韓振華,石萬(wàn)凱,肖洋軼,徐浪

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,400030,重慶)

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新型復(fù)合擺線外嚙合圓柱齒輪副的傳動(dòng)特性分析

韓振華,石萬(wàn)凱,肖洋軼,徐浪

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,400030,重慶)

基于傳統(tǒng)擺線成形原理,提出了擺線成形的二連桿等效機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化方法,得到了n+1連桿機(jī)構(gòu)生成廣義n階擺線軌跡的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,推導(dǎo)并建立了可用于齒輪傳動(dòng)的新型四階復(fù)合擺線齒廓方程;基于微分幾何及共軛嚙合理論,推導(dǎo)了復(fù)合擺線齒廓的共軛齒廓方程,分析了該新型齒輪副的壓力角、曲率、重合度、滑動(dòng)率等嚙合特性;進(jìn)行了齒輪副三維實(shí)體模型的精確構(gòu)建,并利用有限元法分析了該齒輪副的強(qiáng)度特性。研究表明:當(dāng)齒高確定時(shí),分度圓壓力角由齒形調(diào)控系數(shù)f1控制;齒廓曲線是由凹凸弧組成的光滑曲線,且傳動(dòng)過(guò)程始終為凹凸齒面線接觸嚙合傳動(dòng),理論上具有較高的接觸疲勞強(qiáng)度;相對(duì)于漸開線齒輪,復(fù)合擺線齒輪副具有較高的重合度、極小的滑動(dòng)率以及較高的彎曲強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度。最后,加工了齒輪副試驗(yàn)樣件,并在FZG齒輪試驗(yàn)機(jī)上測(cè)試了不同工況下的傳動(dòng)效率,結(jié)果表明:復(fù)合擺線齒輪副的傳動(dòng)效率隨加載扭矩在97.30%～99.00%范圍內(nèi)呈正相關(guān)變化,且高于同工況下的漸開線齒輪副,具有工程應(yīng)用價(jià)值。

復(fù)合擺線齒輪;齒輪傳動(dòng);嚙合原理;傳動(dòng)特性

齒輪作為動(dòng)力傳動(dòng)裝置的關(guān)鍵基礎(chǔ)件,在采煤機(jī)截割傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、衛(wèi)星天線指向機(jī)構(gòu)、直升機(jī)旋翼主減速器、高速列車齒輪箱及艦船推進(jìn)傳動(dòng)系統(tǒng)等關(guān)鍵裝備中發(fā)揮著不可替代的作用。近年來(lái),上述裝備領(lǐng)域?qū)X輪傳動(dòng)系統(tǒng)提出了高功率密度、高速、高精度及高可靠性等高性能要求,而高性能齒輪的主要技術(shù)指標(biāo)集中體現(xiàn)于更高的彎曲強(qiáng)度、接觸強(qiáng)度和傳動(dòng)效率[1]。共軛齒廓曲線在很大程度上決定著齒輪副的傳動(dòng)性能,開展新型齒廓共軛傳動(dòng)理論研究,可以為新型高性能齒輪研究提供很好的技術(shù)保障,也是提高齒輪傳動(dòng)性能的重要理論基礎(chǔ)。

隨著人們對(duì)擺線齒形研究的重視,越來(lái)越多的學(xué)者開始研究能用于外嚙合動(dòng)力傳動(dòng)的新型擺線類齒廓,比較有影響的是封閉式泛擺線齒廓[9]及新型短幅外擺線和平擺線組合齒廓[10],這2種新型擺線齒廓對(duì)相關(guān)研究有著重要的指導(dǎo)作用。另外,薛云娜等研究了擺線齒條和滾柱齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)具有雙向零間隙高精度傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)[11]?？傮w來(lái)說(shuō),國(guó)內(nèi)外對(duì)可用于動(dòng)力傳動(dòng)的外嚙合擺線類齒廓研究得相對(duì)較少,研究具有動(dòng)力傳動(dòng)優(yōu)勢(shì)的新型擺線類齒廓曲線對(duì)提高齒輪傳動(dòng)性能具有重要意義。

