王曉東， 趙志宏

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

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基于耦合Duffing振子和Van der pol振子系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)研究

王曉東1,2， 趙志宏2

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)在檢測(cè)信噪比較低的信號(hào)時(shí)效果不理想，基于此提出了一種基于Duffing振子和Van der pol振子的耦合非線性系統(tǒng)，建立了非線性耦合模型，詳述了耦合系數(shù)對(duì)耦合非線性系統(tǒng)的影響。采用Simulink數(shù)值仿真的方法，分析了Duffing振子和Van der pol振子耦合非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，闡述了基于相平面變化進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)的工作原理。并且具體分析了耦合系統(tǒng)在色噪聲背景下的微弱信號(hào)檢測(cè)效果，取得了很好的效果。

混沌；非線性耦合系統(tǒng)；微弱信號(hào)檢測(cè)；信噪比

0 引言

微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)[1-2]在通信、生物醫(yī)學(xué)、電力系統(tǒng)故障診斷等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用, 一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。它是采用一系列信號(hào)處理方法，從噪聲中檢測(cè)出有用的微弱信號(hào)，從而滿足現(xiàn)代科學(xué)研究和技術(shù)應(yīng)用需要的一種檢測(cè)技術(shù)。如今微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)的需求日益迫切, 其對(duì)推動(dòng)相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展具有重要的意義[3-4]。

傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法是基于線性的、確定性的系統(tǒng)，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足現(xiàn)在人們對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)的需要。近年來，混沌[5-6]振子系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)的應(yīng)用越來越多，其檢測(cè)理論得到了不斷改進(jìn)和發(fā)展。混沌系統(tǒng)具有對(duì)初值的敏感性和對(duì)噪聲的免疫力兩大特性[7]，利用這兩大特性可以較為靈敏的將微弱信號(hào)從噪聲中檢測(cè)出來。目前微弱信號(hào)檢測(cè)方法大多是采用單Duffing振子[8]或雙耦合Duffing振子[9]系統(tǒng)，但是對(duì)于不同混沌振子之間耦合[10-11]系統(tǒng)的應(yīng)用不多。一些國(guó)外學(xué)者，對(duì)于Duffing振子和Van der pol振子耦合系統(tǒng)也僅是在動(dòng)力學(xué)分析方面做深入的研究，應(yīng)用在微弱信號(hào)檢測(cè)方面的也是鮮為人見。

1 建立非線性耦合系統(tǒng)模型

經(jīng)典的Duffing振子和Van der pol振子雖然在表達(dá)形式上很簡(jiǎn)單，但是由于豐富的動(dòng)力學(xué)行為而極具代表性。下面通過線性耦合的方法將兩個(gè)振子進(jìn)行耦合，組成的非線性耦合系統(tǒng)如下

(1)

式中，c表示Duffing振子的阻尼系數(shù)；μ表示Van der pol振子的阻尼系數(shù)；k表示線性耦合系數(shù)，k的取值越大說明耦合的強(qiáng)度越高，相互作用越強(qiáng)，當(dāng)k=0時(shí)，兩個(gè)系統(tǒng)的耦合作用完全消失。通過仿真研究發(fā)現(xiàn)此耦合非線性系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。fcos(ωt+θ)表示策動(dòng)力，ω表示驅(qū)動(dòng)力的頻率，θ表示初相位，通常選取θ=0，當(dāng)其它參數(shù)都固定時(shí)，非線性耦合系統(tǒng)會(huì)隨著幅值f變化而有規(guī)律的變化。

1.1 非線性耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

由式(1)的數(shù)學(xué)模型，可建立Duffing振子和Vanderpol振子的非線性耦合系統(tǒng)的Simulink仿真模型，然后取fcos(ωt)為周期策動(dòng)力及系統(tǒng)內(nèi)置頻率ω=1.0rad/s，其它參數(shù)為k=0.2，c=0.5，μ=1.0，采用4階Runge-Kutta法仿真計(jì)算，隨著周期策動(dòng)力幅值由0值逐漸遞增的過程中，非線性耦合系統(tǒng)的狀態(tài)出現(xiàn)有規(guī)律的變化：經(jīng)歷同宿軌道、倍周期分岔軌跡、混沌和周期狀態(tài)，如圖1所示。

圖1 非線性耦合系統(tǒng)在不同策動(dòng)力幅值下的響應(yīng)

