杜 昕，劉會(huì)龍，黃悅琛

（1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心高速空氣動(dòng)力所，綿陽621000；2.國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410072）

探月返回跳躍式再入標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)律

杜 昕1，劉會(huì)龍1，黃悅琛2

（1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心高速空氣動(dòng)力所，綿陽621000；2.國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410072）

針對(duì)目前大多數(shù)跳躍式再入制導(dǎo)方案在初次再入段采用數(shù)值預(yù)測?校正算法存在的計(jì)算量較大、在線應(yīng)用困難的問題，提出了一種新的跳躍式再入標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)方案。整條標(biāo)稱軌跡通過離線軌跡規(guī)劃算法得到。在初次再入段，采用非線性預(yù)測控制算法來跟蹤阻力加速度?能量剖面，將預(yù)測跟蹤誤差表示為依賴于控制量的截?cái)嗵├照归_式，然后尋找使得特定目標(biāo)函數(shù)最小的控制量。進(jìn)入二次再入段，采用類似于阿波羅末段制導(dǎo)的線性反饋跟蹤方式，PID控制器系數(shù)通過插值得到。最后，在考慮各種誤差的情況下進(jìn)行了500次蒙特卡洛仿真，仿真結(jié)果表明制導(dǎo)律的精度較高，魯棒性較好。

探月返回；跳躍式再入；標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)；非線性預(yù)測控制；線性反饋控制

1 引言

再入制導(dǎo)一般可分為縱向制導(dǎo)和橫向制導(dǎo)。橫向制導(dǎo)一般通過傾側(cè)角反轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)，縱向制導(dǎo)則方法多樣，一般分為標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)和預(yù)測制導(dǎo)［1］。針對(duì)跳躍式再入情況，Draper實(shí)驗(yàn)室最先將數(shù)值預(yù)測?校正算法引入，形成了跳躍式再入的數(shù)值預(yù)測制導(dǎo)方案PredGuid［2］。此后，對(duì)于跳躍式再入數(shù)值預(yù)測制導(dǎo)的研究開始增多，如NASA的 NSEG［3］以及 Ping Lu、Christopher的研究工作［4?5］等。Kluever研究了跳躍式再入的解析預(yù)測校正制導(dǎo)［6］。

標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)方法多樣，可以直接跟蹤返回艙的狀態(tài)量［7?9］，也可以跟蹤阻力加速度剖面［10］。阻力加速度制導(dǎo)能有效降低制導(dǎo)性能對(duì)氣動(dòng)模型和大氣模型的依賴性［11］。Apollo再入制導(dǎo)奠定了阻力加速度制導(dǎo)方法的基礎(chǔ)，航天飛機(jī)的再入制導(dǎo)使阻力加速度制導(dǎo)方法得到進(jìn)一步發(fā)展［10］。阻力加速度制導(dǎo)可以跟蹤阻力加速度?速度剖面，也可以跟蹤阻力加速度?能量剖面［12?13］。

對(duì)阻力加速度制導(dǎo)而言，最為關(guān)鍵的問題是阻力加速度剖面的跟蹤算法。在Apollo和航天飛機(jī)的再入制導(dǎo)里，阻力加速度剖面的跟蹤通過PID控制實(shí)現(xiàn)，它忽略了阻力加速度偏差動(dòng)力學(xué)中的非線性項(xiàng)［14］；Mease通過研究航天飛機(jī)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，利用反饋線性化理論跟蹤阻力加速度剖面，發(fā)展出一種改進(jìn)阻力加速度制導(dǎo)算法EAGLE［15］；但是，當(dāng)存在模型偏差或出現(xiàn)控制飽和情況，或者這兩種情況同時(shí)發(fā)生時(shí)，線性反饋跟蹤方式無法實(shí)現(xiàn)誤差的漸進(jìn)穩(wěn)定。通過滑?？刂破鱽砀倪M(jìn)線性反饋控制方式可以較好地解決模型偏差的問題［16］。Ping Lu引入模型預(yù)測控制的思想來跟蹤阻力加速度剖面，發(fā)展出連續(xù)時(shí)間非線性預(yù)測控制（Continuous?Time Nonlinear Predic?tive Control，CTNPC）方法，預(yù)測的跟蹤誤差用控制量的有限泰勒展開式來表示，通過求解非線性優(yōu)化問題來得到控制量，使得某一和預(yù)測偏差相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)取得極值［17?18］。Benito沿著 Ping Lu的方向，采用了不同的目標(biāo)函數(shù)來得到不同形式的控制率，并應(yīng)用于火星的進(jìn)入制導(dǎo)［19］。實(shí)際上，早在20世紀(jì)70年代，工業(yè)控制過程就用到了模型預(yù)測控制［20］（Model Predictive Control， MPC），更多關(guān)于 MPC的細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)［21］。MPC是要預(yù)測一段時(shí)間內(nèi)（若干個(gè)控制周期內(nèi)）的系統(tǒng)輸出，控制量的選取是要使得預(yù)測值與標(biāo)稱值之間的偏差最小。這個(gè)過程在MPC中稱為滾動(dòng)優(yōu)化，通常采用數(shù)值優(yōu)化算法求解。而眾所周知，數(shù)值優(yōu)化算法求解速度較慢，這就限制了MPC的在線應(yīng)用。而CTNPC則選取了較短的預(yù)測時(shí)域增量，并且采用截?cái)嗟奶├照归_，從而對(duì)滾動(dòng)優(yōu)化問題進(jìn)行了簡化，避免了大量的數(shù)值計(jì)算，可以推導(dǎo)出一定精度下的近似解析最優(yōu)解。

