曹建安,朱鑫,吳昊,張樂平

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,710049,西安)

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一種改進的空間全方位旋轉(zhuǎn)角度測量方法

曹建安,朱鑫,吳昊,張樂平

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,710049,西安)

針對采用雙軸傾角傳感器實現(xiàn)空間旋轉(zhuǎn)角度測量的解析方法難以測量全方位旋轉(zhuǎn)角度的問題,提出了一種改進的空間全方位旋轉(zhuǎn)角度測量方法(IODSRA)。該方法在傾角傳感器測量軸繞剛體旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的空間模型基礎(chǔ)上,增加了一個沿原傳感器法向量方向的單軸傾角傳感器,以提高角度測量的靈敏度,改進了求解傳感器空間位置參數(shù)的方法,獲得空間位置參數(shù);然后通過多個旋轉(zhuǎn)方程的優(yōu)化,得出最佳的空間全方位旋轉(zhuǎn)角度。仿真和實驗結(jié)果均表明,與其他實現(xiàn)空間旋轉(zhuǎn)角度測量方法相比,IODSRA方法可實現(xiàn)在±180°范圍內(nèi)測量,其檢測準確度達到0.2°的測量要求。

角度測量;全方位旋轉(zhuǎn)角;傾角傳感器;空間旋轉(zhuǎn)模型;空間位置參數(shù)

為了保證飛行器,如無人機或F22戰(zhàn)斗機等,在高速飛行時的機動性、靈活性及穩(wěn)定性,其斜垂尾的偏轉(zhuǎn)角度要求得到精確控制。因而,該類飛行器在進行地面測試時,需要對其斜垂尾的旋轉(zhuǎn)角度進行精確測試,而斜垂尾的旋轉(zhuǎn)角度測試問題相當于空間中剛體圍繞和水平面有傾角的固定軸旋轉(zhuǎn)角度的測量問題。

這類問題的解決,可以使用陀螺儀、電子羅盤等傳感器實現(xiàn),其中陀螺儀是對旋轉(zhuǎn)角速率進行時間積分,即可獲得旋轉(zhuǎn)角度,適合對空間旋轉(zhuǎn)角度的動態(tài)測量。然而,陀螺儀本身易受溫度變化、不穩(wěn)定力矩等因素干擾,存在零偏漂移、角隨機游走等問題[1-3],長時間使用容易產(chǎn)生累積誤差,不適合對旋轉(zhuǎn)角度的靜態(tài)連續(xù)測量。電子羅盤是以磁北為參考基準進行旋轉(zhuǎn)角度測量的,但該基準容易受地域和環(huán)境磁場的影響,其測量誤差較大,而且其安裝誤差也會導(dǎo)致產(chǎn)生羅差[4-6],以致其不能實現(xiàn)空間旋轉(zhuǎn)角度的高準確度測量。

基于MEMS工藝的傾角傳感器,其原理是對重力在其內(nèi)部加速度計方向分量的測量,可以獲得測量軸相對水平面的傾角。當傳感器處于靜態(tài)時,其角度輸出比較穩(wěn)定,可獲得高準確度的水平角度,但當傾角傳感器處于動態(tài)時,將引入旋轉(zhuǎn)半徑方向的角加速度,導(dǎo)致傾角測量不準確。因此,傾角傳感器適用于對角度的靜態(tài)連續(xù)測量,有體積小、成本低及穩(wěn)定性高等優(yōu)點[7-9]。

文獻[10-11]采用雙軸傾角傳感器,建立了傳感器測量軸繞剛體旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的空間旋轉(zhuǎn)模型,提出了一種空間旋轉(zhuǎn)角度(spatial rotation angle,SRA)測量方法,實現(xiàn)了[-100°,100°]范圍內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角度測量,但無法測量空間全方位旋轉(zhuǎn)角度。文獻[12]在空間旋轉(zhuǎn)模型的基礎(chǔ)上引入了虛擬的輔助軸z軸,推導(dǎo)了求解旋轉(zhuǎn)角度的直接求解法,然而由于該方法中存在輔助軸難以求解、測量軸與水平面夾角較大時傳感器靈敏度下降的問題,導(dǎo)致該方法只能實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)角度為[-70°,70°]范圍內(nèi)的測量要求,同樣無法測量空間全方位旋轉(zhuǎn)角度。

