毛北行， 孟曉玲

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院， 鄭州 450015)

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基于觀測(cè)器方法的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步控制

毛北行*， 孟曉玲

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院， 鄭州 450015)

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用觀測(cè)器方法研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間混沌同步問(wèn)題，研究表明，通過(guò)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂破?，能夠使?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的主從系統(tǒng)達(dá)到有限時(shí)間同步，數(shù)值算例表明該方法的正確性.

觀測(cè)器方法； 有限時(shí)間； 混沌同步

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛地存在于自然界，并取得了很多結(jié)果[1-5]. 在實(shí)際工程中，往往要求控制系統(tǒng)的軌跡不超出一定的界限.該問(wèn)題引起了控制界的高度關(guān)注[6-10]，文獻(xiàn)[11]討論了Lurie混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，并估計(jì)出了系統(tǒng)取得同步的所需時(shí)間，文獻(xiàn)[12]研究了基于Terminal滑?？刂频挠邢迺r(shí)間同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[13]研究了帶有不確定和外部擾動(dòng)的Duffling混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]研究了具有死區(qū)輸入的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[15]研究了一類(lèi)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間混沌同步問(wèn)題，本文利用觀測(cè)器方法研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間混沌同步問(wèn)題，研究表明，通過(guò)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂破?，能夠使?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的主從系統(tǒng)達(dá)到有限時(shí)間同步，數(shù)值算例表明該方法的正確性.

1主要結(jié)果

考慮如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)：

(1)

yi(t)=Cixi(t),

(2)

其中,xi=(xi1，xi2，…，xiN)T∈RN是網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)向量，fi:RN→RN為非線性函數(shù)，Q(t)為內(nèi)部耦合矩陣，A(t)=(aij(t))N×N為外部耦合矩陣，在t時(shí)刻滿足：aij(t)=aij≠0，表示在t時(shí)刻從節(jié)點(diǎn)i到j(luò)有一條耦合強(qiáng)度為aij=aij(t)的連接邊，并且在任何時(shí)候滿足

系統(tǒng)(1)(2)對(duì)應(yīng)的觀測(cè)系統(tǒng)為：

i=1，2，…，N,

(3)

(4)

以系統(tǒng)(1)、(2)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)觀測(cè)系統(tǒng)(3)、(4)作為從系統(tǒng)，定義系統(tǒng)誤差為：

則容易得到：

引理1[16]考慮如下n維方程

(5)

引理2[17]設(shè)a1，a2，…，an>0，0

根據(jù)下面不等式：

而

由引理2，可得：

從而很容易得到：

證明以系統(tǒng)(1)、(2)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的觀測(cè)系統(tǒng)(3～4)作為響應(yīng)系統(tǒng)，定義系統(tǒng)誤差為：

則容易得到：

下面的證明過(guò)程類(lèi)似于定理1，很容易得到：

考慮如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)：

(6)

yi(t)=Cixi(t),

(7)

其中,光滑非線性函數(shù)fi(·)滿足假設(shè)1，H(xj(t))為光滑的非線性函數(shù)，滿足如下假設(shè)：

(8)

系統(tǒng)(6)(7)對(duì)應(yīng)的觀測(cè)系統(tǒng)為：

(9)

(10)

以系統(tǒng)(6)、(7)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)觀測(cè)系統(tǒng)(9)、(10)作為從系統(tǒng)，定義系統(tǒng)誤差為：

則容易得到：

下面的證明類(lèi)似定理1．

假設(shè)3非線性向量函數(shù)滿足條件：

假設(shè)4H(xj(t))為光滑的非線性函數(shù)，滿足：

證明以系統(tǒng)(6)、(7)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)觀測(cè)系統(tǒng)(9)、(10)作為從系統(tǒng)，定義系統(tǒng)誤差為：

則容易得到：

下面的證明類(lèi)似定理3，略．

2數(shù)值算例

以N=3的Lorenz系統(tǒng)為例：

時(shí)具有混沌吸引子．

定理1中l(wèi)=0.8，η=3，θ=0.6，k>0.737+λmax(B2);

定理2中l(wèi)=0.8，η=3，θ=0.6，k>0.748+λmax(B2);

定理1～4中計(jì)算得到的觀測(cè)矩陣分別為

定理1～4中系統(tǒng)的誤差曲線分別對(duì)應(yīng)于圖1～圖4，其中，橫縱軸單位分別為s和m．

圖1 定理1中的系統(tǒng)誤差Fig.1 The errors of systems in theorem 1

圖2 定理2中的系統(tǒng)誤差 Fig.2 The errors of systems in theorem 2

圖3 定理3中的系統(tǒng)誤差Fig.3 The errors of systems in theorem 3

圖4 定理4中的系統(tǒng)誤差Fig.4 The errors of systems in theorem 4

3結(jié)論

利用觀測(cè)器方法研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間混沌同步問(wèn)題，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和有限時(shí)間同步的相關(guān)知識(shí)給出了主從系統(tǒng)取得觀測(cè)器同步的充分性條件.并把該結(jié)論作了進(jìn)一步推廣.

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Finite-time synchronization control of complex networks chaos systems based on observer approach

MAO Beixing， MENG Xiaoling

(College of Science， Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management， Zhengzhou 450015)

The paper studied the problem of finite-time synchronization control of complex networks chaos systems based on Lyapunov stability theory using observer approach . The proof illustrate that the master-slave systems is chaos synchronization under proper controller. Numerical simulations example of chaotic system verify the correctness of the proposed method．

observer approach; finite-time; chaos synchronization

2016-06-22.

國(guó)家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(NSFC11501525)；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2013GGJS-142).

1000-1190(2016)06-0826-05

O193

A

*E-mail: bxmao329@163.com.