張 菁， 王 斌， 葉家敏

(1. 上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620；2. 上海西南工程學(xué)校，上海 201100)

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·計(jì)算機(jī)技術(shù)應(yīng)用·

二分法快速求解Duffing混沌閾值的微弱信號(hào)檢測(cè)

張 菁1， 王 斌2， 葉家敏2

(1. 上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620；2. 上海西南工程學(xué)校，上海 201100)

針對(duì)改進(jìn)型Duffing混沌系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)，求解Lyapunov閾值時(shí)間過(guò)長(zhǎng)問(wèn)題，提出二分法實(shí)現(xiàn)快速求解Duffing系統(tǒng)由混沌到周期態(tài)的閾值。首先, 以0.1步長(zhǎng)的Lyapunov指數(shù)確定一個(gè)粗略的閾值；然后根據(jù)對(duì)分法快速收索Duffing-Holmes振子混沌閾值的精確值，這一算法大大提高了閾值搜索速度，通過(guò)識(shí)別微弱信號(hào)仿真事例證明這種方法的有效性。

二分法； Duffing； 微弱信號(hào)； Lyapunov指數(shù)

0 引 言

微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)是采用電子學(xué)、信息論、計(jì)算機(jī)及物理學(xué)的方法，分析噪聲產(chǎn)生的原因和規(guī)律，研究被測(cè)信號(hào)的特點(diǎn)與相關(guān)性，檢測(cè)被噪聲淹沒(méi)的微弱有用信號(hào)。傳統(tǒng)的建立在FFT的信號(hào)處理無(wú)法在強(qiáng)噪聲中識(shí)別或提取微弱的奇異信號(hào)[1]，考慮到改進(jìn)型Duffing混沌系統(tǒng)對(duì)外界干擾的極端敏感性，可用于微弱信號(hào)的檢測(cè)[2]。該方法的目的是找到Duffing(LY)系統(tǒng)從混沌態(tài)到周期態(tài)變化的閾值，同時(shí)能夠獲得Duffing(LY)系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)隨內(nèi)置攝動(dòng)力r的從小變大出現(xiàn)有規(guī)律的變化，因此搜索閾值微弱信號(hào)混沌檢測(cè)中的一個(gè)重要內(nèi)容。應(yīng)用前需確定該系統(tǒng)是混沌的，這就涉及到混沌判別[3]。本文給出了基于改進(jìn)型Duffing混沌系統(tǒng)，利用Lyapunov特性指數(shù)判別法并結(jié)合二分法快速求解Duffing系統(tǒng)閾值從而檢測(cè)出微弱信號(hào)的方法。

1 Duffing混沌系統(tǒng)的改進(jìn)型—Duffing(LY)

原Duffing系統(tǒng)方程為：

x″(t)+kx′(t)-ax(t)+bx3(t)=r cos ωt

(1)

由于原Duffing系統(tǒng)對(duì)不同的信號(hào)敏感程度不同，建立對(duì)信號(hào)敏感的混沌系統(tǒng)是信號(hào)檢測(cè)的首要條件。為了更好地檢測(cè)微弱信號(hào)，應(yīng)對(duì)Duffing系統(tǒng)方程進(jìn)行改進(jìn)。從微弱信號(hào)的檢測(cè)能力的下限，混沌系統(tǒng)檢測(cè)信噪比，以及系統(tǒng)混沌判定的幾方面綜合考慮[4-5]，得到改進(jìn)型Duffing系統(tǒng)為：

x″(t)+kx′(t)-bx3(t)+cx5(t)=r cos ωt

(2)

其中：k為阻尼系數(shù)；-bx3(t)+cx5(t)為改進(jìn)后的非線性恢復(fù)力；rcosωt為系統(tǒng)攝動(dòng)力。式(2)稱為改進(jìn)型Duffing(LY)并對(duì)狀態(tài)的變化非常敏感，可通過(guò)判別系統(tǒng)處于混沌態(tài)還是周期態(tài)，檢測(cè)信號(hào)中是否含有微弱奇異信號(hào)[6]。

2 Lyapunov指數(shù)定量判別方法

判別系統(tǒng)混沌態(tài)和周期態(tài)的臨界點(diǎn)就是找到系統(tǒng)的閾值，如果無(wú)法找到閾值，表示系統(tǒng)不存在混沌[7]。Lyapunov特性指數(shù)是一個(gè)經(jīng)典的混沌判別方法，是對(duì)混沌系統(tǒng)敏感性的度量，它表征了系統(tǒng)在相平面中運(yùn)動(dòng)軌道的收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率[8]，其定義由文獻(xiàn)[9]給出。

將方程(2)作如下變換:

(3)

當(dāng)系統(tǒng)呈現(xiàn)大尺度周期狀態(tài)時(shí)，2個(gè)Lyapunov指數(shù)(LE)均是負(fù)值；當(dāng)系統(tǒng)為混沌狀態(tài)時(shí)，至少有1個(gè)Lyapunov指數(shù)是正值。

設(shè)初始條件為x(0)=1，x′(0)=1, 在r=[0.5, 1]選擇30個(gè)點(diǎn)值分別計(jì)算LE,r的計(jì)算精度是小數(shù)點(diǎn)2位。圖1是LE的曲線圖，在r=0.70, 系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)；r=0.78, 系統(tǒng)呈現(xiàn)周期態(tài)，見(jiàn)圖2和圖3。