本文在分析傳統(tǒng)擺線成形原理的基礎(chǔ)上,對(duì)其成形軌跡進(jìn)行了二連桿等效機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化,并提出了n+1連桿機(jī)構(gòu)的廣義n階擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律;在此基礎(chǔ)上,分析了新型復(fù)合擺線齒廓的成形原理,得到了復(fù)合擺線可用于齒輪傳動(dòng)的條件,提出了新型復(fù)合擺線齒輪的傳動(dòng)形式,并建立了復(fù)合擺線齒廓曲線共軛嚙合理論;從壓力角、曲率、重合度和滑動(dòng)率等方面研究了復(fù)合擺線齒輪副的傳動(dòng)特性;建立了精確的實(shí)體模型,利用有限元法分析了齒輪副的強(qiáng)度特性;最后,加工出了齒輪副試驗(yàn)樣件,利用FZG齒輪試驗(yàn)機(jī)測(cè)試了齒輪副的傳動(dòng)效率。

1 復(fù)合擺線成形原理

1.1 擺線成形原理及連桿運(yùn)動(dòng)等效轉(zhuǎn)化

擺線成形方法主要有外切外滾法、內(nèi)切內(nèi)滾法、內(nèi)切外滾法[12]以及包絡(luò)運(yùn)動(dòng)法[2]。對(duì)于外切外滾法和內(nèi)切內(nèi)滾法,如圖1所示,滾圓(半徑為rg,圓心為ov)沿著基圓(半徑為r0,圓心為oc)外切或內(nèi)切做純逆時(shí)針滾動(dòng)時(shí),滾圓上一點(diǎn)或與滾圓固結(jié)的一點(diǎn)M形成的軌跡即為擺線。圖1中,αc為展形起始角,起始位置ocov與x軸重合,M點(diǎn)位于ocov所在的直線上。外切外滾法生成外擺線,軌跡方程為式(1);內(nèi)切內(nèi)滾法生成內(nèi)擺線,軌跡方程為式(2)。

(1)

(2)

式中:e1=|o1M|=λ1rg,λ1為幅長(zhǎng)系數(shù);z為整數(shù),z=r0/rg,表示擺線的周期數(shù);符號(hào)“±”“?”表示起始位置M點(diǎn)與直線ocov的位置關(guān)系,若M點(diǎn)位于ov的右邊,方程(1)、(2)均取上面的符號(hào),若M點(diǎn)位于ov的左邊,方程(1)、(2)均取下面的符號(hào)。

(a)外擺線 (b)內(nèi)擺線圖1 擺線成形原理

若M點(diǎn)在滾圓上,即λ1=1,產(chǎn)形軌跡為等幅外擺線和等幅內(nèi)擺線;若M點(diǎn)在滾圓內(nèi),即0<λ1<1,產(chǎn)形軌跡分別為短幅外擺線和短幅內(nèi)擺線;若M點(diǎn)在滾圓外,此時(shí)λ1>1,則相應(yīng)地生成長(zhǎng)幅外擺線和長(zhǎng)幅內(nèi)擺線。為便于描述,將上述6種擺線統(tǒng)稱為廣義擺線。

對(duì)廣義擺線成形運(yùn)動(dòng)進(jìn)行等效機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化,如圖2所示,廣義擺線的成形原理可看作是二連桿機(jī)構(gòu)從動(dòng)桿ovM上M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖2中,ocov為連架桿,ovM為從動(dòng)桿。由M點(diǎn)的軌跡方程可以看出,擺線的幾何形狀主要由r0、rg和λ1控制,由于控制參數(shù)單一,限制了擺線齒廓的應(yīng)用范圍,使其只在擺線針輪行星傳動(dòng)、鐘表齒輪和轉(zhuǎn)子泵等特殊領(lǐng)域得以應(yīng)用。

圖2 擺線成形原理的二連桿機(jī)構(gòu)等效轉(zhuǎn)化

1.2 連桿機(jī)構(gòu)的n階擺線運(yùn)動(dòng)

為使擺線齒廓能有效地用于平行軸外嚙合動(dòng)力傳動(dòng),需增加擺線齒形的調(diào)控參數(shù),改變擺線的幾何特性,增加齒高和重合度,以增強(qiáng)傳動(dòng)的平穩(wěn)性?；跀[線成形的二連桿等效機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化方法,將二連桿運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)擴(kuò)展到n+1連桿運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)來(lái)構(gòu)建新型擺線曲線,如圖3所示。在圖3中,運(yùn)動(dòng)起始位置各連桿的端點(diǎn)An-1依次位于An的左端,運(yùn)動(dòng)方向均為逆時(shí)針,en為連桿長(zhǎng)度,ωi為各連桿的角速度(i=1～n+1),αn為各連桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t后的轉(zhuǎn)角。將n+1連桿機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)軌跡定義為廣義n階擺線,軌跡方程的復(fù)數(shù)和指數(shù)形式為

(3)