1.2 耦合系數(shù)對(duì)非線性耦合系統(tǒng)的影響

耦合系數(shù)k是整個(gè)非線性系統(tǒng)中很重要的一個(gè)參數(shù)，其取值直接影響著系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為演化過程。下面通過繪制分岔圖來觀察系統(tǒng)在不同耦合系數(shù)k參數(shù)下的動(dòng)力學(xué)行為演變過程，能夠清楚地表達(dá)出動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在跨越臨界值(分岔值)所導(dǎo)致穩(wěn)定定常狀態(tài)定性變化的現(xiàn)象。本節(jié)主要是探索混沌系統(tǒng)對(duì)微弱周期信號(hào)檢測(cè)的潛能，尋找非線性耦合系統(tǒng)是否出現(xiàn)由混沌狀態(tài)直接變?yōu)橹芷跔顟B(tài)，由分岔圖可以清楚觀察到這一現(xiàn)象，然后再通過其它的方法找到精確的(躍遷值)臨界閾值。如圖2的分岔圖是系統(tǒng)在不同的耦合系數(shù)k(k=0.2,0.5,0.8,1.0)，位移隨策動(dòng)力幅值f的變化過程。

圖2 不同耦合系數(shù)下非線性耦合系統(tǒng)的分岔圖

通過圖2可以觀察到：在其它參數(shù)固定不變的情況下，耦合系數(shù)k對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生了很大的影響。分析在固定的系數(shù)k下，隨著f的變化，系統(tǒng)經(jīng)歷著單周期狀態(tài)、倍周期分岔進(jìn)入雙周期狀態(tài)，繼續(xù)分岔進(jìn)入4周期狀態(tài)，隨著f的不斷增大，進(jìn)入混沌狀態(tài)，最后又都進(jìn)入單周期狀態(tài)。但是仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k=0.2時(shí)，大概f在0.7～0.8的變化過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)由混沌狀態(tài)直接變成周期一的大尺度周期狀態(tài)。對(duì)于其它分岔圖，并未出現(xiàn)此現(xiàn)象，因此本節(jié)實(shí)驗(yàn)所要選取的一個(gè)參數(shù)k=0.2，通過以上幾個(gè)圖的對(duì)比分析，對(duì)于不同混沌振子之間，較小的耦合系數(shù)更易出現(xiàn)混沌與大周期。所以對(duì)于非線性系統(tǒng)，每一個(gè)參數(shù)的選取都是至關(guān)重要的。

2 微弱信號(hào)檢測(cè)仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 檢測(cè)原理

本文采用的微弱信號(hào)檢測(cè)原理和以往混沌系統(tǒng)檢測(cè)原理是一樣的，都是采用混沌系統(tǒng)基于相平面變化的檢測(cè)原理，其中由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷跔顟B(tài)表現(xiàn)最為明顯。原理簡(jiǎn)述為：首先設(shè)置激勵(lì)信號(hào)的幅值略小于躍遷閾值fd此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其次將待檢測(cè)的微弱周期信號(hào)與噪聲一起作為激勵(lì)信號(hào)項(xiàng)加入到混沌系統(tǒng)當(dāng)中，加入疊加的信號(hào)當(dāng)中含有一個(gè)與激勵(lì)信號(hào)同頻率的信號(hào)，并且此信號(hào)的幅值與激勵(lì)信號(hào)的幅值相加能大于躍遷閾值fd，此時(shí)混沌系統(tǒng)的輸出相圖將會(huì)由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷跔顟B(tài)。因此通過觀察混沌系統(tǒng)前后相圖的變化，就可以判斷是否有微弱周期信號(hào)的存在。

2.2 微弱信號(hào)檢測(cè)模型

根據(jù)以上耦合非線性系統(tǒng)的性質(zhì)分析將其應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)，下面進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。根據(jù)建立的耦合非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(1)，選取各個(gè)參數(shù)k=0.2,c=0.5,μ=1.0,并且由實(shí)驗(yàn)分析得到的臨界閾值fd=0.779，系統(tǒng)可以檢測(cè)的最低門限為0.002。頻率ω為1.0 rad/s的周期信號(hào)和σ(t)采用均值為0，方差σ2為0.1的高斯白噪聲信號(hào)一起作為輸入信號(hào)加入進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。微弱信號(hào)檢測(cè)的數(shù)學(xué)模型如下

(2)

式中，fcos(ωt+θ)為內(nèi)置信號(hào)；acos(ωt+φ)為待測(cè)信號(hào)；σ(t)為高斯白噪聲。對(duì)上述構(gòu)造的檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí), 選擇從臨界周期到周期的軌跡相變?yōu)榕袛嘞到y(tǒng)輸入是否帶有周期信號(hào)的依據(jù), 亦即f將設(shè)置在臨界分岔狀態(tài)附近。當(dāng)待測(cè)信號(hào)加入系統(tǒng)中經(jīng)過暫態(tài)過程以后，系統(tǒng)穩(wěn)定在某一運(yùn)動(dòng)形式上，計(jì)算機(jī)通過辨識(shí)系統(tǒng)容易得知系統(tǒng)是處于混沌還是大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由此，可判斷輸入的信號(hào)是純?cè)肼曔€是混有微弱周期信號(hào)。

