郝小寧

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

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基于弱測量的量子失協(xié)

郝小寧

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

探討了量子信息理論中基于弱測量的量子失協(xié)的相關(guān)問題， 證明了主要結(jié)論： 令希爾伯特空間H=HA?HB， dimHA=n(2

乘積態(tài)； 弱測量； 超量子失協(xié)； 互信息； 量子失協(xié)

描述和量化量子關(guān)聯(lián)是量子信息科學(xué)的一個基本和關(guān)鍵的問題[1]. 許多學(xué)者對量子關(guān)聯(lián)的不同度量進(jìn)行了研究， 例如量子失協(xié)、幾何失協(xié)[2]以及量子虧損[3]等. 量子失協(xié)表示通過測量單個子系統(tǒng)不能被提取的不可達(dá)信息. 它是度量總的關(guān)聯(lián)與經(jīng)典關(guān)聯(lián)之間的差[4]. 可分態(tài)的糾纏是零， 但是它們的量子失協(xié)可以是非零的[5]. 這表明除量子糾纏外， 量子失協(xié)可以反映量子態(tài)更多的量子關(guān)聯(lián). 量子失協(xié)能有效地反映量子關(guān)聯(lián)的作用， 這不同于經(jīng)典關(guān)聯(lián). 因此， 量子失協(xié)引起廣大學(xué)者的關(guān)注并進(jìn)行深入研究. Xi Zhengjun等學(xué)者給出兩體態(tài)的量子失協(xié)的上界[6]. Luo Shunlong給出two-qubit系統(tǒng)量子失協(xié)的解析公式[7]. Mohamed給出two-qubit態(tài)的量子失協(xié)的動力學(xué)相關(guān)研究[8].

在量子力學(xué)中， 量子測量起著非常重要的作用. 量子態(tài)對量子測量是非常敏感的. 對量子態(tài)進(jìn)行測量不可避免地要擾動量子系統(tǒng)， 進(jìn)而產(chǎn)生波函數(shù)的塌縮. 為使對初始量子態(tài)的影響最小， Oreshov 和Brun提出弱測量的理論以及弱測量算子的形式[9-10]. 弱測量不僅在研究基本的物理問題中， 而且在技術(shù)應(yīng)用中都起著很重要的作用.

基于弱測量并結(jié)合量子失協(xié)Singh 和Pati 提出超量子失協(xié)(SQD)[11]， 并證明在一個子系統(tǒng)上進(jìn)行弱測量能使得SQD總是大于等于由投影測量得到的一般的量子失協(xié)(QD)[11]. 隨后， 李波等學(xué)者對two-qubit的SQD、QD和互信息進(jìn)行研究[12]. 同時， 基于弱測量[13-14]， 一些學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究. Zhang Jun等學(xué)者在弱測量下研究量子關(guān)聯(lián)的花費(fèi)[15]. Wang Yaokun等學(xué)者基于弱測量給出最大的holevo量[16]. Li Tao等學(xué)者對two-qubit的X型態(tài)給出超量子失協(xié)的解析公式[17]， 也即給出低維系統(tǒng)的超量子失協(xié)的解析公式. Li Lei等學(xué)者研究弱測量下的量子失協(xié)的幾何測量[18]. 我們知道， 對于兩體的高維系統(tǒng)可以提高量子信息處理的效率[19]. 而先前學(xué)者們的研究并沒有對高維系統(tǒng)的QD， SQD， 乘積態(tài)， 經(jīng)典關(guān)聯(lián)以及互信息的關(guān)系進(jìn)行研究. 因此， 本文主要工作是基于弱測量研究在高維量子系統(tǒng)的量子失協(xié)的相關(guān)問題， 給出乘積態(tài)， 超量子失協(xié)， 量子失協(xié)， 經(jīng)典關(guān)聯(lián)和互信息之間等價命題的刻畫. 這個結(jié)果是參考文獻(xiàn)[12]中two-qubit情形在高維的推廣.