將方程(3)寫成參數(shù)方程形式

(4)

根據(jù)連桿機(jī)構(gòu)的幾何特性,當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)各桿的長(zhǎng)度確定時(shí),運(yùn)動(dòng)軌跡具有唯一性,即改變各連桿的運(yùn)動(dòng)起始位置只與式(4)中en前的符號(hào)有關(guān),不影響機(jī)構(gòu)末端的整體運(yùn)動(dòng)軌跡。

將式(4)定義為廣義n階擺線方程。根據(jù)定義可知,1.1節(jié)中的廣義擺線均可看作一階擺線。

圖3 n+1連桿運(yùn)動(dòng)與廣義n階擺線成形原理

1.3 二階、三階與四階復(fù)合擺線

為從根本上改變擺線的幾何特性,在二連桿運(yùn)動(dòng)形成一階擺線的基礎(chǔ)上,參照廣義n階擺線,當(dāng)三連桿、四連桿與五連桿機(jī)構(gòu)所連接的各圓依次逆時(shí)針做內(nèi)滾、外滾運(yùn)動(dòng)時(shí),連桿末端運(yùn)動(dòng)形成的周期性軌跡曲線稱為二階、三階與四階復(fù)合擺線,根據(jù)廣義擺線、一階擺線和廣義n階擺線的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,可得到3種復(fù)合擺線的曲線方程形式為

(5)

式中:r1、c1、cv1、c2與cv2為各連桿的長(zhǎng)度;αt為起始轉(zhuǎn)角;z為曲線周期數(shù)。當(dāng)cv1=c1≠0、cv2=c2=0時(shí),式(5)表示二階復(fù)合擺線;當(dāng)cv1=c1≠0、c2≠0、cv2=0時(shí),式(5)表示三階復(fù)合擺線;當(dāng)cv1=c1≠0、cv2=c2≠0時(shí),式(5)表示四階復(fù)合擺線。暫不考慮頂隙系數(shù)c*,可求得相應(yīng)的復(fù)合擺線齒廓參數(shù),如表1所示。

表1中,r=0.5mz(m為模數(shù))。對(duì)表1中的齒廓參數(shù)進(jìn)行分析,可得到以下結(jié)果。

(1)對(duì)于三階復(fù)合擺線,當(dāng)分度圓確定時(shí),c1主要控制齒形高度,故將c1定義為齒高調(diào)控參數(shù),令

c1=h1m

(6)

式中:h1定義為齒高系數(shù)。

表1 復(fù)合擺線齒廓參數(shù)

(7)

聯(lián)立式(6)、式(7)推導(dǎo)可得

(8)

(9)

(3)對(duì)于四階復(fù)合擺線,當(dāng)齒高確定時(shí),通過(guò)調(diào)節(jié)c2可以控制齒形的幾何形狀,故c2定義為齒形調(diào)控參數(shù),令

c2=f1c1

(10)

式中:f1定義為齒形調(diào)控系數(shù),通過(guò)調(diào)節(jié)f1可以優(yōu)化復(fù)合擺線的幾何特性。根據(jù)式(10)可求得

(11)

取模數(shù)m=4 mm,齒數(shù)z=24,c1=2 mm,可分別求得圖4中f1=0.01,0.05,0.1時(shí)的四階復(fù)合擺線。從圖4可以看出,齒形調(diào)控系數(shù)f1的變化能顯著改變齒形的幾何形狀。

圖4 齒形調(diào)控系數(shù)f1對(duì)四階復(fù)合擺線齒形的影響

1.4 n階復(fù)合擺線

綜上所述,本文選擇四階復(fù)合擺線(下文簡(jiǎn)稱復(fù)合擺線)作為齒廓曲線,建立復(fù)合擺線齒廓曲線外嚙合共軛傳動(dòng)理論,并開展其傳動(dòng)特性方面的研究。

2 復(fù)合擺線外嚙合齒輪副共軛原理

2.1 坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換

以四階復(fù)合擺線齒廓外嚙合傳動(dòng)為研究對(duì)象,采用運(yùn)動(dòng)學(xué)法求解復(fù)合擺線的共軛齒廓,利用右手法則建立圖5所示的坐標(biāo)系。其中,固定坐標(biāo)系Sf1(of1xf1yf1zf1)、Sf2(of2xf2yf2zf2)分別與箱體固聯(lián),動(dòng)坐標(biāo)系S1(o1x1y1z1)、S2(o2x2y2z2)分別與主動(dòng)齒輪1、從動(dòng)齒輪2固聯(lián),zf1軸、z1軸和zf2軸、z2軸分別與齒輪1、齒輪2的旋轉(zhuǎn)軸重合,固定坐標(biāo)系Sml(omlxmlymlzml)的原點(diǎn)oml與節(jié)點(diǎn)P重合,xf2軸平行于xf1軸,坐標(biāo)系S1到坐標(biāo)系S2、Sml的坐標(biāo)變換矩陣分別為M21、M01。

