胡昌華，裴 洪，王兆強，張正新，周紹華

（火箭軍工程大學 302教研室，西安 710025）

不完美維護活動干預(yù)下的設(shè)備剩余壽命估計

胡昌華，裴 洪，王兆強，張正新，周紹華

（火箭軍工程大學 302教研室，西安 710025）

剩余壽命估計是保障設(shè)備安全性和可靠性的關(guān)鍵技術(shù)。現(xiàn)有文獻在研究維護活動干預(yù)下的設(shè)備剩余壽命估計問題時，通常僅考慮維護活動對退化水平或退化速率的單一影響，忽略了維護活動對兩者的雙重影響。鑒于此，提出了一種考慮不完美維護活動影響的性能退化建模與剩余壽命估計方法，融合了維護活動對設(shè)備退化水平和退化速率的雙重影響。首先基于擴散過程分階段建立存在不完美維護活動干預(yù)下的隨機退化模型，然后基于設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)和維護數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行極大似然估計和Bayesian更新，最后在首達時間的概念下，推導得到了剩余壽命的解析概率分布。實驗結(jié)果表明，所提出方法能夠大大提高存在不完美維護活動影響設(shè)備的剩余壽命估計精度。

不完美維護；剩余壽命估計；擴散過程；首達時間

隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的迅猛發(fā)展，工程設(shè)備朝著復(fù)雜化和智能化的方向發(fā)展，從而對設(shè)備的可靠性提出了更高的要求。尤其在航空航天和武器系統(tǒng)等領(lǐng)域，由于設(shè)備失效引發(fā)的事故會造成不可估量的人員傷亡和財產(chǎn)損失[1]。為確保工程設(shè)備安全穩(wěn)定運行，預(yù)測與健康管理（Prognostics and health management,PHM）成為當前研究的熱點問題。剩余壽命（Remaining useful life, RUL）估計作為PHM的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，近年來得到研究者們的廣泛關(guān)注，涌現(xiàn)出了大量的研究成果[2-4]。

現(xiàn)有的 RUL估計方法分為基于失效物理的方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法[5]。由于實際設(shè)備的復(fù)雜程度通常較高，往往難以對其退化機理進行準確建模，使得數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法成為當前研究中的主流方法[3]。現(xiàn)有數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法大致可分為傳統(tǒng)的 RUL估計方法和基于退化建模的RUL估計方法。傳統(tǒng)的RUL估計方法通過分析壽命數(shù)據(jù)確定設(shè)備壽命的概率分布。一方面，傳統(tǒng)的 RUL估計方法無法刻畫出設(shè)備間的個體差異性；另一方面，隨著設(shè)備可靠性的不斷提高，通常難以獲取足夠的壽命數(shù)據(jù)。基于退化建模的方法能充分利用設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測信息，如振幅、疲勞裂紋長度、電子器件參數(shù)漂移、電池容量大小、油液分析數(shù)據(jù)等，不僅能夠降低實驗成本，而且可有效提高RUL估計精度。Lu和Meeker較早利用隨機系數(shù)回歸模型描述設(shè)備退化過程，并提出了一種模型參數(shù)估計的兩步法[6]。為刻畫退化過程的隨機性，Singpurwalla等提出采用隨機過程描述設(shè)備退化過程，進而實現(xiàn)設(shè)備RUL的估計[7]。Si等對基于退化建模的剩余壽命估計方法進行了較為系統(tǒng)的綜述[3]。

為簡化起見，現(xiàn)有退化建模和RUL估計研究幾乎均假定設(shè)備在壽命周期內(nèi)不存在任何維護活動或維護活動為完美維護活動，而工程實際中大部分維護活動為不完美維護活動。鑒于此，對于壽命周期內(nèi)存在不完美維護活動干預(yù)的設(shè)備，上述方法的適用范圍受到了限制，無法實現(xiàn)該類設(shè)備RUL的準確估計。