本文引入CTNPC來跟蹤跳躍式再入初次再入段的阻力加速度?能量剖面，采用線性反饋控制來跟蹤二次再入段參考軌跡，由此得到一種新的跳躍式再入標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)方案。并在考慮各種誤差的情況下通過500次蒙特卡洛仿真，驗(yàn)證該制導(dǎo)方案的有效性，以及相對(duì)PredGuid、NSEG等在初次再入段采用數(shù)值預(yù)測?校正算法的制導(dǎo)方案在制導(dǎo)精度和計(jì)算時(shí)間上的表現(xiàn)。

2 標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型

2.1 三自由度再入方程

考慮地球?yàn)樾D(zhuǎn)圓球的三自由度再入動(dòng)力學(xué)方程如式（1）～（6）［4］：

其中，r為地心距，θ為經(jīng)度，φ為緯度，V為返回艙速度，γ為飛行路徑角，ψ為速度方位角（正北方向?yàn)榱?，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正），σ為滾轉(zhuǎn)角，ω為地球自轉(zhuǎn)角速度，g為重力加速度，L和D分別為升力加速度和阻力加速度，定義如式（7）～（8）：

其中，ρ為大氣密度，m為返回艙質(zhì)量，S為返回艙參考迎風(fēng)面積。

2.2 阻力加速度動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)阻力系數(shù)CD為常數(shù)，大氣密度模型為指數(shù)模型，并忽略地球自轉(zhuǎn)，對(duì)阻力加速度D的表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)可得式（9）：

求導(dǎo)過程中做了如下近似：D+gsinγ≈D以及cosγ≈1。

對(duì)上式進(jìn)一步求導(dǎo)得式（10）：

展開后得式（11）：

式中：

2.3 制導(dǎo)律總體設(shè)計(jì)

如果在跳躍式再入的全程都跟蹤事先設(shè)計(jì)好的這一條標(biāo)稱軌跡，那么到達(dá)開傘條件時(shí)的縱程累積偏差是比較大的，軌跡的可調(diào)節(jié)性較差。A?pollo再入末段所采用的線性反饋跟蹤制導(dǎo)已經(jīng)被證明在末段具有較高的精度，且能適應(yīng)不同的二次再入條件，軌跡具有較大的可調(diào)節(jié)性［3］。因此，在設(shè)計(jì)的時(shí)候，標(biāo)稱軌跡是整段一起設(shè)計(jì)，而在制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，軌跡初次再入段采用非線性跟蹤算法跟蹤阻力加速度剖面，當(dāng)軌跡進(jìn)入二次再入段則采用Apollo末段的線性反饋跟蹤方式。整個(gè)過程的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)如圖1所示。

圖1 制導(dǎo)律總體設(shè)計(jì)Fig.1 Framework of the guidance strategy

在初始滾轉(zhuǎn)段（即再入點(diǎn)到過載首次達(dá)到0.2g0），氣動(dòng)控制能力十分有限，滾轉(zhuǎn)角取值對(duì)軌跡的影響很小，因此在這一段中不進(jìn)行制導(dǎo)解算，直接采用參考軌跡的滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行飛行，同時(shí)這也可以避免線性反饋跟蹤出現(xiàn)控制飽和的情況。

