朱振泱，劉敏芝，強 晟，相建方

（1. 中國水利水電科學研究院流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，北京 100038；2. 鄞州區(qū)水利工程質(zhì)量與安全監(jiān)督站，寧波 315100； 3. 河海大學水利水電工程學院，南京 210098）

基于熱流量積分的混凝土溫控水管冷卻邊界模擬算法

朱振泱1，劉敏芝2，強 晟3，相建方1

（1. 中國水利水電科學研究院流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，北京 100038；2. 鄞州區(qū)水利工程質(zhì)量與安全監(jiān)督站，寧波 315100； 3. 河海大學水利水電工程學院，南京 210098）

以往用冷卻水管離散模型迭代計算混凝土溫度場時，水管邊界被近似認為是第三類邊界條件，此類邊界條件的參數(shù)獲取要通過試驗并進行反演，試驗費用較大且有時候可靠性不高。針對該問題，在熱量平衡條件的基礎上提出由與水管接觸混凝土的熱流量、水管的導熱系數(shù)、管壁厚度和水管內(nèi)壁溫度推算水管外壁溫度的新算法，并對原有迭代方法進行改進，解決迭代次數(shù)多和迭代可能無法收斂的問題。對比算例中，采用傳統(tǒng)算法，模型邊界處的誤差可達到1.67℃，而采用該新算法，誤差僅為0.3℃。應用所提方法對某混凝土塊施工期混凝土溫度場進行了仿真計算，計算值與實測值吻合較好，且迭代收斂速度較快，一般的迭代方法，需要迭代15次，而采用改進的迭代方法，只需迭代7次即可以達到穩(wěn)定值。該算法能明確通水冷卻的邊界條件，節(jié)省試驗費用，提高計算效率，有較好的工程應用價值。

溫度；模型；混凝土；迭代算法

0 引言

溫度應力導致的裂縫為混凝土施工期最常見的裂縫，近年來很多學者對此進行了持續(xù)深入的研究。冷卻水管是控制混凝土溫度應力的有效措施，近年來廣泛應用于工程實踐中[1-4]。

目前普遍認為，金屬水管內(nèi)壁和外壁的溫差可以忽略，但塑料水管必須考慮內(nèi)外壁溫差的影響。塑料水管內(nèi)部的溫度場分布較為復雜，雖然有學者認為塑料管內(nèi)溫度可以等效為線性分布，即塑料管內(nèi)的溫度梯度為常數(shù)[5-6]；但有關文獻和本文的研究成果均表明塑料水管內(nèi)部的溫度梯度非線性分布，不應用常數(shù)表示[7]。以往含離散水管模型的大體積混凝土溫度場迭代計算中，一般將塑料水管邊界作為第三類邊界條件，在這種條件下溫度場計算精度與管壁放熱系數(shù)的取值有密切關系。不同的水管材質(zhì)、管壁厚度、水的流速、沿程水溫條件下，管壁放熱系數(shù)均有可能不同。由于管壁放熱系數(shù)對溫度場的影響較大，目前往往要通過現(xiàn)場試驗反演計算獲得，耗費的成本較大[8]。且目前用等效的放熱系數(shù)一個參數(shù)來涵蓋管壁導熱系數(shù)、管壁厚度和管壁表面溫度梯度等多個物理量綜合產(chǎn)生的效果，有時候可靠性不高。

目前大體積混凝土通水冷卻模型方面的研究較為豐富，許多專家都提出了各自的模型:等效算法[7]、子結構算法[9-10]、埋置單元法[11]、模擬混凝土水管冷卻效應的直接算法[12]、擴展有限元法[13]。目前用于含水管大體積混凝土溫度場的算法中，如不考慮水管周圍混凝土的溫度場，則計算量小，如朱伯芳的等效算法在混凝土壩的溫控防裂中應用廣泛[7]。離散水管模型的混凝土溫度場迭代算法是由朱伯芳院士提出，并由朱岳明教授進行改進并推廣，目前已經(jīng)廣泛應用于各種薄壁結構中，但在大壩中仍屬于初步的應用[7,14-17]。該計算方法計算精度較高，且能很好地模擬工程現(xiàn)場的“蛇形水管”布置形式。但是節(jié)點數(shù)量龐大，計算速度慢，對計算機的性能要求較高，目前多用于諸如水閘等薄壁結構中。由于混凝土通水冷卻時，塑料水管對混凝土薄壁結構溫度場和應力場影響較大，只有準確考慮其影響才能對薄壁結構溫度場和應力場進行可靠分析[18-19]。故針對塑料水管內(nèi)溫度和溫度梯度分布以及塑料管對混凝土冷卻效果的進一步研究是十分有必要的。