根據(jù)修復(fù)程度不同可大致將維護活動分為三類：完美維護、不完美維護和小修[8]。在工程實際中，大部分維護活動均為不完美維護，即系統(tǒng)的退化指標通過維護活動無法恢復(fù)至全新的狀態(tài)，只能恢復(fù)至修復(fù)如新和修復(fù)如舊之間的某一狀態(tài)[8]，因此，相對于完美維護和小修，不完美維護更具一般性，如為鉆頭噴灑潤滑劑，對鋼廠風機進行動平衡調(diào)整，對陀螺儀漂移系數(shù)進行調(diào)整校正等等。不完美維護活動通常能夠減緩設(shè)備的退化過程，進而延長設(shè)備的壽命。顯然，不完美維護活動對RUL的估計有著極其重要的影響，如何在考慮不完美維護活動干預(yù)下進行退化建模和RUL估計成為當前亟需解決的難題。近年來，研究者們提出了許多不完美維護活動模型，并將不完美維護活動融入設(shè)備的RUL估計中?，F(xiàn)有研究中，不完美維護活動的影響一般可以用虛擬年齡[9-10]和失效率[11-13]的變化進行描述。Zhou結(jié)合這兩種方法提出了一種混合模型來刻畫維護活動[14]。上述不完美維護模型均以最優(yōu)維護策略的制定為目的，但并未涉及RUL估計的研究。You等采用拓展比例風險模型對維護活動進行了仿真分析，得到了RUL的均值和方差[15]。Shi等采用隨機濾波理論將RUL估計與不完美維護策略結(jié)合，建立被監(jiān)測設(shè)備不完美維修策略下的實時 RUL估計模型[16]。Wang等采用帶有負跳變的Wiener過程對維護活動干預(yù)下的設(shè)備RUL進行估計，但僅考慮了維護活動對退化量（或退化水平）的影響，沒有考慮對退化率（或退化速率）的影響[17]。Zhang等基于擴散過程進行壽命估計時考慮了維護活動對退化率的影響，但卻沒有考慮維護活動對退化量的影響[18]。

不完美維護活動對退化量和退化率都有著一定的影響，為了刻畫不完美維護活動的影響，準確進行RUL估計，必須將這兩個因素同時考慮進去。鑒于此，本文針對壽命周期內(nèi)存在不完美維護活動干預(yù)的設(shè)備，提出了一種考慮不完美維護影響的退化建模與RUL估計方法，融入了不完美維護活動對設(shè)備退化量和退化率的雙重影響。首先基于擴散過程分階段建立存在不完美維護活動干預(yù)下的隨機退化模型；然后基于狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行極大似然估計和Bayesian更新，進一步在首達時間的概念下，推導得到RUL的解析概率分布；最后通過陀螺儀的實例驗證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

1 問題描述

在工程實際中，通過狀態(tài)監(jiān)測技術(shù)能夠獲得設(shè)備當前的退化水平，通過比較當前退化水平與預(yù)防性維護閾值進行維護決策，當其超出預(yù)防性維護閾值時進行維護活動。預(yù)防性維護活動一方面能夠使退化水平恢復(fù)至“修如新”和“修如舊”之間的某一狀態(tài)，可以用殘余退化量進行刻畫；另一方面又會加快設(shè)備的退化速度[19]。需要指出的是，本文研究中所提到的預(yù)防性維護活動均指不完美維護活動。為了保證設(shè)備的運行可靠性和經(jīng)濟可承受性，工程實際中通常會限制維護活動的次數(shù)n，退化過程可以劃分為n+1階段。在第n+1階段內(nèi)，若設(shè)備的退化水平達到了預(yù)先設(shè)定的失效閾值，則意味著設(shè)備發(fā)生失效，為了避免財產(chǎn)損失和事故發(fā)生，此時需要對設(shè)備進行替換活動，如圖 1所示。

在圖1中，橫坐標為設(shè)備的運行時間t，縱坐標為設(shè)備的退化量X( t)，ωp為預(yù)防性維護閾值，ω為設(shè)備的失效閾值，Ti為第i次維護時刻。監(jiān)測時刻用ti,j表示，i為ti,j前經(jīng)歷的維護次數(shù)，i∈ N+，j為第i次維護后進行的監(jiān)測次數(shù)，間進行的監(jiān)測總數(shù)。顯然，描述的為同一時刻。另外，由于設(shè)備運行中磨損等不可逆因素，這里假定每次維護后的殘余退化量和退化率隨著維護次數(shù)的增多而增加，這在實際中也較為常見。

圖1 維護活動干預(yù)下的設(shè)備退化軌跡Fig.1 Degradation trajectory of the equipment under intervention of maintenance activities

基于以上描述，本文主要研究以下幾個問題：

1） 如何建立存在不完美維護活動干預(yù)的設(shè)備性能退化模型；

2） 如何基于設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)和維護數(shù)據(jù)對所構(gòu)建的退化模型參數(shù)進行估計；