為了解決全方位旋轉(zhuǎn)角度的測量問題,本文提出了一種改進的全方位空間旋轉(zhuǎn)角度(improved omni-directional spatial rotation angle,IODSRA)測量方法。在雙軸傾角傳感器空間旋轉(zhuǎn)模型的基礎(chǔ)上,分析了求解空間位置參數(shù)方法中存在的問題,在輔助軸方向增加一個單軸傾角傳感器,研究了測量軸在大角度時提高靈敏度的方法,利用多個旋轉(zhuǎn)方程的優(yōu)化求解出最佳的空間旋轉(zhuǎn)角度。通過實驗和計量部門的檢驗,證明了本文方法在求解空間全方位旋轉(zhuǎn)角度這一工程問題上的有效性。

1 空間旋轉(zhuǎn)模型簡介[10]

1.1 雙軸傾角傳感器空間旋轉(zhuǎn)模型

雙軸傾角傳感器的輸出信號為其相互垂直測量軸x、y軸與水平面夾角的正弦值。傳感器安裝在測量平面上時,測量軸y軸與旋轉(zhuǎn)軸在測量平面投影直線的夾角為α,旋轉(zhuǎn)軸和水平面的夾角為β,旋轉(zhuǎn)軸和測量平面的夾角為γ,如圖1所示。

圖1 雙軸傾角傳感器安裝示意圖

在圖1安裝示意圖的基礎(chǔ)上,建立傳感器繞軸旋轉(zhuǎn)的空間模型。以旋轉(zhuǎn)軸和水平面的交點O為原點,旋轉(zhuǎn)軸在水平面上的投影為Y軸,水平面上與過O點與Y軸垂直方向為X軸,過O點豎直方向為Z軸,建立右手笛卡爾坐標系O-XYZ。平移傳感器測量軸,使兩測量軸交點o與原點O重合,以兩測量軸方向分別為x、y軸,建立平面坐標系xoy。令P代表水平面,L為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)軸與水平面的夾角為β,如圖2所示。

圖2 雙軸傾角傳感器和旋轉(zhuǎn)軸的空間模型

圖2中雙軸傾角傳感器相互垂直的測量軸向量形成一個測量平面,其繞軸L旋轉(zhuǎn)。設(shè)定測量平面繞L軸旋轉(zhuǎn)至其法向量位于YOZ平面時的位置M0為初始零位,測量平面的法向量為n0,此時兩測量軸的位置分別為Cx0、Cy0,測量平面M0與測量軸L的夾角為γ,測量軸Cx0和X軸夾角為α。測量軸向量分別繞L軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角形成向量Cx1、Cy1。由空間位置參數(shù)α、β和γ可以唯一地確定雙軸傾角傳感器的旋轉(zhuǎn)模型。

當測量軸Cx0、Cy0同時繞旋轉(zhuǎn)軸L逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ后,可以得到如下方程

(1)

式中:Sx、Sy為向量Cx、Cy在水平面P上的傾角正弦值,即雙軸傾角傳感器兩軸的輸出信號。

由此建立了雙軸傳感器的輸出信號Sx、Sy與旋轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系方程。

1.2 旋轉(zhuǎn)方程的性質(zhì)

傳感器輸出量(Sx,Sy)的軌跡為斜橢圓,其幾何參數(shù)為:橢圓的幾何中心(cx,cy)為(sinαcosγsinβ,cosαcosγsinβ),長軸傾角θ=-α,半長軸a=|cosβ|,半短軸b=|cosβsinγ|,離心率e=|cosγ|,傳感器輸出量的軌跡如圖3所示。

圖3 傳感器輸出量(Sx,Sy)的軌跡

將XOY坐標系順時針旋轉(zhuǎn)角度α得到UOV坐標系,由平面直角坐標系的二維旋轉(zhuǎn)矩陣

(2)

對輸出量坐標進行旋轉(zhuǎn)變換,得到旋轉(zhuǎn)后的坐標

(3)

結(jié)合式(1)可得

(4)

2 空間全方位旋轉(zhuǎn)角度求解方法

為了獲得空間全方位旋轉(zhuǎn)角θ,必須先求解空間位置參數(shù)α、β和γ,然后利用旋轉(zhuǎn)方程求解空間全方位旋轉(zhuǎn)角度θ。

2.1 直接求解法

傳感器測量軸向量Cx和Cy叉積,即將傳感器平面的法向量n作為輔助軸z軸,則z軸傾角的正弦值為

Sz=-sinγsinβ+cosγcosβcosθ

(5)

