有名輝

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江杭州 310053)

一個含特殊常數(shù)因子的非齊次核Hilbert型不等式

有名輝

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江杭州 310053)

通過引進(jìn)參數(shù)，利用權(quán)函數(shù)的方法，建立了一個最佳常數(shù)因子與余割函數(shù)有關(guān)的Hilbert型積分不等式及其等價形式．作為應(yīng)用，賦予參數(shù)不同的值，文中還給出了一些新的特殊結(jié)果．

Hilbert型不等式；非齊次核；余割函數(shù)；權(quán)函數(shù)；Gamma函數(shù)

其中π2是滿足（1）式的最佳常數(shù)因子[1]，通常稱不等式（1）為Hilbert型不等式．由于Hilbert型不等式在分析學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域中有重要的作用[2]，所以一直以來是很多數(shù)學(xué)工作者熱衷研究的對象．近年來，通過引進(jìn)參數(shù)，研究者們[3-13]給出了（1）式及其對應(yīng)的級數(shù)形式的一些推廣和改進(jìn)，取得了一系列有價值的成果．最近，陳小雨等[14]給出了一個類似于（1）式的非齊次核的Hilbert型不等式：

1 定義及引理

證明：由φ(x)=cscx 的部分分式展開形式[15]

（3）式兩邊關(guān)于x求2n階導(dǎo)數(shù)，得

引理1得證．

引理2 設(shè)λ＞0，n為非負(fù)整數(shù)，φ(x)=cscx ，則

因此

把（10）式代入到（7）式，便得（5）式．類似地，可得（6）式．

引理2證畢．

令ε→0+，由引理2，可得

由（11）式和（12）式，即得引理3．

2 定理及證明

證明：由H?lder不等式，可得盾．故（14）式不取等號．

根據(jù)引理2，（14）式可改寫為

用引理3中定義的fε和gε分別取代（15）式中的f和g，則

定理1證畢．

結(jié)合定理2的條件和（18）式可知應(yīng)用定理1的條件是充分的．因此（17）式和（18）式都取嚴(yán)格不等號．

故（16）式成立．

以上從（13）式證得了（16）式．要說明（13）式和（16）式等價，以下只需從（16）式證得（13）式．事實上，由H?lder不等式，可知

定理2證畢．

賦予定理1中的參數(shù)不同的值，可以得到一些特殊的結(jié)果．如：在定理1中，令n=0，則有以下推論．

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The Study of a Hilbert-Type Inequality Involving Non-homogeneous Kernel with Special Constant Factor

YOU Minghui
(Mathematics Teaching and Research Section，Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou, China 310053)

By means of the method of the in-put of parameters with the application of weight function，this paper establishes a Hilbert-type integral inequality and its equivalent form combined the optimum constant factor with the cosecant function. As applications, giving the parameters different values, some new and special results are considered in such a research．

Hilbert-type Inequality; Non-homogeneous Kernel; Cosecant Function; Weight Function； Gamma function

O178

A

1674-3563(2016)04-0017-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.04.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2015-05-18

有名輝(1982- )，男，浙江安吉人，講師，碩士，研究方向：解析不等式