3） 如何在首達時間的意義下，推導RUL概率分布，實現(xiàn)設(shè)備RUL的估計。

2 不完美維護活動干預(yù)下的退化建模

基于擴散過程的退化模型是一類常見的隨機退化模型，在機械磨損、設(shè)備腐蝕等退化過程描述中得到廣泛應(yīng)用[3,17,20-21]。本文采用擴散過程分階段構(gòu)建維護活動干預(yù)下的非線性隨機退化模型，擬合設(shè)備的實際退化過程，經(jīng)過i次維護活動后，設(shè)備退化量可以表示為

式中：X( t)為設(shè)備在t時刻的退化量；i為t時刻前設(shè)備已經(jīng)歷的維護次數(shù)；iη刻畫第i次維護后的殘余退化量系數(shù)，且，a、b為超參數(shù)；pω為預(yù)防性維護閾值，一般由工業(yè)標準和專家經(jīng)驗確定；為第i次維護后漂移系數(shù)，且漂移系數(shù)的參數(shù)向量，iλ刻畫設(shè)備間的個體差異性，θ表征同類設(shè)備的共性。值得注意的是，iλ是隨著維護次數(shù)的增加而發(fā)生變化的，且滿足，其中，0λ表征第一次維護前設(shè)備間的個體差異性，ci表示第i次維護后退化率變化因子，其PDF為為ci的分布參數(shù)，且c0=1；Ti為第i次維護時刻，Bσ為擴散系數(shù)，B(·)為標準布朗運動。

通過上述分析，對于式(1)給出的隨機退化過程，基于首達時間的概念，在第n+1階段內(nèi)tn,j時刻的RUL可以定義為式中：xn,j為tn,j時刻的退化觀測值；n為tn,j之前經(jīng)歷維護活動的次數(shù)；j為第n次維護后進行監(jiān)測次數(shù)；ω為失效閾值。

式中：Ω為cn的取值空間，為cn的PDF。

3 參數(shù)估計和剩余壽命估計

3.1 殘余退化量系數(shù)的估計

對式(5)取對數(shù)，可得：

為了最大化對數(shù)似然函數(shù)，將式(6)對b求偏導，可得：

令偏導為0，可以推導出a b、的隱式關(guān)系：

將式(8)代入式(6)表示的對數(shù)似然函數(shù)中，可以得出剖面對數(shù)似然函數(shù)lnL( a)。最大化lnL( a)可以得到參數(shù)a的極大似然估計。進一步將a的估計值代入式(8)，即可得到參數(shù)b的極大似然估計。

3.2 退化參數(shù)的估計

式中：r0為第一次維護前進行的監(jiān)測次數(shù)；和分別表示t0,j和t0,j-1時刻監(jiān)測到的退化值。

證明：基于擴散過程的基本性質(zhì)有：

根據(jù)Bayesian鏈式法則有：

證畢。

3.3 維護參數(shù)的估計

證明：根據(jù)式(1)描述的退化模型和擴散過程的基本性質(zhì)，在隨機參數(shù)ck給定的條件下有：

基于Bayesian鏈式法則，在隨機參數(shù)ck給定的條件下可以確定退化數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度：