Sx、Sy、Sz滿足如下方程

(6)

由傾角傳感器輸出(Sx,Sy)并結(jié)合式(6)可求得Sz值,獲得相應(yīng)的一組測量點(Sx,Sy,Sz)。

由式(3)～(5)變換后的旋轉(zhuǎn)方程為

Sxcosα-Sysinα=-cosβsinθ

(7)

Sxsinα+Sycosα=cosγsinβ+sinγcosβcosθ

(8)

Sz=-sinγsinβ+cosγcosβcosθ

(9)

由式(8)、(9)可以得到如下方程

(Sxsinα+Sycosα)cosγ-Szsinγ=sinβ

(10)

至少需要3個測量點才能求解出空間位置參數(shù),設(shè)3個測量點分別為(Sxi,Syi,Szi),i=1,2,3,令

(11)

利用式(10)對3點兩兩差分得到

(12)

從上式求解出

(13)

將α代回至式(12)和式(10),可以求解出γ和β的值。因此,直接求解法只需3個測量點,就可以求解出傾角傳感器的空間位置參數(shù)α、β和γ,但由于測量點受傳感器輸出噪聲的影響存在一定的誤差,只用3個測量點求解出的空間位置參數(shù)誤差很大,所以在工程應(yīng)用時可以通過增加測量點的個數(shù)減小求解空間位置參數(shù)的誤差。

直接求解法存在以下3個方面的問題。

一種解決求解輔助軸符號判定問題的方法是:直接假定Sz為非負值,因為由式(5)可知,當cosθ

(2)輔助軸傾角較小時求解輔助軸誤差大。使用式(6)求解輔助軸的合成誤差為

(14)

取δmin為δx和δy中較小的值,δmax為δx和δy中較大的值,則有

(15)

因此,在Sz值接近0時,由傾角傳感器輸出誤差影響,使用式(6)求解Sz的誤差會顯著增大。

(3)傳感器測量軸靈敏度隨傾角增大而降低。傾角傳感器原理決定了傳感器在測量軸傾角增大時靈敏度逐漸降低,直到±90°時無法測量傾角,而傳感器輸出誤差會隨靈敏度降低而增大,繼而會影響求解旋轉(zhuǎn)角θ的準確度。

2.2 改進措施

針對直接求解法中存在的問題,采用以下方法進行改進。

(1)輔助軸方向增加一單軸傾角傳感器。在原雙軸傾角傳感器的法向量方向增加一單軸傾角傳感器,其輸出為傳感器測量軸z軸的正弦值,與直接求解法中虛擬輔助軸z軸的輸出值意義相同,其表達式同式(5)。

采用改進方法可以直接獲得單軸傾角傳感器的輸出值Sz,不需要依靠式(6)求解,從而解決了輔助軸輸出值符號無法確定的問題;同時,由于z軸與水平面間的傾角變小時,z方向的單軸傾角傳感器靈敏度高,測量誤差很小,從而解決了在傾角較小時使用式(6)求解Sz值的誤差過大的問題。

(2)測量軸在大角度時的靈敏度分析。測量軸與水平面夾角較小時傳感器靈敏度較高,測量誤差較小。由于x、y、z三軸傳感器的輸出值滿足式(6),易知x、y和z方向傳感器輸出值的絕對值至多有一個值大于sin45°,即傳感器在一個空間位置上三軸至多有一軸的傾角大于45°。具體分為以下2種情況:①當Sx、Sy、Sz均小于等于sin45°時,測試點(Sx,Sy,Sz)不修正;②當Sx、Sy、Sz其中一個值大于sin45°時,采用式(6)求解大于sin45°相應(yīng)軸的值代替該軸原始輸出值,其符號與原始值相同。測試點修正后,當傳感器三個測量軸均與水平面夾角小于等于45°時,傳感器輸出誤差δx、δy、δz均比較小;若其中一個測量軸與水平面夾角大于45°時,以z軸為例,此時δx、δy較小,δz較大,Sz值用式(6)求解,由式(15)可知,其求解的合成誤差δ≤δmax,即求解出z的誤差同樣較小。

由以上分析可知,使用直接求解法時需要使用傳感器±90°全范圍的輸出值,而改進方法只需要使用傳感器±45°高靈敏度范圍的輸出值,以此降低了對傳感器的要求,只需要保證傳感器在±45°范圍內(nèi)的輸出值達到一定的準確度。