2.4 阻力加速度跟蹤制導(dǎo)原理

軌跡跟蹤采用阻力加速度跟蹤方式，跟蹤參考軌跡的阻力加速度?能力剖面。定義能量E為式（15）：

其中，μ為地球引力常數(shù)。為方便比較不同軌跡之間的跟蹤特性，將能量進(jìn)行歸一化處理，定義歸一化能量如式（16）：

其中，Ei是軌跡初始時(shí)刻的能量，Ef是軌跡終止時(shí)刻的能量。這樣一來，就代表軌跡初始點(diǎn)，就代表軌跡終止點(diǎn)。

定義航程如式（17）：

對(duì)能量E的表達(dá)式求導(dǎo)可得式（18）：

航程可表示為式（19）：

從式（19）可以看出，準(zhǔn)確地跟蹤D－E剖面，就能準(zhǔn)確地跟蹤航程S。

3 分段跟蹤算法設(shè)計(jì)

3.1 非線性預(yù)測控制器

本文采用的非線性預(yù)測控制器是基于Ping Lu的連續(xù)時(shí)間非線性預(yù)測控制（Continuous?Time Nonlinear Predictive Control，CTNPC）算法［16］。給定如式（20）～（21）所示的非線性系統(tǒng)：

其中，x∈?n是狀態(tài)量，u∈?m是輸入控制量，y∈?l是輸出量。非線性控制器的目的是跟蹤一個(gè)參考輸出量qt()，使式（22）所示目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。

其中，Q∈?l×l是正定矩陣，R∈?m×m是半正定矩陣。設(shè)ηi是yi的相對(duì)次數(shù)，并且時(shí)間步長h＞0是小量，系統(tǒng)輸出近似為式（23）：

其中z（x，h）滿足式（24）：

其中，L表示李導(dǎo)數(shù)，詳細(xì)定義可參考文獻(xiàn)［14］。

W(x，h)∈?l×m的第i行為式（25）所示：

而q(t+h)可以近似表示為式（26）：

其中d（x，h）滿足式（27）：

令?J/?u＝0，得到式（28）：

其中，e(t)＝y(tǒng)(t)－q(t)為跟蹤誤差。

3.2 初次再入段軌跡跟蹤

對(duì)于再入問題，有n＝6，m＝1（只有滾轉(zhuǎn)角一個(gè)輸入控制量）。跟蹤時(shí)，考慮跟蹤阻力加速度D和阻力加速度變化率兩個(gè)量，因此有l(wèi)＝2，η1＝2，η2＝1。跟蹤誤差定義為式（29）～（30）：

其中，下標(biāo)“r”代表參考軌跡。

t+h時(shí)刻的預(yù)測誤差可以近似表示為式（31）～（32）：

設(shè)Q∈?2×2是對(duì)角線矩陣，對(duì)角線元素為α1≥0、α2≥0，并且R＝0，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)槭剑?3）：

目標(biāo)函數(shù)對(duì)控制量的偏導(dǎo)為式（34）：

由式（11）、（29）、（30）可以得到式（35）～（36）：

因此有式（37）～（38）：

將式（37）～（38）代入式（34），得到式（39）：

其中：

3.3 二次再入段軌跡跟蹤

二次再入段采用Apollo末段所采用的線性反饋跟蹤方式，它的標(biāo)稱軌跡是離線生成，采用線性PID控制［17］。PID控制器系數(shù)為航程對(duì)阻力加速度的導(dǎo)數(shù)f1、航程對(duì)高度變化率的導(dǎo)數(shù)f2以及航程對(duì)升阻比的導(dǎo)數(shù)f3，這些系數(shù)都是離線生成并儲(chǔ)存在星載計(jì)算機(jī)上。f1、f2以及f3的定義如式（44）所示。

其中，H為飛行高度。

而航程預(yù)測通過式（45）實(shí)現(xiàn)，其中參考值都是通過對(duì)標(biāo)稱軌道進(jìn)行插值得到（速度插值）。

然后，求得操縱升阻比如式（46）：

其中，η為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，其主要作用是當(dāng)軌跡偏離參考軌跡較大時(shí)，用來修正線性化帶來的不準(zhǔn)確性。

最后，得到指令滾轉(zhuǎn)角如式（47）：

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 條件設(shè)置

返回艙參數(shù)取 Apollo返回艙參數(shù)［2］，質(zhì)量5500 kg，大底截面直徑3.9 m，駐點(diǎn)曲率半徑2.5 m，升力系數(shù)0.38773，阻力系數(shù)1.2891。

再入初始條件為：再入高度120 km，再入點(diǎn)經(jīng)度0°，再入點(diǎn)緯度0°，再入速度10.66 km/s，再入角－6.2°，再入方位角45°。