本文根據(jù)熱平衡原理，推導了水管內(nèi)外壁的溫度關系式。由沿程水溫（沿水流方向水管內(nèi)壁的溫度）、與水管接觸混凝土的熱流量、管壁導熱系數(shù)及管壁厚度即可以推算出水管外壁溫度（水管與混凝土的接觸面）。由于水管和混凝土緊密接觸，可以認為接觸面的熱阻很小，故在計算中將水管外壁的溫度作為第一類邊界條件。由于水管的導熱系數(shù)和水管的材質(zhì)有很大關系，同種材質(zhì)的水管，導熱系數(shù)相差不大，而有些水管在出廠時就標明了導熱系數(shù)。管壁的厚度可以通過簡單測量獲取。因此水管的導熱系數(shù)和管壁的厚度均可輕易獲取，而沿程水溫、與水管接觸混凝土的熱流量也可以在計算中獲取，因此該邊界條件處理方法可以避免將管壁作為第三類邊界條件而需要通過試驗和反演獲取表面放熱系數(shù)的缺陷，提高了經(jīng)濟性及可靠性。

目前的最新研究成果表明，采用離散迭代算法時，即使在網(wǎng)格數(shù)量較少的情況下，如選擇最佳熱流量斷面進行熱流量積分，依然能得到熱流量的精確解答[20-22]。以上研究成果表明，采用熱流量積分法計算塑料水管通水冷卻作用不需要增加額外網(wǎng)格節(jié)點的數(shù)量，是完全可行的。但應用該邊界條件處理方法和傳統(tǒng)的水管冷卻離散迭代算法計算溫度場，會增加迭代次數(shù)，甚至出現(xiàn)迭代不收斂的現(xiàn)象，需要改進。基于以上分析，本文對混凝土溫控冷卻水管邊界模擬方法進行深入研究，擬提出一種精確快速計算方法解決這些問題。

1 基本理論和方法

1.1 不穩(wěn)定溫度場的計算原理

在混凝土計算域R內(nèi)任何一點處，不穩(wěn)定溫度場T滿足以下熱傳導控制方程，

式中T為溫度，℃；α為導溫系數(shù)，m2/d；θ混凝土熱量釋量，℃；t和τ分別表示時間和齡期，d；R為計算域。

1.2 水管沿程水溫計算

根據(jù)熱傳導平衡條件，水管內(nèi)沿程水溫增量可以用以下方程表示[7,15]

式中cλ為混凝土的導熱系數(shù)，kJ/m·d·℃；cw為冷卻水比熱，kJ/kg·℃；ρw為冷卻水的密度，kg/m3；qw為冷卻水流量，m3/d；n為熱流量積分面的外法向向量。

1.3 熱流量積分的最佳斷面

本文所提的方法依賴于熱流量的計算，如果僅采用式（2）計算熱流量，在沒有選擇合適的積分斷面的情況下，只有在網(wǎng)格十分密集的情況下，才能得到精確解，需要大量的計算節(jié)點。同樣，采用式（2）計算沿程水溫，需要十分密集的網(wǎng)格才能得到精確解，如果采用稀疏的網(wǎng)格計算沿程水溫則計算結果將明顯小于實際沿程水溫。為此，采用最佳熱流量積分法可解決該問題[20-21]，基本原理如下：

如將S1面定義為水管和混凝土單元A的交界面，S2面定義為混凝土單元A和另一個混凝土單元的交界面。將ζ=?1和ζ=1分別代表S1面和S2面；根據(jù)文獻[20-21]的研究結果，對于8節(jié)點的六面體單元，S1面的溫度梯度計算值小于真實值，而S2面的溫度梯度計算值大于真實值，只有S3面（ζ=0.4）的溫度梯度的計算值與真實值相符。因此，只有采用S3面（ζ=0.4）作為熱流量積分，才能得到真實的熱流量，為熱流量積分的最佳斷面。