圖1 Lyapunov指數(shù)與r的關(guān)系

圖2 r=0.70時(shí)系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)、相平面和LE

圖3 r=0.78時(shí)系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)、相平面和LE

3 二分法與直觀法確定系統(tǒng)精確域值

由于二分法適用于快速求取最優(yōu)解[10]，可將其用于對(duì)閾值進(jìn)行精確定位。首先粗略計(jì)算Lyapunov指數(shù)(初始條件為x(0)=1，x′(0)=1，有效位為1)，得到系統(tǒng)的閾值大致范圍為r=[0.7,0.8]。隨后，在該區(qū)間內(nèi)用二分法快速求取精確閾值(精度為6)，步驟如下：

(1) 由于0.7對(duì)應(yīng)系統(tǒng)混沌態(tài)，而0.8對(duì)應(yīng)周期態(tài)，取 0.7～0.8的中間值r=0.75。

(2) 由于r=0.75對(duì)應(yīng)周期態(tài)，所以取r的區(qū)間為[0.7,0.75]。然后r從0.7～0.75以步長(zhǎng)為0.01 增加到0.71，該值對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，0.72對(duì)應(yīng)周期態(tài)，取0.71 ～ 0.72的中間值r=0.715。

(3) 由于0.715對(duì)應(yīng)的是混沌態(tài)，此時(shí)r的取值范圍是[0.715,0.72]。然后r從0.715～0.72以步長(zhǎng)為0.001增加到0.718，r=0.717對(duì)應(yīng)周期態(tài)，而0.718對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，取0.717～0.718的中間值0.717 5。

(4) 由于0.717 5對(duì)應(yīng)的是混沌態(tài)，所以r的取值范圍是[0.717,0.717 5]。然后r從0.717～0.717 5以步長(zhǎng)為0.000 1增加到0.717 3，r=0.717 3對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，而0.717 4對(duì)應(yīng)周期態(tài)，取0.717 3～0.717 4的中間值0.717 35。

(5) 由于0.717 35對(duì)應(yīng)的是周期態(tài)，則r的取值范圍是[0.717 3,0.717 35]。然后r從0.717 3～0.717 35以步長(zhǎng)為0.000 01增加到0.717 32，r=0.717 32對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，而0.717 33對(duì)應(yīng)周期態(tài)，0.7173 2～0.717 33的中間值是0.717 325。

(6) 由于r=0.717 325對(duì)應(yīng)的是周期態(tài)，所以r的取值范圍是[0.717 325,0.717 33]。 然后r從0.717 325到0.717 33以步長(zhǎng)為0.000 001增加到0.717 329，r=0.717 329這個(gè)值對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，而0.717 33對(duì)應(yīng)周期態(tài)。

(7) 最后的閾值確定為0.717 329。當(dāng)弱周期信號(hào)嵌入到系統(tǒng)(3)時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)呈現(xiàn)大尺度周期態(tài)。這個(gè)計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表1。

表1 二分法求系統(tǒng)閾值

從計(jì)算過(guò)程看出，確定一個(gè)6位閾值最多搜索運(yùn)行30次，閾的求解速度得到很大改進(jìn)。

4 結(jié) 語(yǔ)

提出了利用改進(jìn)型Duffing混沌系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)的方法。具體過(guò)成為：先將要檢測(cè)的信號(hào)做為擾動(dòng)輸入到Duffing(YL)系統(tǒng)作為外部攝動(dòng)力；再通過(guò)確定合理的閾值識(shí)別檢測(cè)信號(hào)中是否含有微弱的奇異信號(hào)。而閾值的確定需要將二分法與Lyapunov指數(shù)算法相結(jié)合運(yùn)用。首先通過(guò)Lyapunov指數(shù)判別法確定閾值的范圍；隨后在該范圍內(nèi)用二分法快速求出閾值。這種算法能夠快速得從混沌到周期的系統(tǒng)臨界閾值，確定Duffing(YL)系統(tǒng)的閾值，降低系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的計(jì)算時(shí)間。

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Quickly Solving the Threshold of Duffing Chaos System for Weak Signal Detecting by Bisection Algorithm

ZHANGJing1,WANGBin2,YEJia-min2

(1.School of Electronic & Electrical Engineering, Shanghai University of Science and Engineering,Shanghai 201620, China; 2.Shanghai Southwest Engineering School, Shanghai 201100, China)

In the improved Duffing system, detection signal is quite weak, hence, solving the chaos threshold takes a lot of time when one applies Lyapunov exponent criterion. The paper proposes a bisection algorithm to solve the problem. The algorithm can figure out the threshold value whcih makes Duffing system transfer from chaos state to period state. First, we take 0.1 as the step length to find a threshold roughly based on the Lyapunov exponent. Then the bisection algorithm figures out the exact value for the threshold. The speed of calculating is speeded a lot, Simulation result proves the validity of this method.

bisection algorithm; Duffing; weak signal; Lyapunov exponent

2015-07-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51477099和51477100)

張 菁(1969-)，女，上海人，副教授，主要研究方向?yàn)殡姎夤こ碳捌渥詣?dòng)化、機(jī)械電子等。E-mail: 1768283350@qq.com

TN 98

A

1006-7167(2016)02-0086-03