假定任務(wù)航程為6000 km，由此計(jì)算出開傘點(diǎn)經(jīng)度44.29°，開傘點(diǎn)緯度34.92°，標(biāo)稱軌跡通過軌跡優(yōu)化方法得到。

誤差源的類型及其量級(jí)參考 CEV的標(biāo)準(zhǔn)［20］，如表1所示。

表1 再入誤差源類型及其級(jí)別Table 1 Dispersions in the entry interface state and oth?er parameters

真實(shí)的大氣密度偏差總體上具有“低空小，高空大”的規(guī)律，目前國際上公認(rèn)比較準(zhǔn)確的大氣密度偏差模型是美國的Earth Global Reference Atmosphere Model（GRAM）模型［21］。由于無法獲得GRAM的數(shù)據(jù)，本文采用如式（48）所示的正弦形式解析模型來模擬大氣偏差模型［22］。

其中，ρtrue為真實(shí)大氣密度，ρref為美國1976標(biāo)準(zhǔn)大氣模型計(jì)算得到的標(biāo)稱大氣密度，Δatm、Λatm為在±0.15范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，ωatm＞0以及φ0為常值系數(shù)。該模型500次仿真的結(jié)果如圖2所示。

圖2 解析形式的大氣密度誤差模型Fig.2 Density dispersions as a function of altitude

其中，a1、a2為無量綱參數(shù)，ΔD0、為相應(yīng)的跟蹤誤差門限值。本文中，取a1＝1.6，ΔD0＝4 m/s2，a2＝0.5，Δ0＝0.5 m/s3。

4.2 結(jié)果分析與討論

考慮所有的偏差（包括初始狀態(tài)偏差、返回艙質(zhì)量偏差、大氣密度偏差以及升阻力系數(shù)偏差），進(jìn)行500次蒙特卡洛彈道仿真，初次再入段軌跡跟蹤結(jié)果如圖3～圖6所示，其中紅色線表示參考軌跡曲線。

圖3 阻力加速度跟蹤曲線Fig.3 Reference and actual drag profiles

圖4 阻力加速度跟蹤誤差Fig.4 Drag tracking errors

圖5 阻力加速度變化率跟蹤曲線Fig.5 Reference and actual drag rate profiles

圖6 阻力加速度變化率跟蹤偏差Fig.6 Drag rate tracking error

從圖3可以看到，在考慮所有偏差的情況下，阻力加速度的跟蹤精度總體較高，且跟蹤偏差呈現(xiàn)出先增大后減小的變化規(guī)律，這一點(diǎn)從圖4中可以清晰地看到，一開始阻力加速度偏差較小，隨后逐漸增大，并且在附近達(dá)到峰值，然后再一次減小，并最終振蕩保持在一個(gè)較小的范圍內(nèi)（±1 m/s2）。

從圖5可以看到，在考慮所有偏差的情況下，阻力加速度變化率的跟蹤精度總體較高。從圖6中可以清晰地看到，一開始阻力加速度變化率的跟蹤偏差較小，隨后逐漸增大，并且在附近達(dá)到峰值，然后再一次減小，并最終振蕩保持在一個(gè)較小的范圍內(nèi)（±0.1 m/s3）。

圖7 阻力加速度跟蹤偏差（CTNPC）Fig.7 Drag tracking error（CTNPC）

將本文算法與線性反饋算法進(jìn)行對(duì)比。由于是跟蹤初次再入段軌跡，線性反饋算法采用文獻(xiàn)［26］的方法。線性反饋方式主要是在大誤差情況下表現(xiàn)較差。因此，暫不考慮其他誤差，僅將初始經(jīng)度誤差設(shè)定為一個(gè)較大的值 －0.1483°，兩種跟蹤方式的對(duì)比結(jié)果如圖7～10所示。

可以看到，在初始誤差較大時(shí)，小擾動(dòng)假設(shè)已經(jīng)不再適用，從而導(dǎo)致線性反饋方式的跟蹤精度較差。而非線性預(yù)測方式的跟蹤精度仍然較高，因此它的魯棒性更好。