令ck的先驗分布為，其均值為 kμc,k0，方差為能夠通過k-1次維護后的參數(shù)更新得到。

根據(jù)Bayesian定理，隨機參數(shù)ck的后驗分布可以通過下式得到：

證畢。

為了進一步概括上述參數(shù)的估計過程，可得到基于極大似然估計和Bayesian推理的退化模型參數(shù)估計算法如下。

步驟 1：基于每次維護后獲取的歷史殘余退化數(shù)據(jù)，對參數(shù)(a, b)進行極大似然離線估計；

步驟4：通過式(12)和式(13)實時對進行參數(shù)更新；若在某一時刻進行了維護活動，則此時刻的更新結(jié)果可作為下一階段更新的初始值；

3.4 剩余壽命的估計

根據(jù)式(2)描述的RUL，在隨機參數(shù)cn為給定，基于文獻[21]，可以推導出tn,j時刻RUL的條件PDF的解析表達式：

考慮cn為隨機性，基于式(3)可以推導出RUL的PDF的解析表達式，為此需首先給出如下引理。

引理 1[20]若，且，則：

基于上述引理，可推導得到設(shè)備在tn,j時刻 RUL的PDF的解析形式表達式。

定理3 對于式(1)給出的隨機退化過程，基于首達時間的概念，設(shè)備在第n+1階段內(nèi)tn,j時刻RUL的PDF的解析表達式為

證明：利用引理1的結(jié)論，將式(12)、(13)和(17)代入式(3)，得：

式(20)的表示形式與引理 1相一致，可以直接得出定理3描述的結(jié)論。

證畢。

將前面估計得到的參數(shù)代入式(19)，即可實現(xiàn)RUL的估計。

4 實驗研究

陀螺儀作為戰(zhàn)略導彈慣性導航系統(tǒng)的核心設(shè)備，其性能好壞直接影響著制導精度。在實際工程中，陀螺儀不可避免地受到內(nèi)部轉(zhuǎn)軸磨損和外部環(huán)境變化的綜合影響，陀螺儀的漂移系數(shù)呈現(xiàn)出增大的趨勢。當陀螺儀的漂移系數(shù)超出預(yù)先設(shè)定的預(yù)防性維護閾值后，安裝在慣導系統(tǒng)底部的陀螺漂移硬件補償電路通過調(diào)整陀螺儀力矩器線圈上的電流，能夠?qū)ν勇萜频某Ｖ淀椇鸵淮雾椷M行補償，從而提高陀螺儀的精度。陀螺儀漂移系數(shù)的校正可理解為廣義上的維護活動，通常需協(xié)調(diào)生產(chǎn)廠家在使用單位進行此類維護活動，由于工程中的維護活動大都是不完美的，因而維護后的殘余退化量和退化率是逐次增大的。當維護效果無法滿足陀螺儀的使用要求時，將對陀螺儀進行更換處理，因此維護次數(shù)是有限的。

下面采用本文提出的方法對某型導彈慣性導航系統(tǒng)中液浮陀螺儀的RUL進行估計。在部隊實際中，通常約每隔3個月對陀螺儀進行一次通電測試，每次通電測試活動持續(xù)時間為2.5 h。通過與部隊協(xié)調(diào)，獲取了兩組同型號陀螺儀的一次項漂移數(shù)據(jù)，如圖2所示。陀螺儀1的漂移數(shù)據(jù)主要用于對式(1)所定義的模型參數(shù)進行估計，陀螺儀2的漂移數(shù)據(jù)主要用于對維護參數(shù)進行更新并對陀螺儀的RUL進行估計，圖中的通電時間指的是陀螺儀的工作時間。退化過程中預(yù)防性維護閾值ωp=0.30(°)/h，失效閾值ω= 0.37(°)/h，該失效閾值是在導彈設(shè)計階段通過大量試驗確定的，在實際工程中被嚴格執(zhí)行，退化過程共經(jīng)歷3次校正維護。從圖2可以直觀地看出，陀螺儀1共有115組漂移數(shù)據(jù)，實際使用壽命為277.5 h的通電時間，陀螺儀2共有113組漂移數(shù)據(jù)，實際使用壽命為282.5 h的通電時間。陀螺儀的漂移系數(shù)是逐漸增大的，當漂移系數(shù)超過預(yù)防性維護閾值時，考慮到陀螺儀的穩(wěn)定性和可靠性要求，需要對陀螺儀進行調(diào)整校正，即預(yù)防性維護活動。陀螺儀經(jīng)歷了預(yù)防性維護活動后，漂移系數(shù)未回歸到 0，存在著一定的殘余量且退化速率得到了進一步加快，意味著預(yù)防性維護活動是不完美維護活動，對退化量和退化速率均有著一定的影響，預(yù)防性維護的效果隨著維護次數(shù)增加逐漸減弱。根據(jù)工程實踐經(jīng)驗，陀螺儀所經(jīng)歷預(yù)防性維護的次數(shù)一般設(shè)定為3次。

圖2 維護活動干預(yù)下陀螺儀的漂移數(shù)據(jù)Fig.2 Drift data of gyroscope under intervention of maintenance activities

根據(jù)第3節(jié)中參數(shù)估計算法，利用陀螺1的漂移數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行估計，參數(shù)的估計結(jié)果如表1所示。

表1 退化參數(shù)的估計結(jié)果Tab.1 Estimation results of degradation parameters

為了驗證本文所提出的維護活動干預(yù)下 RUL估計方法的有效性，將本文所提出的同時考慮維護活動對退化量和退化率影響的方法記為M1，將不考慮維護活動對退化率影響的方法記為M2。