2.3 利用旋轉(zhuǎn)方程求解全方位旋轉(zhuǎn)角度

在雙軸傾角傳感器的基礎(chǔ)上,增加輔助測量軸,實現(xiàn)了三軸傾角傳感器。其在旋轉(zhuǎn)過程中,可測量并獲得多組輸出值(Sxi,Syi,Szi),其中i=1,2,…,n。使用改進的直接求解法,可求解出位置參數(shù)α、β、γ;然后在測量旋轉(zhuǎn)角度時,獲得傳感器相應(yīng)位置的輸出值(Sx,Sy,Sz);將參數(shù)α、β、γ和輸出值Sx、Sy、Sz帶入旋轉(zhuǎn)方程(7)、(8)或(9)即可求解出空間旋轉(zhuǎn)角θ。

假定求解位置參數(shù)的誤差為δα、δβ、δγ,傳感器的測量誤差為δx、δy、δz。下面分析使用旋轉(zhuǎn)方程(7)～(9)求解空間旋轉(zhuǎn)角θ的合成角誤差δ1、δ2和δ3

(16)

(17)

(18)

取空間位置參數(shù)α=30°,β=60°,γ=10°,傳感器輸出量誤差δx=δy=δz=0.000 5,空間位置參數(shù)誤差δα=δβ=δγ=0.1°,標準旋轉(zhuǎn)角θ的合成角誤差情況如圖4所示。

圖4 旋轉(zhuǎn)角合成角誤差半對數(shù)坐標曲線

由式(16)和圖4可知,由于存在1/cosθ和tanθ項,合成角誤差在旋轉(zhuǎn)角為0°時δ1達到極小值,在旋轉(zhuǎn)角為±90°時δ1達到最大值,在旋轉(zhuǎn)角為±180°時達到最小值。

由式(17)、(18)和圖4可知,由于1/sinθ和cotθ項的存在,合成角誤差δ2、δ3在0°和±180°時達到最大值,在±90°時達到最小值。由于δ2存在1/sinγ和cotγ項,而位置參數(shù)γ一般很小,導(dǎo)致誤差δ2比δ3大的多。

綜上所述,為了獲得最佳的旋轉(zhuǎn)角,應(yīng)采取旋轉(zhuǎn)方程(7)、(9)相結(jié)合的方法計算旋轉(zhuǎn)角,當旋轉(zhuǎn)角在±90°附近時取方程(9)求解的結(jié)果,在其他范圍時可以通過方程(7)來求解旋轉(zhuǎn)角。

3 仿真分析

仿真條件:取位置參數(shù)α=-23°,β=75°,γ=3.2°,均勻分布的18個樣本點,加入服從均值μ=0、標準差σ=0.025%正態(tài)分布的噪聲。

(a)直接求解法

(b)IODSRA方法圖5 2種方法求解Sz值的誤差對比

圖5為以上條件下直接求解法及IODSRA方法中Sz值的誤差情況,從圖中可以看出,z軸傾角接近0°時,直接求解法中Sz值的誤差急劇增大,而IODSRA方法中Sz值的誤差為其加入的隨機噪聲。仿真驗證了采用IODSRA方法可解決直接求解法中求解輔助軸時誤差過大的問題。

在給定仿真條件下進行重復(fù)仿真,采用2種方法求解3個位置參數(shù)α、β、γ的平均絕對誤差如表1所示。

表1 位置參數(shù)平均絕對誤差對比

從表1可以得出,在給定的空間位置參數(shù)條件下采用IODSRA方法求解的α、β和γ的平均絕對誤差分別降低了84%、83%和74%,證明了采用IODSRA方法能夠顯著減小求解空間位置參數(shù)的誤差。

根據(jù)2.3節(jié)分析,直接求解法和IODSRA方法在仿真條件下求解旋轉(zhuǎn)角的極限誤差估算如表2所示。

表2 2種方法求解旋轉(zhuǎn)角度的誤差

從表2可以得出:使用的傳感器精度越高,所獲得的空間旋轉(zhuǎn)角的準確度就越高;在相同精度傳感器條件下,與直接求解法相比,使用IODSRA方法求解旋轉(zhuǎn)角度減小了30%～40%的誤差,所以空間旋轉(zhuǎn)角度測量的準確度取決于傾角傳感器和求解方法的精度。因此,采用IODSRA求解方法并使用高精度傾角傳感器可以實現(xiàn)高準確度的全方位空間旋轉(zhuǎn)角度測量。