齒輪1、2的中心距為a,傳動(dòng)比為i21,齒數(shù)分別為z1、z2,節(jié)圓半徑分別為r1、r2,并且與分度圓重合,角速度分別為ω1、ω2,方向如圖5所示。在初始位置,坐標(biāo)系S1和Sf1重合、S2和Sf2重合,齒輪1、2分別以角速度ω1和ω2繞z1軸、z2軸運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間t后,轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別為φ1、φ2。根據(jù)傳動(dòng)比的定義,可得到關(guān)系式

(12)

圖5 平行軸外嚙合共軛傳動(dòng)坐標(biāo)系

對(duì)式(5)進(jìn)行和差化積化簡(jiǎn),可得到四階復(fù)合擺線齒廓曲線Σ1在坐標(biāo)系S1中的表達(dá)式

(13)

式中:r1(α)、α分別為齒廓曲線Σ1在坐標(biāo)系S1中的矢徑和角度參量。

根據(jù)共軛曲線嚙合原理,嚙合方程可表示為

(14)

f(α,φ1)=A1cos(α+φ1)+B1sin(α+φ1)+C1=0

(15)

式中

A1=r1[r1-2c1cos(z1α)+4f1c1z1cos(2z1α)]

B1=2c1r1[z1-2f1cos(z1α)]sin(z1α)

C1=2c1z1[-r1sin(z1α)+c1sin(2z1α)-

2.2 共軛齒廓方程

利用坐標(biāo)變換矩陣M21和嚙合方程(15),可求得復(fù)合擺線共軛齒廓Σ2在坐標(biāo)系S2中的表達(dá)式

(16)

式中:r2(α,φ1)為共軛齒廓曲線Σ2在坐標(biāo)系S2中的矢徑,其通用表達(dá)式為

(17)

其中D1=sin[α+(1+i21)φ1],D2=cos[α+(1+i21)φ1],D3=2f1c1sin(2z1α),D4=r1-2c1cos(z1α)。

2.3 嚙合線方程

將理論接觸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系,即可得到齒輪副的嚙合線方程。利用坐標(biāo)變換矩陣M01,可得到復(fù)合擺線齒廓共軛傳動(dòng)的嚙合線Σml的矢徑rml(α,φ1)在坐標(biāo)系Sml中的表達(dá)式

rml(α,φ1)=M01(φ1)r1(α,φ1)=

(18)

根據(jù)式(17)中的待定系數(shù)D3、D4,可推導(dǎo)得到嚙合線方程的通用表達(dá)式

(19)

3 嚙合特性分析

3.1 壓力角

3.1.1 任意嚙合點(diǎn)的壓力角 壓力角是衡量齒輪副傳力性能好壞的重要參數(shù),影響齒輪的幾何尺寸、受力情況和傳動(dòng)強(qiáng)度。壓力角定義為齒廓上某點(diǎn)的法向與線速度方向的夾角(取銳角)。如圖6所示,復(fù)合擺線齒廓曲線Σ1與共軛齒廓曲線Σ2在點(diǎn)G嚙合,點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的角度參量為αg,在齒廓曲線Σ1上點(diǎn)G的速度vg1與正壓力F所在直線的夾角αg1,即為齒輪1的任意嚙合點(diǎn)壓力角[13],其表達(dá)式為

(20)

式中:Kv為vg1所在直線的斜率,Kv=-x1(αg)/y1(αg);Kn為正壓力F所在直線的斜率,Kn=-dx1(αg)/dy1(αg)。

圖6 復(fù)合擺線共軛傳動(dòng)齒輪副的壓力角

對(duì)于圖6中的三角形o1o2G,根據(jù)余弦定理可得到直線o1G和o2G的夾角

(21)

根據(jù)圖6中αg1、αg2和ξ的幾何關(guān)系,可得到共軛齒廓曲線Σ2在嚙合點(diǎn)G處的壓力角

αg2=|ξ+αg1-π|

(22)

3.1.2 分度圓壓力角 若G點(diǎn)在Σ1的分度圓上,則可得到幾何關(guān)系

(23)