2 含水管離散模型的混凝土溫度場迭代計算方法

2.1 水管內(nèi)壁和外壁溫差計算

圖1為水管垂直于水流方向截面的一部分，該部分的弧度為θ，內(nèi)壁弧長為la，水管順水流方向的長度為dn，水管的內(nèi)徑為ra，水管的外徑為rd，rx是某點到水管中心的距離。Na為該部分水管內(nèi)壁的溫度梯度，Nx是該部分水管內(nèi)某點（與水管中心的距離為rx）的溫度梯度，λ為水管材料的導熱系數(shù)，由于水和混凝土溫差較大，故可以認為在水管的任意位置溫度梯度方向均與水管壁垂直，故在dt時間內(nèi)通過該段水管內(nèi)壁和距離水管中心長度為rx截面（圖1中的X截面）的熱流量分別為：

圖1 一個典型水管垂直于水流方向截面Fig.1 A pipe section in direction perpendicular to water flow

同樣，由于水和混凝土溫差較大，可以認為在水管的任意位置溫度梯度方向均與水管壁垂直，故dt時間內(nèi)流過該部分水管內(nèi)壁和圖1中流過X截面的熱量相等，故有。因此，，設水管內(nèi)壁的溫度為Tin，水管外壁的溫度為Tou。根據(jù)積分，則有，故

式中ra為水管的內(nèi)徑，m；rd為水管的外徑，m；Na為該水管微段水管內(nèi)壁的溫度梯度，℃/m；Tin和Tou分別為內(nèi)壁與外壁的溫度，℃。

計算時將水管分為m段，設第i段水管長度為dn，單位時間dt內(nèi)由水管附近混凝土傳給該段水管的熱量為Q。根據(jù)熱流量守恒定則，Q與dt時間內(nèi)流經(jīng)水管內(nèi)壁的熱量相等，故有，故

式中λ為水管材料的導熱系數(shù)，kJ/m·d·℃；dn為計算微段水管長度，m；Q為時間dt內(nèi)由水管附近混凝土傳給該段水管的熱量kJ/m；la為內(nèi)壁弧長，m。

故水管內(nèi)壁和水管外壁的溫差為

2.2 沿水流方向水管外壁溫度分布

由于冷卻水的入口溫度已知，利用公式（2）在最佳的熱流量積分斷面上做熱流量積分，對每根水管沿水流方向可以逐段推求出沿程水溫。計算時根據(jù)需要將水管分為m段，則第i段所在位置的沿程水溫Twi為式中進口水溫為Tw0，℃；ΔTwj為沿程水管微段水溫的增量，℃。

水管內(nèi)壁直接與水接觸，因此可以認為水管內(nèi)壁的溫度即為水溫。由公式（5）和公式（6）可知水管外壁的溫度Touwi為

式中ΔTi為水管內(nèi)壁和外壁的溫差，℃。

在式（2）中，水管沿程水溫的變化與溫度梯度有關，是一個邊界非線性問題，溫度場無法一步求出，必須采用迭代求解法逐步逼近真實解[7,15]。第一次迭代時可以假定整個冷卻水管沿程的內(nèi)壁和外壁的溫度均等于冷卻水的入口溫度，利用式（1）求出溫度場的近似解，再利用式（2）、式（6）和式（7）求出沿水流方向水管內(nèi)壁的溫度分布和沿水流方向水管外壁的溫度分布，重復以上過程直到獲得穩(wěn)定解。

當管壁材料為鐵管時，沿程水溫十分接近鐵管外壁的溫度，采用上述方法計算大體積混凝土溫度場，一般迭代7次以內(nèi)就可以獲得穩(wěn)定解。而當水管材料為塑料時，水管內(nèi)外壁溫差很大，甚至可達到5.0℃以上。沿程水溫變化對管外壁溫度的影響很大，只有精確求出水管沿程水溫才能獲得精確解。采用上述方法迭代，計算結果將迭代很多次以后才能收斂，甚至無法收斂。