當(dāng)輸入待測(cè)信號(hào)后，整個(gè)驅(qū)動(dòng)力變?yōu)?/p>

(3)

當(dāng)相位θ=0時(shí)

(4)

式中，

(5)

圖3 混沌區(qū)域的對(duì)稱性

可以看出系統(tǒng)相態(tài)和相位之間的關(guān)系。調(diào)整策動(dòng)力可以使待測(cè)信號(hào)的相位滿足式：π-arccos[(a/2f)]≤φ≤π+arccos[(a/2f)]，范圍如圖3所示，使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，不產(chǎn)生到大周期的變化，此研究現(xiàn)在只適合于模擬信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)，可以通過調(diào)節(jié)待測(cè)信號(hào)的相位在檢測(cè)的范圍內(nèi)，對(duì)于工程實(shí)際故障信號(hào)的檢測(cè)，由于采集信號(hào)的好多因素都是未知的，因此還有待于進(jìn)一步深入研究。

通過將待測(cè)周期信號(hào)輸入到檢測(cè)系統(tǒng)當(dāng)中，觀察系統(tǒng)輸出相圖的變化情況：當(dāng)系統(tǒng)沒有同頻率待測(cè)的周期的信號(hào)輸入或只有純?cè)肼曒斎霑r(shí)，系統(tǒng)輸出相圖如圖4(a)所示。當(dāng)系統(tǒng)有相同頻率的待測(cè)周期信號(hào)acos(ωt)，其中a=0.003輸入系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)輸出相圖如圖4(b)所示。因此，我們可以通過系統(tǒng)相圖的變化，判斷微弱周期信號(hào)的存在。

由上述耦合非線性系統(tǒng)的相態(tài)變化的仿真結(jié)果顯示，可求得此時(shí)的信噪比檢測(cè)的門限為

對(duì)于傳統(tǒng)方法，很難檢測(cè)到信噪比在-10 dB以下的信號(hào)，這也是一些傳統(tǒng)方法的局限性所在，即很難在強(qiáng)噪聲背景下實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的檢測(cè)，同時(shí)也驗(yàn)證了混沌檢測(cè)系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，即能夠?qū)崿F(xiàn)低信噪比下的微弱信號(hào)檢測(cè)。因此混沌系統(tǒng)具有很好的研究?jī)r(jià)值和發(fā)展前景。

圖4 Duffing振子和Van der pol振子耦合系統(tǒng)相圖

3 色噪聲下微弱正弦信號(hào)檢測(cè)

我們把除白噪聲之外的所有噪聲都稱之為有色噪聲，有色噪聲是指任意一個(gè)具有非白色頻譜的寬帶噪聲。噪聲是一個(gè)隨機(jī)過程，而隨機(jī)過程有功率譜密度函數(shù)，其功率譜密度函數(shù)的形狀決定了噪聲的顏色。大多數(shù)的音頻噪聲(電視、收音機(jī))，發(fā)動(dòng)機(jī)的噪聲等都是色噪聲，非高斯信號(hào)相對(duì)于白噪聲，是更普遍的信號(hào)。

將白噪聲通過帶寬±B的理想低通濾波器，再通過濾波器傳遞函數(shù)H，就可以得到色噪聲了，具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)原理分析如下

(6)

式中，Gi(ω)為輸入信號(hào)的功率譜密度；G0(ω)為輸出信號(hào)的功率譜密度，又因?yàn)镠(ω)=1，所以G0(ω)=Gi(ω)。輸出信號(hào)即色噪聲的平均功率為

(7)

系統(tǒng)的輸出信號(hào)為色噪聲，由維納—辛欽定理知道，信號(hào)的功率譜密度函數(shù)和它的自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換時(shí)，即色噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

(8)

令x=2πBτ，即有

(9)

本實(shí)驗(yàn)中所采用的Gauss色噪聲是由方差為1的Gauss白噪聲通過一個(gè)4階帶通濾波器產(chǎn)生的，該濾波器的傳遞函數(shù)為

(10)

該低通濾波器的上限截止頻率為0.21，下限截止頻率為0.23(均為歸一化頻率)。圖5通過4幅圖展示了Gauss白噪聲通過上述4階帶通濾波器后產(chǎn)生的Gauss色噪聲的時(shí)域波形圖和功率譜密度圖，通過對(duì)比濾波前后的噪聲變化，發(fā)現(xiàn)Gauss白噪聲與Gauss色噪聲時(shí)域波形的不同，并通過FFT(傅里葉)變換后的功率譜圖之間也會(huì)存在很大的差異。