由式(8)(9)(13)(20)(21)和(23),可求得Σ1在分度圓上的壓力角

(24)

當(dāng)齒輪副中心距為標(biāo)準(zhǔn)中心距時(shí),節(jié)圓和分度圓重合,當(dāng)嚙合點(diǎn)G位于中心距連線上,即G點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)P重合時(shí),可得到幾何關(guān)系

rg1+rg2=a

(25)

由式(9)(22)(24)和(25),可推導(dǎo)出Σ2的分度圓壓力角

(26)

(27)

圖7 齒根高系數(shù)對(duì)壓力角的影響

圖8 齒形調(diào)控系數(shù)對(duì)壓力角的影響

表2 齒形參數(shù)

圖9 復(fù)合擺線齒形設(shè)計(jì)

3.2 曲率

3.2.1 曲率模型 齒廓曲率模型是評(píng)價(jià)齒輪傳動(dòng)接觸強(qiáng)度的基礎(chǔ),也是齒輪強(qiáng)度計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的重要組成部分。如圖10所示,復(fù)合擺線齒廓Σ1與其共軛齒廓Σ2上任一嚙合點(diǎn)Q(其角度參量為αv)的曲率分別用k1和k2表示。根據(jù)微分幾何,可得到k1的表達(dá)式

(28)

圖10 共軛齒廓的幾何曲率關(guān)系

根據(jù)式(13)(28),可化簡(jiǎn)得到曲率k1的表達(dá)式

(29)

式中:u1為H到節(jié)點(diǎn)P的距離,H為嚙合點(diǎn)Q所在嚙合線處的法線與y1軸的交點(diǎn);q1為嚙合點(diǎn)Q到節(jié)點(diǎn)P的距離。u1、q1的表達(dá)式為

(30)

(31)

根據(jù)Euler-Savary公式[14],得到共軛齒廓曲線曲率k1和k2的關(guān)系如下

(32)

由式(29)～式(32),可推導(dǎo)出Σ2的曲率

(33)

聯(lián)立式(29)(30)(31)(33),可求得k1和k2。

(1)復(fù)合擺線齒廓Σ1及共軛齒廓Σ2都存在曲率為0的點(diǎn),該點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),也是曲線凹凸性的分界點(diǎn),即齒廓Σ1、Σ2均由凸弧和凹弧組成,且傳動(dòng)過(guò)程始終為凹凸齒廓接觸,有利于提高接觸疲勞強(qiáng)度。同時(shí),節(jié)圓附近的曲率極小,且變化梯度較小,有利于提高傳動(dòng)的承載能力和平穩(wěn)性。

(2)復(fù)合擺線齒廓曲率很小,且隨著齒形調(diào)控系數(shù)的減小,齒廓Σ1、Σ2的曲率差也相應(yīng)減小,所以當(dāng)齒高參數(shù)確定時(shí),宜選取較小的齒形調(diào)控系數(shù)。

圖時(shí)f1對(duì)齒廓曲率的影響

圖時(shí)f1對(duì)齒廓曲率的影響

3.3 重合度

3.3.1 重合度模型 重合度是衡量齒輪副傳動(dòng)連續(xù)性、載荷傳遞均勻性的重要度量指標(biāo)。如圖13所示,曲線M2N2為復(fù)合擺線主動(dòng)齒輪1的工作齒廓Σ1,齒輪2的齒廓Σ2是Σ1的共軛齒廓,曲線M1M2為復(fù)合擺線共軛傳動(dòng)的嚙合線Σml,點(diǎn)M1是Σml與齒輪1齒頂圓的交點(diǎn),點(diǎn)M2是Σml與齒輪2齒頂圓的交點(diǎn),點(diǎn)M1、M2對(duì)應(yīng)的角度參量分別為φa、φb。當(dāng)嚙合點(diǎn)M從M2移動(dòng)到M1時(shí),主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度Δα=αa-αb,則新型復(fù)合擺線齒輪副的重合度

(34)

圖13 復(fù)合擺線齒輪副重合度的幾何關(guān)系

根據(jù)幾何關(guān)系o1oml+omlM0=o1M0,可得

yml(αa)+r1=ra1sin(π-αa)

(35)

對(duì)于三角形o1M1o2,由余弦定理可得

(36)

由方程(35)(36)可分別求得φa、φb,然后代入方程(34)可求得重合度。

表3 齒輪副的重合度

由表3中的算例結(jié)果可知,復(fù)合擺線齒輪副的重合度明顯大于傳統(tǒng)漸開線齒輪的重合度,理論上具有更高的傳動(dòng)平穩(wěn)性和載荷承載能力。