2.3 溫度場的迭代算法改進

由于第一次迭代前水管內(nèi)外壁的溫度均等于水管進口溫度，小于穩(wěn)定解。因第一次迭代計算出的水管內(nèi)外壁的溫度梯度將大于穩(wěn)定解，故第一次迭代計算出的水管內(nèi)外壁的溫度也將高于穩(wěn)定解。而第二次迭代前水管內(nèi)外壁溫度即為第一次迭代后的水管內(nèi)外壁溫度，故第二次迭代計算出的水管內(nèi)外壁溫度和溫度梯度都將低于穩(wěn)定解。同理，第奇數(shù)次迭代計算出的水管內(nèi)外壁溫度和溫度梯度都將大于穩(wěn)定解，而第偶數(shù)次迭代計算出的水管內(nèi)外壁溫度和溫度梯度都將小于穩(wěn)定解。

設第（N-1）次迭代后的管外壁溫度為Tn1?，第N次迭代后的管外壁溫度為Tn，作為第（N+1）次迭代前的管外壁溫度，則計算結果更容易接近于穩(wěn)定解，收斂的速度也將提高。一般情況下，采用改進后的迭代算法計算大體積混凝土溫度場時，迭代8次以內(nèi)誤差即可以控制在0.1℃以內(nèi)。

2.4 迭代收斂條件的數(shù)學依據(jù)

當計算到第i步的第n次迭代結束時，根據(jù)式（3），以下關系式成立，則

式中Toun和Tin分別表示第n次迭代計算結束后某個水管微段的水管外壁和內(nèi)壁的溫度；Nn表示第n次迭代計算結束后得到的水管內(nèi)壁的溫度梯度。

以往的研究成果表明，傳統(tǒng)的離散迭代算法具有較好的收斂性[7,15]；此處只要證明采用該新方法不會增大迭代難度，即可證明該新方法也具有較好的迭代收斂性能。Tin雖然在迭代過程中也是個變量，由于該處只分析新方法對迭代的影響，故假設Tin是恒定的，那么

設Tour為真實的水管外壁溫度。如果將第n次迭代的計算結果作為第（n+1）次迭代的初始條件，那么，根據(jù)第2.3節(jié)的分析結果，當當。因此，由于當時，是負數(shù)；而時，是正數(shù)。故如果足夠小，Tn+1總是向Tr逐漸逼近的。

3 算法對比分析

本節(jié)將傳統(tǒng)算法、新算法分別和理論解對比（將水管也作為實體單元剖分的有限元法），并分析新算法具有更高的精度。

傳統(tǒng)的模型用等效放熱系數(shù)模擬水管的邊界條件且未采用合理的熱流量積分。由于未考慮熱流量積分造成沿程水溫偏低，目前許多工程采用較小的表面放熱系數(shù)模擬水管邊界，如采用β=3 000 kJ/(m·d·℃)模擬（甚至更?。?，此時會造成計算上的誤差（例如進出水口附近冷卻效果計算不準確等）。

該算例為1.5 m×1.5 m×5 m的混凝土塊，中間埋置冷卻水管（如圖2所示）。澆筑后即開始冷卻，除水管邊界外，其余邊界條件均為絕熱邊界，水溫15℃?；炷两^熱溫升為，等效放熱系數(shù)為β=3 000 kJ/(m·d·℃)，水管的內(nèi)直徑和外直徑分別為28和32 mm。

圖2 有限單元網(wǎng)格Fig.2 Finite element mesh

通水冷卻10 d進口附近切面的溫度分布如圖3所示。根據(jù)計算結果，離混凝土較遠的水管絕熱邊界處，該算例下傳統(tǒng)算法的誤差可達1.67℃，而新算法的誤差僅為0.3℃。

圖3 澆筑10 d時斷面的溫度分布Fig.3 Temperature distribution on section 10 d after placement

4 工程算例

4.1 基本資料

某混凝土試驗塊于2009年9月份施工，該混凝土塊長27.0 m，寬15.0 m，高3.0 m。分兩層澆筑，每層高度為1.5 m，間歇時間為4 d。

澆筑溫度控制在18.0℃。距離地面0.75和2.25 m處分別布置兩根塑料冷卻水管，水管的水平間距1.5 m，各層混凝土開始澆筑后1.75 d通水。通水時間21.0 d，冷卻水初溫為8.5℃，通水12.0 d后水溫調(diào)整為15.0℃，通水流量均為35.0 m3/d。計算中，氣溫取實測值，澆筑塊表面覆蓋一層大壩保溫被。澆筑塊及地基的有限單元網(wǎng)格如圖4所示。特征點平面位置、水管水平布置和水流方向如圖5所示，水流方向始終未變。