圖8 阻力加速度跟蹤偏差（線性反饋）Fig.8 Drag tracking error（FBL）

圖9 阻力加速度變化率跟蹤偏差（CTNPC）Fig.9 Drag rate tracking error（CTNPC）

圖10 阻力加速度變化率跟蹤偏差（線性反饋）Fig.10 Drag rate tracking error（FBL）

整個(gè)跳躍式再入軌跡的蒙特卡洛仿真如圖11～13所示。從圖11可以看到，軌跡的最大跳躍高度絕大部分超過了100 km。從圖12可以看到，由于軌跡的跳躍，過載出現(xiàn)了兩次峰值，大多數(shù)情況下初次再入段的過載峰值大于二次再入段的過載峰值，少部分情況下二次再入段的過載峰值要大于初次再入段過載峰值，但均沒有超出過載約束（7g0）。而且過載包絡(luò)曲線在初次再入段較為“集中”，在二次再入段較為“發(fā)散”，這是因?yàn)槌醮卧偃攵沃茖?dǎo)律是跟蹤阻力加速度。

圖11 飛行高度包絡(luò)曲線Fig.11 Time history of altitude for the dispersed traj?ectories

圖12 過載包絡(luò)曲線Fig.12 Time history of load for the dispersed trajec?tories

圖13 落點(diǎn)散布圖Fig.13 Final positions of the dispersed trajectories

從圖13可以看到，最終的制導(dǎo)精度較高，98.8%的落點(diǎn)都分布在2 km的偏差帶內(nèi)，1.2%的落點(diǎn)分布在2 km～5 km的偏差帶內(nèi)。

初次再入段采用文獻(xiàn)［24］中數(shù)值預(yù)測?校正算法，二次再入段同樣采用 Apollo末段跟蹤算法，在同樣的條件下進(jìn)行500次仿真，結(jié)果如圖14所示?？梢钥吹?，其制導(dǎo)精度與圖13中的制導(dǎo)精度相當(dāng)。但與本文的CTNPC算法相比，預(yù)測校正算法的計(jì)算時(shí)間增加了幾十倍。

圖14 落點(diǎn)散布圖（預(yù)測校正）Fig.14 Final positions of the dispersed trajectories（predictor?corrector）

5 結(jié)論

本文提出了一種新的標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)方案，并利用蒙特卡洛仿真對(duì)制導(dǎo)律進(jìn)行了測試，結(jié)果表明：

1）初次再入段采用的非線性預(yù)測控制跟蹤算法精度較高，能準(zhǔn)確跟蹤阻力加速度剖面，無論是阻力加速度的跟蹤誤差還是阻力加速度變化率的跟蹤誤差都振蕩收斂至一個(gè)較小的范圍。

2）二次再入段航程較短，所采用的線性反饋跟蹤算法的精度足夠高，因此使得整個(gè)制導(dǎo)律的制導(dǎo)精度較高。蒙特卡洛仿真結(jié)果也表明制導(dǎo)律還具有較高的魯棒性。

3）由于初次再入段制導(dǎo)律是跟蹤阻力加速度，因此初次再入段的過載曲線較為集中。在所有的500次軌跡中，過載均沒有超出約束，說明制導(dǎo)律實(shí)際可行。

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［24］Lu P.Predictor?corrector entry guidance for low?lifting vehi?cles［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31（4）：1067?1075.

Skip Entry Guidance Using a Reference Trajectory for Lunar Module

DU Xin1，LIU Huilong1，HUANG Yuechen2
（1.High Speed Aerodynamics Institute，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China；2.College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

In most of the mature skip entry guidance schemes，such as PredGuid and NSEG for CEV reentry，numerical predictor?corrector algorithm is used for the guidance of the first entry phase.Nu?merical predictor?corrector algorithm is of high accuracy and is flexible and autonomous，but it is too computation intensive to be applied online.A new guidance scheme using a reference trajectory for skip entry was proposed in this paper.The whole reference trajectory was obtained by off?line trajec?tory planning algorithm.In the first reentry phase，a nonlinear predictive control algorithm is used to track the drag?versus?energy profile.The predicted tracking error was expressed as a truncated Tay?lor series dependent on the control.The control was then selected to minimize a cost function related to the predicted error.In the second reentry phase，the reference trajectory was tracked by a linear feedback control algorithm which was used in Apollo final phase.The gain coefficient of PID control?ler was obtained by interpolation.Finally，the new guidance scheme was tested by the simulation of 500 entry cases with all kinds of errors.Simulation results indicate that the new guidance has high accuracy and notable robustness.

lunar return；skip entry；guidance using a reference trajectory；nonlinear predictive control；linear feedback control

V412.4

A

1674?5825（2016）06?0766?08

2016?05?10；

2016?11?04

國家自然科學(xué)基金（11372345）

杜昕（1985－），男，博士，助理工程師，研究方向?yàn)轱w行器軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)控制。E?mail：232783682＠qq.com