dá)故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S7,表示為

d27=RC+R·(1-RF+M)5+(1-RC+R)

第3行表示系統(tǒng)初始狀態(tài)為S3,即系統(tǒng)中2個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,指控雷達(dá)系統(tǒng)、另外4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都正常,工作到t時(shí)刻,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率:

d31=d32=0為其中有故障的2個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈在工作期間不可修復(fù),系統(tǒng)狀態(tài)不能由S3轉(zhuǎn)移到S1或S2。

d33為2個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈仍然故障,系統(tǒng)狀態(tài)仍為S3,表示為

d34為其中3個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S4,表示為

d35為其中4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S5,表示為

d36為其中5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S6,表示為

d37為所有6個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都故障或指控雷達(dá)故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S7,表示為

d37=RC+R·(1-RF+M)4+(1-RC+R)

第4行表示系統(tǒng)初始狀態(tài)為S4,即系統(tǒng)中3個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,指控雷達(dá)系統(tǒng)、另外3個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都正常,工作到t時(shí)刻,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率:

d41=d42=d43=0為其中有故障的3個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈在工作期間不可修復(fù),系統(tǒng)狀態(tài)不能由S4轉(zhuǎn)移到S1、S2或S3。

d44為3個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈仍然故障,系統(tǒng)狀態(tài)仍為S4,表示為

d45為其中4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S5,表示為

d46為其中5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S6,表示為

d47為所有6個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都故障或指控雷達(dá)故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S7,表示為

d47=RC+R·(1-RF+M)3+(1-RC+R)

第5行表示系統(tǒng)初始狀態(tài)為S5,即系統(tǒng)中4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,指控雷達(dá)系統(tǒng)、另外2個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都正常,工作到t時(shí)刻,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率:

d51=d52=d53=d54=0為其中有故障的4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈在工作期間不可修復(fù),系統(tǒng)狀態(tài)不能由S5轉(zhuǎn)移到S1、S2、S3或S4。

d55為4個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈仍然故障,系統(tǒng)狀態(tài)仍為S5,表示為

d56為其中5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S6,表示為

d56=2RC+R·RF+M(1-RF+M)

d57為所有6個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都故障或指控雷達(dá)故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S7,表示為

d57=RC+R·(1-RF+M)2+(1-RC+R)

第6行表示系統(tǒng)初始狀態(tài)為S6,即系統(tǒng)中5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈故障,指控雷達(dá)系統(tǒng)、另外1個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都正常,工作到t時(shí)刻,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)的概率:

d61=d62=d63=d64=d65=0為其中有故障的5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈在工作期間不可修復(fù),系統(tǒng)狀態(tài)不能由S6轉(zhuǎn)移到S1、S2、S3、S4或S5。

d66為5個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈仍然故障,系統(tǒng)狀態(tài)仍S6,表示為

d66=RC+R·RF+M

d67為所有6個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都故障或指控雷達(dá)故障,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到S7,表示為

d67=RC+R·(1-RF+M)+(1-RC+R)

第7行表示系統(tǒng)初始狀態(tài)為S7,即系統(tǒng)中所有6個(gè)發(fā)射車導(dǎo)彈都故障,或指控雷達(dá)系統(tǒng)故障,系統(tǒng)不能工作,由于系統(tǒng)不能修復(fù),到t時(shí)刻,仍不能工作。即d71=d72=d73=d74=d75=d76=0，那么d77=1。

(3) 由條件計(jì)算得

那么

RC(0.25)=e-λC×0.25=0.997 9

RR(0.25)=e-λR×0.25=0.995 5

RF(0.25)=e-λF×0.25=0.999 3

由

R1=RC+R=RC·RR=0.993 4

R2=RF+M=RF·RM=0.899 4

(34)

(4) 經(jīng)檢驗(yàn),矩陣D(t)中每行元素和為1。

4 結(jié) 論

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可信度矩陣的計(jì)算步驟,通過(guò)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,是一個(gè)一階常微分方程,求通解,再由初始條件求特解,得到可信度矩陣,算例1就是采用這種方法計(jì)算的。也可以看出,對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)較多時(shí),計(jì)算過(guò)程復(fù)雜,可利用Matlab編程采用龍格庫(kù)塔法求解微分方程。