3.4 滑動(dòng)率

3.4.1 滑動(dòng)率模型 齒廓間較大的相對(duì)滑動(dòng)易產(chǎn)生齒面磨損、膠合,增加功率損耗。為了提高齒輪傳動(dòng)性能,必須盡可能地減少齒面間的相對(duì)滑動(dòng)。如圖14所示,復(fù)合擺線齒廓Σ1及其共軛齒廓Σ2在某個(gè)瞬時(shí)嚙合于W點(diǎn)(其角度參量為αs),經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt后,Σ1上的W1點(diǎn)與Σ2上的W2點(diǎn)嚙合,此時(shí)嚙合點(diǎn)W在Σ1、Σ2上走過(guò)的弧長(zhǎng)分別為Δs1、Δs2,滑動(dòng)弧長(zhǎng)為Δs2-Δs1,則Σ1、Σ2在嚙合點(diǎn)W的滑動(dòng)率σ1、σ2[15]分別為

(37)

(38)

圖14 滑動(dòng)率幾何模型

由嚙合方程(15)、嚙合線方程(19)可推導(dǎo)出滑動(dòng)率的通用表達(dá)式

(39)

(40)

式中

其中?αxml(αs,φ1)、?φ1xml(αs,φ1)、?αyml(αs,φ1)和?φ1yml(αs,φ1)是嚙合線方程(19)的偏導(dǎo)表達(dá)式,根據(jù)嚙合方程(15)可求得φ1與αs的關(guān)系φ1=g(αs)。

3.4.2 滑動(dòng)率分析 選取齒輪參數(shù):m=3mm,z1/z2=32/73,zp=20°。利用數(shù)值軟件MATLAB計(jì)算出2種齒高齒制下復(fù)合擺線齒輪副的滑動(dòng)率,如圖15所示。圖16、圖17是根據(jù)文獻(xiàn)[15]求得的同參數(shù)漸開線齒輪副的滑動(dòng)率隨實(shí)際嚙合線位置q1的變化曲線。

圖15 復(fù)合擺線齒輪副的滑動(dòng)率

從圖15可以看出,復(fù)合擺線齒輪在整個(gè)嚙合傳動(dòng)過(guò)程中,最大滑動(dòng)率出現(xiàn)在輪齒嚙入和嚙出時(shí)的齒根位置,滑動(dòng)率絕對(duì)值的最大值低于0.1,在節(jié)點(diǎn)附近趨近于0。與圖16、圖17所示的漸開線齒輪副的滑動(dòng)率相比,復(fù)合擺線齒輪副的滑動(dòng)率下降了近9/10,且在嚙合極限點(diǎn)處滑動(dòng)率仍極小,故在相同載荷下齒面磨損較小,有利于提高傳動(dòng)效率。

圖時(shí)漸開線齒輪副的滑動(dòng)率

圖時(shí)漸開線齒輪副的滑動(dòng)率

4 齒輪副實(shí)體模型構(gòu)建與強(qiáng)度特性分析

4.1 齒輪副實(shí)體模型構(gòu)建

根據(jù)FZG齒輪試驗(yàn)機(jī)的參數(shù)要求,設(shè)計(jì)出復(fù)合擺線齒輪副的基本參數(shù),如表4所示。利用數(shù)值軟件MATLAB計(jì)算出齒輪副的齒廓曲線數(shù)據(jù),并導(dǎo)入三維建模軟件SolidWorks,創(chuàng)建出精確的三維實(shí)體模型,如圖18所示。同時(shí),在SolidWorks中進(jìn)行嚙合仿真,結(jié)果顯示復(fù)合擺線齒輪副在傳動(dòng)過(guò)程中能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)線接觸傳動(dòng),且無(wú)嚙合干涉現(xiàn)象。齒輪副實(shí)體模型的成功建立充分說(shuō)明,新型復(fù)合擺線共軛傳動(dòng)理論與方法是可行的。

表4 復(fù)合擺線齒輪副的基本設(shè)計(jì)參數(shù)