1 預(yù)備知識

下面介紹本文的一些基本概念及符號表示.HA和HB是Hilbert空間， dimHA=n(2

D(ρ)=I(ρ)-C(ρ)=

S=(A|ΠB)=

D(ρ)=

S(A|B),

n?2(2≤n<∞)量子系統(tǒng)上超量子失協(xié)Dw(ρ)的定義[11]為

|PB(x)}-S(A|B),

其中， 條件熵S(A|B)=S(ρ)-S(ρB)， 并且

Sw{A|PB(x)}=

p(+x)S(ρA|PB(+x))+p(-x)S(ρA|PB(-x)),

測后的態(tài)

ρA|PB(±x)=

概率

p(±x)=

Tr{IA?PB(±x))ρ(IA?PB(±x))},

注意

PB(+x)=απ1+βπ2,

PB(-x)=βπ1+απ2,

p(x)+p(-x)=1,

π1+π2=PB(+x)+PB(+x)+

PB(-x)+PB(-x)=I,

式中： x是測量強(qiáng)度的參數(shù).

引理 1 令H=HA?HB，dimH<∞， ρ∈S(H)， C(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ是一個乘積態(tài)， 即ρ=ρA?ρB[12].

基于引理1， 李波等學(xué)者給出下列定理 1.

定理 1 對two-qubit態(tài)， 下列7個陳述是等價的：

1) ρ是一個乘積態(tài).

2) ρ有零經(jīng)典關(guān)聯(lián).

3) ρ有零超量子失協(xié).

4) ρ有零互信息.

5) ρ有相等的量子失協(xié)與超量子失協(xié).

6) ρ有相等的量子失協(xié)和互信息.

7) ρ有相等的超量子失協(xié)和互信息.

2 主要結(jié)果

這里先介紹m(2

HA和HB是希爾伯特空間，

dimHA=n(2

dimHB=m(2

對n?m量子系統(tǒng)， 超量子失協(xié)的定義是

|M(x)}-S(A|B),

其中， 條件熵S(A|B)=S(ρ)-S(ρB)， 并且

測量后子系統(tǒng)A上的態(tài)是

相應(yīng)的概率分別為

所以，

定理 2 令H=HA?HB， dimHA=n(2

1) ρ是乘積態(tài)， 即ρ=ρA?ρB.

2) ρ有零超量子失協(xié).

3) ρ有相等的量子失協(xié)和超量子失協(xié).

4) ρ有零互信息.

5) ρ有相等的量子失協(xié)和互信息.

6) ρ有相等的超量子失協(xié)和互信息.

證明 1)?2). 由陳述1)， 可得

TrB{[I?M1(x)](ρA?ρB)[I?M1(x)]}=

p1(x)=

TrAB{[I?M1(x)](ρA?ρB)[I?M1(x)]}=

所以，

2)?3)， 4)?5)以及5)?6)的證明方法與定理1的證明相似.

3)?4). 弱量子條件熵是

Sw{A|MB(x)}=

注意， 弱量子條件熵

Sw{A|MB(x)}=Sw{A|

其中，

Sw{A|MB(x)}=

這表明C(ρ)=0， 由引理1可知ρ是一個乘積態(tài)，I(ρ)=0. 因此， 陳述4)成立.

6)?1). 由式(2)， von Neumann熵的凹性及陳述6)， 可以得到

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Quantum Discord Based on Weak Measurements

HAO Xiao-ning

(College of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China)

An exploration was made on the relevant issue of quantum discord in quantum information field. Let Hilbert space to beH=HA?HB, dimHA=n(2

product state; weak measurements; super quantum discord; mutual information; quantum discord

1673-3193(2016)06-0566-04

2016-03-31

國家自然科學(xué)基金資助項目(11171249)；山西省國際合作項目(2014081027-2)；太原理工大學(xué)青年基金資助項目(2014QN024)

郝小寧(1980-)， 女， 博士， 講師， 主要從事算子及量子信息與量子計算研究.

O413

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.06.003