4 計量與實驗

根據(jù)上述分析,設(shè)計了測量空間旋轉(zhuǎn)角度的三軸傾角傳感器模塊。

在國防工業(yè)6114二級計量站,采用型號為SJJF-1的光學(xué)分度頭(GFJGJL2049150502519,準確度為1″),對傾角傳感器三軸分別進行單軸計量,結(jié)果表明:X、Y、Z三軸在±45°范圍內(nèi)誤差不超過±0.04°;在±(45°～65°)范圍內(nèi)誤差不超過±0.2°;傾角大于±65°時,誤差將超過±0.2°;限于傾角傳感器原理,當在±90°時,傳感器傾角是不可測量的。

同一空間安裝位置下,采用IODSRA方法對傳感器空間位置參數(shù)進行計算,結(jié)果如表3所示。不同組實驗算出的參數(shù)α、β、γ差別很小,說明了IODSRA的方法求解空間位置參數(shù)的穩(wěn)定性較好。

表3 空間位置參數(shù)

對該模塊傳感器進行[-180°,180°]范圍的空間全方位旋轉(zhuǎn)角度測量。模塊的空間角度位置α、γ為任意安裝,在轉(zhuǎn)動軸傾角β分別為55°和75°的情況下,進行角度測量檢驗,測試結(jié)果及誤差情況如表4、表5所示。

表4、表5的測試結(jié)果表明,使用IODSRA方法測量空間全方位旋轉(zhuǎn)角θ的誤差不超過0.2°。使用三軸傾角傳感器模塊在同一安裝情況下進行旋轉(zhuǎn)角度測試,圖6為采用文獻[12]的直接求解法和本文IODSRA方法計算出的旋轉(zhuǎn)角誤差絕對值對比情況。由圖6可見:文獻[12]方法只能測量±80°范圍的旋轉(zhuǎn)角度,且最大誤差接近0.4°;本文方法可以測量±180°全范圍旋轉(zhuǎn)角度且誤差不超過0.2°。相對于文獻[12]方法,本文方法擴大了旋轉(zhuǎn)角度檢測范圍,降低了測量誤差,實現(xiàn)了空間全方位旋轉(zhuǎn)角度的高準確度測量。

表4 β=55°時對標準旋轉(zhuǎn)角的測試結(jié)果及誤差

表5 β=75°時對標準旋轉(zhuǎn)角的測試結(jié)果及誤差

圖6 不同方法檢測旋轉(zhuǎn)角誤差對比

5 結(jié)束語

本文在雙軸傾角傳感器空間旋轉(zhuǎn)模型的基礎(chǔ)上,通過增加一個沿原傳感器法向量方向的單軸傾角傳感器,提高角度測量的靈敏度,獲得了一種改進的空間全方位旋轉(zhuǎn)角度測量方法。仿真和實驗結(jié)果表明,該方法可實現(xiàn)[-180°,180°]全方位范圍高準確度的空間旋轉(zhuǎn)角度測量。

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(編輯 劉楊)

An Improved Method for Measurement of Omni-Directional Spatial Rotation Angles

CAO Jian’an,ZHU Xin,WU Hao,ZHANG Leping

(School of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

An improved method (IODSRA) to measure omni-direstional spatial rotation angles is proposed to focus on the problem, that the analytical approach for measurement of spatial angle with dual-axis inclination sensor can’t measure the omni-directional rotation angle. It is based on the space model that measurement axis of inclination sensor rotates around measurement axis of rigid body, and the method improves the sensitivity of measuring angles and obtains spatial position parameters by applying a single axis inclinometer in the direction of normal vector of existed sensor. The optimal rotational angle measurement is acquired by taking full advantage of several rotation equations. Experimental results show that the IODSRA method achieves the measurement of the omni-directional spatial rotation angle while other algorithms are unable, and that detection accuracy can be controlled under 0.2° and meets requirements.

angle measurement; omni-directional rotation angle; inclinometer; space rotation model; spatial position parameter

2016-03-04。

曹建安(1971—),男,副教授。

國家自然科學(xué)基金資助項目(51177119);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(XJJ2013104)。

時間:2016-07-21

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160721.2216.016.html

10.7652/xjtuxb201610001

TM938.81

A

0253-987X(2016)10-0001-07