圖5 對(duì)比通過濾波器前后的噪聲

在Gauss色噪聲背景下，按照上面相同的步驟方法，利用相圖識(shí)別理論進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，測(cè)得這時(shí)的微弱信號(hào)檢測(cè)信噪比門限為

由仿真結(jié)果可見，該耦合非線性振子系統(tǒng)在Gauss色噪聲背景下，信噪比可以達(dá)到，具有很好的檢測(cè)效果。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的微弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)模型，兩種不同混沌振子即Duffing振子和Vanderpol振子非線性耦合系統(tǒng)的檢測(cè)方法，分析了耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性，闡述了檢測(cè)原理。與傳統(tǒng)方法相比,可以更好檢測(cè)出微弱周期信號(hào),達(dá)到更低的信噪比。詳細(xì)分析了在色噪聲背景下，此耦合非線性系統(tǒng)也能獲得很好的檢測(cè)效果。對(duì)于不同混沌振子之間的耦合非線性系統(tǒng)更加深入的研究有待于進(jìn)一步完善。

[1]李月,楊寶俊.混沌振子檢測(cè)引論[M].北京:工業(yè)出版社,2004.

[2] 聶春燕.混沌理論及基于特定混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法研究[D].吉林：吉林大學(xué),2006.

[3]ZhangHongyu,WangYihe.Anovelweaksignaldetectionmethodwithunknownfrequencyuncertainty[J].AdvancedScienceandTechnologyLetters,2015,81(11):51-55.

[4] 李健,何坤,喬強(qiáng).應(yīng)用混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)弱信號(hào)的檢測(cè)[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào),2004, 41(06):1180-1183.

[5] 王冠宇,陳大軍,林建亞,等.Duffing振子微弱信號(hào)檢測(cè)方法的統(tǒng)計(jì)特性研究[J].電子學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1998,26(10):38-44.

[6] 顧曉輝,劉永強(qiáng),楊紹普,等.基于混沌吸引子特征量的滾動(dòng)軸承故障診斷[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2015,28(1):91-95.

[7]ZhengSY，GuoHX，LiYAn，etal.Anewmethodfordetectinglinespectrumofship-radiatednoiseusingDuffingoscillator[J].ChineseScienceBulletin,2007,52(14) : 1906-1912．

[8] 李月,楊寶俊,石要武.色噪聲背景下微弱正弦信號(hào)的混沌檢測(cè)[J].物理學(xué)報(bào),2003,52(3):526-530.

[9] 李月,路鵬,楊寶俊,等.用一類特定的雙耦合Duffing振子系統(tǒng)檢測(cè)強(qiáng)噪聲背景中的周期信號(hào)[J].物理學(xué)報(bào),2006,55(4):1672-1677.

[10]KengneJ,ChedjouJC,KenneG,etal.AnalogcircuitimplementationandsynchronizationofasystemconsistingofavanderPoloscillatorlinearlycoupledtoaDuffingoscillator[J].NonlinearDyn,2012,70:2163-2173.

[11]HanYong-jin,DynamicsofCoupledNonlinearOscillatorsofDifferentAttractorsVanderPolOscillatorandDampedDuffingOscillator[J].JournaloftheKoreanPhysicalSociety,2000,37(1):3-9.

Weak Signal Detection Based on the System of a Van Der Pol Oscillator Coupled to a Duffing Oscillator

Wang Xiaodong1,2, Zhao Zhihong2

(1.School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China;2.Key Laboratory of Traffic Safety and Control in Hebei, Shijiazhuang 050043, China)

The effect of the traditional weak signal detection in low SNR is not perfect, accordingly we put forward a kind of the nonlinear system based on Duffing oscillator and Van der pol oscillator and establish the nonlinear coupling model, and expounded the influence of coupling coefficient for the coupling nonlinear system in detail. With the simulation method of Simulink, we analyzed the Duffing oscillator and Van der pol oscillator coupling nonlinear system dynamics behaviors, and expounded the working principle of weak signal detection for the changes based on the phase plane. Finally we carried out specific analysis of coupling system under the background of colored noise of weak signal detection, achieving good results.

chaos;nonlinear coupling system;weak signal detection;signal to noise ratio(SNR)

2015-12-21 責(zé)任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.04.10

國(guó)家自然科學(xué)基金(11172182,11227201,11472179)

王曉東(1989-)，男，碩士研究生，主要從事非線性理論與故障診斷研究。E-mail:wx_dong@126.com

TH165+.3

A

2095-0373(2016)04-0060-06

王曉東，趙志宏.基于耦合Duffing振子和Van der pol振子系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)研究[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(4):60-65.