林盛，熊文康，王春，楊亮

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)*

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新型三維橢圓振動切削裝置研究

林盛，熊文康，王春，楊亮

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)*

基于螺旋理論和自由與約束拓撲理論，提出了一種新型空間三自由度柔順機構.結合螺旋理論與有限元理論，推導出了柔順機構的整體剛度矩陣.對機構進行了模態(tài)分析，得出了前六階固有頻率和振型.根據(jù)橢圓軌跡的形成原理，將機構運用到切削加工上，設計出一種新型三維橢圓振動切削裝置，分析各種參數(shù)，繪制出了切削運動軌跡圖像.

自由與約束拓撲；柔順機構；模態(tài)分析；橢圓振動切削

0 引言

隨著科學技術水平的飛速發(fā)展，產品零件精度要求的不斷提高，機械制造領域面臨著嚴峻的挑戰(zhàn).作為一種具有發(fā)展?jié)摿Φ募庸し椒?，橢圓振動切削不僅可以有效地改善切削加工性、而且能夠形成微加工運動高效地創(chuàng)成表面，受到了國內外的各界學者的廣泛關注[1].

20世紀90年代，橢圓振動切削被首次提出[2].隨后日本名古屋大學的社本英二教授等人研究出了一系列的橢圓振動切削裝置[3]，并對難加工材料進行了加工實驗，驗證了其優(yōu)越的加工性能.國內對橢圓振動切削裝置的研究主要來源于各大高校發(fā)表的專利和論文[1, 4-5].其中很多切削裝置刀具的運動是通過柔順單元的彎曲變形來實現(xiàn)的.柔順單元的運動分析要經過大量復雜的公式計算得出，設計過程十分繁瑣.由HOPKINS教授提出的自由與約束拓撲(FACT)理論[6]，將柔順機構的自由度空間與約束空間結合進行可視化處理，使得柔順機構的運動分析變得直觀明了，為柔順單元的設計提供了一條可行的便捷之道.

本文將在螺旋理論和自由與約束拓撲理論的基礎上，設計出空間三自由度柔順機構，進行固有特性分析.利用橢圓振動軌跡的形成原理，將其應用到三維橢圓振動切削方面.

1 理論基礎

1.1 螺旋理論

螺旋理論中，運動螺旋和力螺旋可以從整體上描述剛體瞬時的運動及受力情況.運動螺旋T用來表示物體的自由度，力螺旋W用來表示物體所受到的約束.運動螺旋可以由3個角速度向量和3個線速度向量合成，可以表示

(1)式中，Δθ為角速度向量，δ為線速度向量，c表示坐標原點指向運動螺旋線上的位置向量，螺距p表示線速度與角速度的比值.

類似地，力螺旋也可以由3個角速度向量和3個線速度向量合成，力螺旋W表示機構所受到的約束，表達式為

(2)

(3)式中，f為力向量，τ為力偶向量，r表示坐標系原點指向力螺旋線上的位置向量，螺距q表示剛體所受到力偶與力的比值.

當運動螺旋與力螺旋的互易積等于零時，根據(jù)式(1)和式(2)得：

(4)式中，d為運動螺旋與力螺旋之間的最短距離，θ為扭轉角.

由式(4)可知當d=0或θ=0時，機構的在空間內所有運動螺旋線與力螺旋線都相平行或相交.

1.2 自由度和約束空間

自由度空間是由無數(shù)多條運動螺旋線所組成，代表空間內物體在可以進行的所有運動.物體作基本運動時，運動螺旋變成線向量.根據(jù)自由與約束拓撲理論對機構進行幾何表達可視化，如圖1(a)所示，機構的可以繞Y軸轉動，Z軸轉動，Z軸移動.

約束空間由無數(shù)多條力螺旋線所組成，表示空間內物體被限制住的所有運動.如圖 1(b)所示，機構的X軸移動，Y軸移動，Y軸轉動運動被限制.

圖1 自由與約束拓撲FACT圖

根據(jù)螺旋理論和自由與約束拓撲理論，圖2所示的柔順機構為三自由度柔順機構，中間剛體9通過八個柔順單元與基座10相連，可以實現(xiàn)空間三個方向的運動.材料選用彈性模量為73GPa，泊松比0.3，密度為2 700 kg/m3的鋁合金，對其進行固有特性分析.

圖2 柔順機構

2 固有特性分析

2.1 剛度矩陣

柔順機構的整體剛度矩陣表示運動螺旋與力螺旋之間的關系為

(5)式中，θx、θy、θz表示機構三個方向的扭轉角，δxi、δyi、δzi表示機構三個方向的位移，[N(a)]為方向的轉換矩陣，[N(a)]可表示為

(6)式中，n1為垂直n2和n3的單位向量，n2為垂直柔順單元的單位向量，n3為沿著柔順單元的單位向量，0為零向量，L為坐標系原點指向柔順單元與工作臺接觸點位置的向量.

柔順單元的力螺旋表達式為

(9)式中，Ix為截面對x軸的慣性矩，Iy為截面對y軸的慣性矩，J為極慣性矩，E為彈性模量，G為剪切模量，A為截面面積， l為柔順單元的長度.總力螺旋表達式為

(10) 將各個參數(shù)代入公式(10)得：

2.2 模態(tài)分析

結構的固有特性與外部載荷無關，由機構的自身性質所決定，可以通過模態(tài)參數(shù)定量描述.模態(tài)分析就是計算結構振動特性的數(shù)值技術，對模態(tài)參數(shù)進行計算，識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，確定結構的固有頻率和振型，從而有效的避免結構共振現(xiàn)象的產生，幫助設計人員了解不同載荷下結構的振動情況，為響應分析提供必要的依據(jù).