圖4 有限單元網(wǎng)格Fig.4 Finite element mesh

圖5 水管平面布置和水流方向Fig.5 Layout of cooling pipe and water flow direction

混凝土的絕熱溫升曲線可以用以下公式表示

式中θ為絕熱溫升終值，℃，材料的其他熱學參數(shù)見表1。

表1 其他熱學參數(shù)Table 1 Other thermal parameters

4.2 計算結果分析

1）計算結果與實測數(shù)據(jù)對比

測點1和測點2位于水管的進水口附近。測點1距離水管8 cm，測點2距離水管12 cm。受氣溫波動的影響，進口水溫很難保持穩(wěn)定，實際施工過程中冷卻水流量有時候也會出現(xiàn)小幅波動，所以實測值的歷時曲線并不光滑?？傮w來看，計算值和實測值較為吻合。測點3和測點4位于水管的出口附近。測點3距離水管8 cm，測點4距離水管12 cm。由于流量較小且水管較長，受沿程水溫（進出口水溫差在10℃左右）影響，點3和點4的溫度要明顯高于點1和點2的溫度（見圖6），水溫的改變對點3和點4的溫度影響也較點1和點2小。故在實際施工中，定期改變通水的方向是很有必要的。

2）溫度場計算結果分析

圖7為沿水流方向水管內(nèi)壁和外壁的平均溫差分布。因進口水溫較低，進口處的管內(nèi)外壁溫差也大于出口處。

3）兩種不同迭代方法對比

采用一般的迭代方法，需要迭代15次，沿程水溫才能達到穩(wěn)定值（誤差小于0.08℃）。而采用筆者改進的迭代方法，只需迭代7次即可以達到穩(wěn)定值。

圖6 計算值和實測值對比Fig.6 Comparison between calculation value and actual value

圖7 管內(nèi)外壁溫差沿水流方向分布Fig.7 Temperature difference distribution between inner and outer surface along pipe

5 結論

由于經(jīng)濟和施工方便等原因，塑料水管越來越廣泛地應用于各類大體積混凝土溫控防裂中。在以往含離散水管模型的大體積混凝土溫度場迭代計算中，塑料水管邊界往往考慮成第三類邊界條件，在這種條件下溫度場計算的精度與水管管壁放熱系數(shù)有很大的關系。本文根據(jù)熱平衡原理，推導了水管內(nèi)外壁的溫度關系。由沿程水溫（沿水流方向水管內(nèi)壁的溫度）、與水管接觸混凝土的熱流量、水管的導熱系數(shù)及管壁厚度，即可推算出水管外壁溫度（水管和混凝土的接觸面），然后在計算中可將水管外壁的溫度作為第一類邊界條件。水管的導熱系數(shù)及管壁的厚度均可輕易獲取，而沿程水溫、與水管接觸混凝土的熱流量也可以在計算中獲取。從而避免了將管壁作為第三類邊界條件要通過試驗和反演獲取管壁放熱系數(shù)以及可靠性較差的缺點。對比算例中，如采用傳統(tǒng)算法，模型邊界處的誤差達到1.67℃，而采用該新算法，誤差僅為0.3℃。工程算例表明：采用這種新的塑料水管邊界條件的處理方法，測點的溫度能與實測值吻合得較好。此外，筆者在原有迭代方法的基礎上還進行了改進，提高了收斂速度，節(jié)約了計算時間；本文的工程算例中，采用一般的迭代方法，需要迭代15次，而采用改進的迭代方法，只需迭代7次即可以達到穩(wěn)定值。

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Algorithm to simulate concrete temperature control cooling pipe boundary based on heat flux integration