圖18 復(fù)合擺線齒輪副實(shí)體模型

4.2 強(qiáng)度特性分析

由于復(fù)合擺線齒廓的幾何特殊性,利用解析法很難求得精確的彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力,而有限元法對(duì)齒廓形狀沒(méi)有限制,有著解析法不具備的優(yōu)點(diǎn),可以更精確、方便地分析復(fù)合擺線齒輪的強(qiáng)度特性,非常適用于非標(biāo)準(zhǔn)齒形的齒輪[16]。采用4.1節(jié)中的建模方法,選取和漸開線齒輪相同的參數(shù):材料選用40Cr,彈性模量E=209GPa,泊松比ν=0.29;模數(shù)m=4mm,壓力角αp=20°,齒數(shù)z1/z2=16/24,齒寬b=12mm。小齒輪輸入轉(zhuǎn)速和扭矩分別為1 000r/min、60N·m。利用有限元法求解復(fù)合擺線齒輪副的彎曲和接觸應(yīng)力,結(jié)果如圖19、圖20所示。

(a)復(fù)合擺線齒輪

(b)漸開線齒輪圖19 齒根的彎曲應(yīng)力云圖

(a)復(fù)合擺線齒輪 (b)漸開線齒輪圖20 齒面的接觸應(yīng)力云圖

從圖19可以看出,漸開線齒輪齒根的最大壓應(yīng)力、最大拉應(yīng)力分別為129.22和121.05MPa,而相同負(fù)載下的復(fù)合擺線齒輪齒根的最大壓應(yīng)力、最大拉應(yīng)力分別為95.166和84.731MPa,分別下降了26.35%和30.00%,即在相同模數(shù)下,采用復(fù)合擺線齒輪傳動(dòng)副可以提高齒輪的彎曲強(qiáng)度,有利于減小齒輪的尺寸和質(zhì)量,提高齒輪的剛度。

從圖20可以看出,齒面接觸應(yīng)力沿齒寬均勻分布,復(fù)合擺線齒輪、漸開線齒輪的齒面接觸應(yīng)力分別為721.50和922.99MPa,即在相同模數(shù)下,復(fù)合擺線齒輪的接觸應(yīng)力下降了21.83%,因此采用復(fù)合擺線齒輪傳動(dòng)可以有效提高齒面的接觸強(qiáng)度。

5 齒輪副樣件加工及傳動(dòng)效率試驗(yàn)

為了進(jìn)行復(fù)合擺線齒輪副的傳動(dòng)試驗(yàn)評(píng)價(jià),根據(jù)FZG齒輪試驗(yàn)機(jī)的參數(shù)要求,采用第4節(jié)中設(shè)計(jì)的復(fù)合擺線齒輪副參數(shù)(見(jiàn)表4),利用電火花慢走絲加工出復(fù)合擺線齒輪副試驗(yàn)樣件,并進(jìn)行了傳動(dòng)效率測(cè)試,同時(shí),對(duì)FZG試驗(yàn)機(jī)配套的漸開線齒輪副也進(jìn)行了傳動(dòng)效率測(cè)試,試驗(yàn)結(jié)果如圖21所示。該漸開線齒輪副與復(fù)合擺線齒輪副具有相同的齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)。在傳動(dòng)效率測(cè)試過(guò)程中,復(fù)合擺線齒輪副傳動(dòng)平穩(wěn),運(yùn)轉(zhuǎn)良好。當(dāng)小齒輪端加載扭矩為T1時(shí),相應(yīng)地可測(cè)出電機(jī)轉(zhuǎn)速(大齒輪轉(zhuǎn)速)在2 000、3 000和4 000r/min時(shí)大齒輪端的扭矩T2。T1、T2由扭矩傳感器測(cè)量,并在試驗(yàn)機(jī)的在線監(jiān)測(cè)測(cè)量系統(tǒng)上顯示。齒輪副傳動(dòng)效率η的計(jì)算公式為

(41)

齒輪副的傳動(dòng)效率隨加載扭矩的變化曲線見(jiàn)圖21。

圖21 復(fù)合擺線和漸開線齒輪副的傳動(dòng)效率曲線

從圖21可以看出,復(fù)合擺線齒輪副的傳動(dòng)效率隨加載扭矩在97.30%～99.00%的范圍內(nèi)呈正相關(guān)變化,且高于同工況下的漸開線齒輪副,可見(jiàn)其傳動(dòng)效率較高,具有工程應(yīng)用價(jià)值。同時(shí),盡管復(fù)合擺線齒輪樣件為慢走絲線切割加工且未進(jìn)行磨齒處理,齒輪精度不太高,而漸開線齒輪為精磨齒輪,齒輪精度相對(duì)較高(5級(jí)),但是即使在加工精度處于劣勢(shì)的情況下,復(fù)合擺線齒輪副樣件的傳動(dòng)效率仍高于漸開線齒輪副的傳動(dòng)效率,如果后期采用滾齒、精磨等適合批量生產(chǎn)的高精度加工方法,會(huì)進(jìn)一步提高傳動(dòng)效率。