利用 ANSYS Workbench軟件對所設計的機構進行模態(tài)分析，得出機構的前6階固有頻率如表1.

表1 前6階固有頻率 Hz

模態(tài)分析的第一階振型為中間剛體向Z軸移動，第二階振型為中間剛體繞Y軸旋轉，三階振型為中間剛體繞Z軸旋轉，機構前三階振型與利用自由與約束拓撲理論所分析出的結果一致，驗證了機構設計的合理性.第一階振型的頻率為2526Hz，固有頻率較高，符合設計要求.

3 運動軌跡分析

橢圓振動切削的原理主要是通過壓電陶瓷等裝置施加振動，使刀具的橢圓運動軌跡垂直于加工工件所在平面. 隨著橢圓振動切削的進一步發(fā)展，刀具的橢圓運動軌跡擴展到了空間，即三維橢圓振動切削.三維橢圓振動切削的刀具運動軌跡在加工工件平面及其法平面的投影均為橢圓，對曲面的加工有著良好的切削效果.將設計出來的空間三自由度柔順機構安裝在底座上，組成了三維橢圓振動切削裝置，其整體結構如圖3.

圖3 三維橢圓振動切削裝置

對機構振動軌跡進行分析，設向中間剛體三個自由度方向分別施加的驅動信號為：

繞Y軸旋轉的扭矩Ty(t)=V1sin(2πft+α) 繞Z軸旋轉的扭矩Tz(t)=V2sin(2πft+β) 沿Z軸方向的載荷FZ(t)=V3sin(2πft+γ)式中，V1、V2、V3和α、β、γ分別為信號Ty(t)、Tz(t)、Fz(t)的振幅和初相位，t為時間，f為驅動頻率.

在驅動信號的作用下，切削點在笛卡爾直角坐標中的位移方程可表示為[8]：

(11)

式中，a、b、c和φx、φy、φz分別為信號的振幅和初相位，vc為切削速度，θ為切削方向與三維橢圓平面夾角.

當a=b=c=5 μm，φx=0，φy=π/6，φz=π/3，f=100Hz，vc=3μm/s，θ=π/4時，用MATLAB軟件進行軌跡計算，得到的三維橢圓振動軌跡如圖4.

圖4 三維橢圓振動軌跡

4 結論

(1)根據(jù)螺旋理論和自由與約束拓撲理論，設計出的柔順機構，可以繞Y軸轉動、Z軸轉動、沿著Z軸移動，符合空間三自由度的運動準則，滿足設計的要求;

(2)利用有限元知識，計算出機構的整體剛度矩陣，進而得出了柔順機構運動螺旋與力螺旋之間的關系.進行模態(tài)分析第一階固有頻率為2526Hz，有效地避免了共振現(xiàn)象;

(3)設計出了三維橢圓振動切削裝置，用MATLAB軟件進行運動軌跡分析，得出的軌跡圖像在三個平面內的投影均為橢圓，效果良好.

[1]盧明明. 三維橢圓振動輔助切削裝置及控制的研究[D]. 長春：吉林大學,2014.

[2]SHAMOTO E, MORIWAKI T. Study on elliptical vibration cutting[J]. Annals of the CIRP,1994(43): 35-38.

[3]SHAMOTO E, SUZUKI N, TSUCHIYA E, et al. Development of 3 DOF ultrasonic vibration tool for elliptical vibration cutting of sculptured surfaces[J]. Cirp Annals,2005,54(1): 321-324.

[4]劉培會. 一種三維橢圓振動切削裝置的研制[D]. 長春：吉林大學, 2013.

[5]周曉勤, 劉培會, 林潔瓊, 等. 一種三維橢圓振動切削裝置[D].長春：吉林大學,2012.

[6]HOPKINS J B, CULPEPPER M L. Synthesis of multi-degree of Freedom, parallel flexure system concepts via freedom and constraint topology (FACT). Part I: Principles[J].Precision Engineering,2010,34(2): 259-70.

[7]BALL R S. A treatise on the theory of screws[M].Cambridge: Cambridge University Press, 1900.

[8]SHAMOTO E, SUZUKI N, HINO R. Analysis of 3D elliptical vibration cutting with thin shear plane model[J]. Cirp Annals-Manufacturing Technology，2008，57: 57-60.

A Novel Three-Dimensional Elliptical Vibration Cutting Device

LIN Sheng , XIONG Wenkang, WANG Chun, YANG Liang

( School of Mechanical Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

A novel three-dimensional elliptical vibration cutting device was proposed based on the screw theory and the freedom and constraint topology (FACT) theory. Then the overall stiffness matrix was derived, the first six natural frequencies and vibration mode were obtained through the modal analysis. Analysis of various parameters and cutting trajectory plotting were done according to the forming principle of elliptical orbit.

FACT; compliant mechanism; modal analysis; elliptical vibration cutting

1673- 9590(2016)06- 0048- 04

2016-05-01

國家自然科學基金資助項目(51105050)；遼寧省科學技術基金資助項目(2015020131)

林盛(1979-)，男，副教授，博士，主要從事柔順機構、微操作機器人的研究

A

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