Zhu Zhenyang1, Liu Minzhi2, Qiang Sheng3, Xiang Jianfang1
(1. State Key Laboratory of Simulation and Regulation of Water Cycle in River Basin, China Institute of Water Resources and Hydropower Research, Beijing 100038, China; 2. Yinzhou District Quality and Safety Supervision Station of Water Conservancy Projects, Ningbo 315100, China; 3. College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China)

When using the explicit iterative method to solve the temperature of mass concrete with cooling pipes, it is generally considered that the inner and outer surface of metal pipes can be neglected but the temperature difference cannot be neglected when using the plastic pipes. And the plastic pipes are usually regarded as the third boundary condition. For the past researchers, the coefficient of this kind of boundary condition can be got by experiment and inversion, which is yet expensive and may also not be reliable sometimes. To solve the problem, on the base of heat balance condition, a new calculation method is brought forward. It is well known that concrete is a poor conductor of heat, and there is a large temperature difference between the concrete and the cooling water. So, in the shell of a cooling pipe and the concrete near it, it can be assumed that the heat flux is only discharged by cooling water in the pipe and the direction of the temperature gradient is perpendicular to the cooling pipe surface. So, the heat fluxes passing through any circle (take the center pipe as the center of those circles) in the shell of the plastic pipe are equal. Based on these basic principles, the temperature of cooling pipe outer surface can be obtained by the heat flux of the concrete around the pipe, the thermal conductivity, the thickness of the pipe and the temperature of pipe inner surface. When using the conventional iterative method to solve the temperature of the mass concrete with cooling pipes, the iterative method should be used for the unknown water temperature distributions along the cooling pipes. For this new method, the temperature distributions along the inner surface of the pipes is also unknown, so the iterative method should be also used. With this new method, when using the conventional iterative method, the convergence speed is relatively low, or even can not converge. To solve this problem, the iterative algorithm is also improved. When the iteration time is (N-1) and N separately, it is assumed that the corresponding calculated temperature on the outer surface of the cooling pipe is Tn-1and Tnrespectively. And then, when using 0.5(Tn-1+ Tn) as the initial calculation condition for the (N+1)thtime, the convergence of the iteration can be easily achieved. The convergence condition of the improved method was proved by mathematical deduction, and the deduction results showed that the convergence could be always reached in different engineering cases. A comparing numerical example was used to comparing the accuracy of the new method and the conventional explicit iterative method. In this comparing numerical example, the calculation results of the finite element method (FEM) considering the pipe as a part of mesh were considered as the theoretical solution. The calculation results showed that in the concrete near adiabatic boundary of the mesh in the comparing example, the temperature difference between the calculation result of conventional explicit iterative method and the theoretical solution was 1.67℃ , and the temperature difference between the calculation result of improved method and the theoretical solution was only 0.3℃ . So, the improved method can be more accurate than the conventional explicit iterative algorithm. Using these new achievements, the temperature field of a concrete block during construction period was simulated, and the calculation results and testing results were compared. The total number of the iteration times was 15 for the conventional iterative method and only 7 for the improved method in this engineering example. The results show that the calculation value is close to the actual value, and this algorithm has high convergence speed. So this method can be used in engineering projects to prevent mass concrete from cracking.

temperature; models; concrete; iterative algorithm

10.11975/j.issn.1002-6819.2016.09.012

TV315

A

1002-6819(2016)-09-0083-07

朱振泱，劉敏芝，強 晟，相建方. 基于熱流量積分的混凝土溫控水管冷卻邊界模擬算法[J]. 農(nóng)業(yè)工程學報，2016，32(9)：83－89.

10.11975/j.issn.1002-6819.2016.09.012 http://www.tcsae.org

Zhu Zhenyang, Liu Minzhi, Qiang Sheng, Xiang Jianfang. Algorithm to simulate concrete temperature control cooling pipe boundary based on heat flux integration[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(9): 83－89. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.09.012 http://www.tcsae.org

2015-12-22

2016-03-14

國家自然科學基金資助項目（51409264，51509020，51209219）

朱振泱，男，福建三明人，中國水利水電科學研究院高級工程師，主要從事混凝土溫控防裂研究和大體積混凝土溫度裂縫擴展研究。北京 中國水利水電科學研究院流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，100038。Email：1219921552@qq.com