6 結(jié) 論

本文提出了廣義擺線成形軌跡的二連桿等效機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化方法,推導(dǎo)了n+1連桿機(jī)構(gòu)的廣義n階擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律,提出了可用于齒輪傳動(dòng)的新型四階復(fù)合擺線齒廓曲線構(gòu)建方法;進(jìn)一步推導(dǎo)出了復(fù)合擺線共軛齒廓曲線及嚙合線的通用表達(dá)式,研究了復(fù)合擺線齒輪副的壓力角、曲率、重合度、滑動(dòng)率等嚙合特性;建立了精確的復(fù)合擺線齒輪副三維實(shí)體模型,并加工了齒輪副試驗(yàn)樣件,利用FZG齒輪試驗(yàn)機(jī)測(cè)得了齒輪副在不同工況下的傳動(dòng)效率。本文的研究獲得以下結(jié)論。

(1)復(fù)合擺線齒輪副的壓力角只與齒根高系數(shù)和齒形調(diào)控系數(shù)有關(guān),當(dāng)齒根高系數(shù)確定(即齒高確定)時(shí),壓力角隨齒形調(diào)節(jié)系數(shù)的增大而減小,即在同一齒高下可有不同的壓力角設(shè)計(jì)。

(2)相對(duì)于漸開線齒輪,復(fù)合擺線齒輪傳動(dòng)具有以下優(yōu)勢(shì):傳動(dòng)過(guò)程始終為凹凸接觸,有利于降低接觸應(yīng)力;重合度較大,傳動(dòng)平穩(wěn)性和載荷承載能力較好;滑動(dòng)率下降了近9/10,有利于減輕齒面磨損;齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度更高。

(3)復(fù)合擺線齒輪副的傳動(dòng)效率高于同工況下漸開線齒輪副的傳動(dòng)效率,具有工程應(yīng)用價(jià)值。

后續(xù)將開展復(fù)合擺線齒輪滾切、插削和磨削等加工制造方法的研究,利用FZG齒輪試驗(yàn)機(jī)評(píng)價(jià)復(fù)合擺線齒輪傳動(dòng)的疲勞特性,以期為新型復(fù)合擺線齒輪傳動(dòng)奠定應(yīng)用基礎(chǔ)。

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(編輯 葛趙青)

Analysis on Transmission Characteristics of Novel Composite Cycloid Cylindrical Gears for External Driving

HAN Zhenhua,SHI Wankai,XIAO Yangyi,XU Lang

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Based on the generation principle of traditional cycloid curves, a transforming method from cycloid curve generation to two-link equivalent mechanism is proposed, andnth-order cycloid motion is generalized usingn+1 link mechanism. Then the novel fourth-order composite cycloid equation for gear driving is derived. Based on differential geometry and conjugate engagement theory, conjugate profile equation of composite cycloid tooth profile curve is deduced. The pressure angle, curvature, contact ratio and sliding ratio of the composite cycloid gear driving are discussed. The composite cycloid gears are modeled accurately, and the strength characteristic of this drive is evaluated by FEM method simultaneously. The pressure angle of reference circle is controlled by the regulation coefficient of tooth profile when the tooth height is determined. The profile curve is formed smoothly by concave and convex arcs, and the concave-convex tooth surface is engaged by line contact in driving process, resulting in high contact fatigue strength. Compared with involute gear, a superior contact ratio and an incredibly small sliding ratio are demonstrated in composite cycloid tooth profile, and greater tooth root bending strength and surface contact strength are present in finite element method. In addition, experimental gear samples are machined, and its transmission efficiencies under different operating conditions are measured with FZG gear testing machine. The testing results show that the transmission efficiencies of the composite cycloid gears in the range of 97.30% to 99.00% are positively correlated with the loading torque. Importantly, they are higher compared with the involute gears under the same operating conditions. It is concluded that the composite cycloid gears show a remarkable engineering application value.

composite cycloid gear; gear drive; engaging principle; transmission characteristics

2016-03-25。 作者簡(jiǎn)介:韓振華(1986—),男,博士生;石萬(wàn)凱(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項(xiàng)目:國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014CB046304);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51675061)。

時(shí)間:2016-06-11

10.7652/xjtuxb201609002

TH132

A

0253-987X(2016)09-0010-10

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160611.1358.002.html