算例2采用的是分析法,把可信度矩陣中的元素用可靠度表達(dá)出來(lái),比較易于理解。這需要對(duì)系統(tǒng)及各單元的可靠度比較清楚。

研究與評(píng)定武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)適應(yīng)性問(wèn)題越來(lái)越引起高度重視,其受武器系統(tǒng)的可靠性、維修性、測(cè)試性、保障性、可用性、安全性、兼容性、互用性等多種因素的綜合影響,即綜合考慮完成任務(wù)的能力高低、生存能力的強(qiáng)弱與武器系統(tǒng)互操作性等,可信性量化計(jì)算困難。本文研究通過(guò)解析計(jì)算利用定量分析方法,使問(wèn)題明確化,比較直觀,便于決策。

[1] Zhang Z L, Li C S, Zhao W Z, et al.Militaryoperationsresearch[M]. Beijing: Military Science Press, 1993:5-20. (張最良,李長(zhǎng)生,趙文志,等. 軍事運(yùn)籌學(xué)[M]. 北京:軍事科學(xué)出版社,1993:5-20.)

[2] Golubev I S, Svetiov V G.Airdefensemissiledesign[M]. Moscow: Moscow Aviation University Press, 2001:1-17.

[3] Li T J.Effectivenessandanalysisofmissileweaponsystem[M]. Beijing: National Defence Industry Press,2000:45-62.(李廷杰.導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的效能及其分析. 北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2000:45-62.)

[4] Lou S C.Analysisofsurfacetoairmissileweaponsystem[M]. Beijing: National Defence Industry Press,2013:196-206.(婁壽春. 面空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)分析[M]. 北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2013:196-206.)

[5] Xiao Y X, Zhang G J.Effectivenesscostanalysisofgroundairdefenseweaponsystem[M]. Beijing: National Defence Industry Press,2006:116-150. (肖元星,張冠杰. 地面防空武器系統(tǒng)效費(fèi)分析[M]. 北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2006:116-150.)

[6] China Aerospace Industry Corporation.Theworldencyclopediaofmissiles[M]. Beijing: Military Science Press,1998:269-515. (中國(guó)航天工業(yè)總公司. 世界導(dǎo)彈大全[M]. 北京:軍事科學(xué)出版社,1998:269-515.)

[7] U.S. Missile Data Book 2000[R]. Data Search Associate. 1999.

Dependability modeling research of air-defense missile weapon systems

ZHAO Yue-qiang1,2, MAI Qiang1, XU Qing-yan3

(1.SchoolofManagement,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China; 2.DefenseTechnologyAcademyofChinaAerospaceScience&IndustryCorporation,Beijing100854,China;3.SchoolofMaterialsScienceandEngineering,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)

Effectiveness of the air defense missile weapon system is usually evaluated by the ADC (availability,dependability,capability) model. With the development of equipment and the promotion of confrontation complexity,the modeling and analysis of the system dependability is one of the key issues. By analyzing the functional structure of the equipment, analyzing all possible system states and state transformation probability, the solution model of the dependability is established. The model is further proved by a numerical example, and the applicability of the model is verified.

air defense missile; system effectiveness; ADC model; dependability model

2016-05-04;

2016-09-13;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2016-11-22。

TJ 761.1, N 945.17

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.12.15

趙曰強(qiáng)(1970-),男,研究員,博士研究生,主要研究方向?yàn)楹教煜到y(tǒng)總體、系統(tǒng)工程管理。

E-mail:zhyqng@hotmail.com

麥 強(qiáng)(1977-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)楹教煜到y(tǒng)工程。

E-mail:maiqianghit2003@126.com

許慶彥(1971-),男,教授,博士,博士研究生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)椴牧辖Ｅc仿真。

E-mail:scjxqy@tsinghua.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20161122.1347.022.html