為了便于分析，經(jīng)過 3次維護后，選擇時刻集｛260,262.5,265,267.5, 270,272.5,275,277.5,280｝ 作為RUL的估計時刻，分別采用兩種方法對陀螺儀 2的RUL進行估計，陀螺儀的 RUL期望可表示為則兩種方法下的RUL期望值及相對誤差如表2所示。

表2 兩種方法的RUL期望值及相對誤差Tab.2 Expected values and relative errors of RULs by the two methods

從表2可以看出：方法M2估計的RUL期望與實際RUL之間偏差很大，無法準確估計陀螺儀的RUL；方法M1估計的RUL期望與實際RUL之間偏差較小，能夠有效反映陀螺儀的健康狀況，因而在對考慮維護活動干預(yù)下的陀螺儀進行RUL估計時，需要考慮維護活動對退化量和退化率的雙重影響。

為直觀比較兩種方法的差異，下面繪制出兩種方法在各估計時刻的RUL的PDF曲線，并繪制出相應(yīng)的RUL期望值，如圖3和圖4所示。

圖3 方法M1估計的陀螺儀的RULFig.3 Gyroscope’s RUL estimated by method M1

圖4 方法M2估計的陀螺儀的RULFig.4 Gyroscope’s RUL estimated by method M2

通過比較圖3和圖4可以看出：方法M1估計的RUL期望更加接近實際 RUL，隨著退化數(shù)據(jù)不斷獲取，RUL的PDF曲線越來越高，說明RUL估計的不確定性越來越?。环椒∕2估計的RUL期望嚴重偏離了實際RUL，主要原因是沒有考慮維護活動對退化率的影響，高估了陀螺儀的RUL，這在實際工程中可能會造成災(zāi)難性事故。

為進一步定量比較RUL估計的效果，引入RUL估計的均方誤差指標：

圖5 方法M1在估計時刻的均方誤差Fig.5 MSE at estimation time by method M1

圖6 方法M2在估計時刻的均方誤差Fig.6 MSE at estimation time by method M2

5 結(jié) 論

本文針對壽命周期內(nèi)存在不完美維護活動的設(shè)備，提出了一種同時考慮不完美維護活動對退化量和退化率影響的退化建模和RUL估計方法，給出了參數(shù)估計的方法，并推導得到了RUL的PDF的解析表達式。最后，通過陀螺儀的實例對本文方法進行了驗證。實驗研究表明：1）本文提出的方法能夠?qū)崿F(xiàn)最后一個階段內(nèi)設(shè)備RUL的準確估計，對設(shè)備的替換決策具有指導性作用；2）相對于以往文獻中的RUL估計方法，本文提出的方法，不僅考慮了維護活動對退化量的影響，而且考慮了維護活動對退化率的影響，大大提高了RUL的估計精度，保證了均方誤差均小于0.4，具有潛在的工程應(yīng)用價值。

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Remaining useful lifetime estimation for equipment subjected to intervention of imperfect maintenance activities

HU Chang-hua, PEI Hong, WANG Zhao-qiang, ZHANG Zheng-xin, ZHOU Shao-hua
(Unit 302, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China)

The estimation of equipment’s remaining useful life (RUL) is a key technique to ensure the equipment’s safety and reliability. In studying the influence of maintenance activities on RUL estimation, the current literatures usually assumed that maintenance activities could only have influence on degradation level or degradation speed, but not on both. Aiming at this problem, a degradation modeling and RUL estimation method is proposed by combining the double influences of the imperfect maintenance activities on degradation level and degradation speed. A stochastic degradation model is established based on diffusion process by stages, taking into account the influence of imperfect maintenance activities. The parameters in the degradation model are estimated by maximum likelihood estimation and Bayesian updating method based on the condition monitoring data and the maintenance data of the equipment, and then the analytical probability distribution of RUL is derived based on the concept of first hitting time. Experiment results show that the proposed method could greatly increase the RUL estimation precision for the equipment subjected to intervention of imperfect maintenance activities.

imperfect maintenance; remaining useful life estimation; diffusion process; first hitting time

TP202+.1

A

1005-6734(2016)05-0688-08

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.05.023

2016-06-16；

2016-09-02

國家自然科學基金（61573365，61603398，61374120）

胡昌華（1966—），男，教授，博士生導師，從事故障診斷與容錯控制，裝備預(yù)測與健康管理研究。

E-mail: hch6603@263.net